检验爱因斯坦方程：戳一下黑洞

来自 量子杂志 (在此处查找原始故事)。

1915年11月，在普鲁士科学院的一次讲座中，阿尔伯特·爱因斯坦描述了一个颠覆人类宇宙观的想法。爱因斯坦解释说，我们实际上居住在一个称为时空的四维现实中，其形式会随着物质和能量的变化而波动，而不是接受空间和时间的几何形状是固定的。

爱因斯坦用几个方程详细阐述了这一戏剧性的见解，这些方程被称为他的“场方程”，构成了他的 广义相对论的核心。自那以来的一个世纪里，每一次实验性检验都证实了该理论。

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然而，即使爱因斯坦的理论似乎描述了我们观察到的世界，支撑它的数学仍然 largely 神秘莫测。数学家们对这些方程本身能够证明的东西非常少。我们知道它们有效，但我们无法确切说明原因。甚至爱因斯坦也不得不求助于近似值，而不是精确解，才能通过他创造的镜头来看待宇宙。

然而，在过去一年中，数学家们使广义相对论的数学更加清晰。两个研究小组提出了与广义相对论中的一个重要问题相关的证明，即黑洞稳定性猜想。他们的工作证明，爱因斯坦的方程与对于时空应该如何表现的物理直觉相符：如果你撞击它，它会像果冻一样晃动，然后像最初那样稳定下来。

普林斯顿大学的数学家，Sergiu Klainerman说：“如果这些解不稳定，那就意味着它们不是物理的。它们将是一个数学幽灵，在数学上存在，但从物理角度来看没有任何意义。”他与Jérémie Szeftel共同撰写了两项新成果之一。

为了完成证明，数学家们必须解决爱因斯坦方程的一个中心难题。为了描述时空形状如何演变，你需要一个坐标系——比如经纬线——告诉你哪些点在哪里。在时空中，就像在地球上一样，很难找到一个在任何地方都适用的坐标系。

摇晃黑洞

广义相对论最著名的描述是将时空描述为类似橡胶片的东西。在没有任何物质的情况下，这张片是平坦的。但是开始往上面扔球——恒星和行星——这张片就会变形。球会互相滚动。随着物体移动，橡胶片的形状也会相应变化。

爱因斯坦的场方程描述了时空形状的演变。你给方程提供关于每个点的曲率和能量的信息，方程会告诉你未来时空的形状。通过这种方式，爱因斯坦的方程就像模拟任何物理现象的方程一样：这是球在零时刻的位置，这是它五秒后的位置。

加州大学伯克利分校的克莱研究员Peter Hintz说：“它们是数学上精确的定量版本，说明时空在物质存在的情况下会弯曲。”他与András Vasy共同撰写了另一项最新成果。

1916年，几乎在爱因斯坦发布他的广义相对论理论后，德国物理学家卡尔·史瓦西找到了方程的精确解，描述了我们现在所知的黑洞（这个术语在五十年后才被发明出来）。后来，物理学家们找到了精确的解，描述了旋转黑洞和带电黑洞。

这些仍然是描述黑洞的唯一精确解。如果你再添加一个黑洞，力的相互作用就会变得过于复杂，以至于目前的数学技术无法在所有情况下处理，除非在最特殊的情况下。

然而，你仍然可以对这个有限的解组提出重要的问题。其中一个问题源于法国数学家伊冯娜·舒凯-布鲁阿在1952年的工作。它实际上是问：当你摇晃黑洞时会发生什么？  

这个问题现在被称为黑洞稳定性猜想。该猜想预测，爱因斯坦方程的解将“在扰动下保持稳定”。通俗地说，这意味着如果你晃动黑洞，时空最初会晃动，然后最终稳定下来，形成一个与你开始时非常相似的形状。“粗略地说，稳定性意味着如果我采用特殊的解并稍微扰动它们，稍微改变数据，那么由此产生的动力学将非常接近原始解，”Klainerman说。

所谓的“稳定性”结果是对任何物理理论的重要检验。为了理解原因，考虑一个比黑洞更熟悉的例子是有用的。

想象一个池塘。现在想象一下，你通过向池塘中扔一块石头来扰动池塘。池塘会晃动一会儿，然后再次平静下来。在数学上，你用来描述池塘的任何方程（在这种情况下是纳维-斯托克斯方程）应该描述基本的物理图景。如果初始解和长期解不匹配，你可能会质疑你的方程的有效性。

Vasy说：“这个方程可能具有任何性质，它可能在数学上完全没问题，但如果它违背了你的物理期望，它就不可能是正确的方程。”

对于研究爱因斯坦方程的数学家来说，稳定性证明比找到方程的解还要困难。考虑平坦、空旷的闵可夫斯基空间的情况——所有时空配置中最简单的。爱因斯坦早期提出的狭义相对论理论在1908年找到了这个爱因斯坦方程的解。然而，直到1993年，数学家们才设法证明，如果你晃动平坦、空旷的时空，你最终会回到平坦、空旷的时空。Klainerman和Demetrios Christodoulou的这一结果是该领域的杰作。

稳定性证明的主要困难之一是跟踪四维时空中随着解的演变而发生的事情。你需要一个坐标系，使你能够测量距离并识别时空中的点，就像经纬线使我们能够定义地球上的位置一样。但是，找到一个在时空中每个点都适用的坐标系，然后在时空形状演变时继续适用，这并不容易。

Hintz在一封电子邮件中写道：“我们不知道一种通用的方法来做到这一点。毕竟，宇宙不会给你一个首选的坐标系。”

测量问题

关于坐标系，首先要认识到的是它们是人类的发明。其次，并非每个坐标系都适用于识别空间中的每个点。

以经纬线为例：它们是任意的。制图师本可以指定任意数量的假想线作为经度0度。虽然经纬线可以用来识别地球上的几乎每个位置，但它们在北极和南极就失效了。如果你对地球本身一无所知，只能访问经纬度读数，你可能会错误地得出结论，认为在这些点上发生了一些拓扑上奇怪的事情。

这种可能性——由于用于描述物理空间的坐标系不足而对物理空间的性质得出错误的结论——是证明时空稳定性困难的核心原因。

剑桥大学的数学家，也是爱因斯坦方程研究领域的领军人物Mihalis Dafermos说：“可能是稳定性是正确的，但你使用的坐标不稳定，因此你错过了稳定性是正确的事实。”

在黑洞稳定性猜想的背景下，无论你使用什么坐标系，都必须随着时空形状的演变而演变——就像一个紧贴的手套随着它包裹的手的形状变化而调整一样。坐标系和时空之间的契合度必须在开始时良好，并在整个过程中保持良好。如果不是这样，可能会发生两件事，从而破坏证明稳定性的努力。

首先，你的坐标系可能会以某种方式改变形状，使其在某些点崩溃，就像经纬线在两极失效一样。这些点被称为“坐标奇点”（以区别于物理奇点，如实际的黑洞）。它们是你坐标系中未定义的点，使得不可能完全跟踪演变的解。

其次，一个不合适的坐标系可能会掩盖它旨在测量的潜在物理现象。为了证明爱因斯坦方程的解在受到扰动后会稳定下来，数学家们必须仔细跟踪由扰动引起的时空涟漪。为了理解原因，值得再次考虑池塘。扔进池塘的石头会产生波浪。池塘的长期稳定性源于这些波浪会随着时间衰减——它们变得越来越小，直到没有任何迹象表明它们曾经存在过。

时空的情况类似。扰动会引发一系列引力波，而证明稳定性需要证明这些引力波会衰减。而证明衰减需要一个坐标系——称为“规范”——使你能够测量波的大小。正确的规范使数学家能够看到波变平，并最终完全消失。

Klainerman说：“衰减必须相对于某物来衡量，而规范问题就在这里显现出来。如果我不在正确的规范中，即使原则上我具有稳定性，我也无法证明它，因为规范根本不允许我看到衰减。如果我没有波的衰减率，我就无法证明稳定性。”

问题是，虽然坐标系至关重要，但选择哪个坐标系并不明显。Hintz说：“关于这个规范条件可以是什么，你有很多自由。这些选择中的大多数都会很糟糕。”

部分进展

黑洞稳定性猜想的完整证明需要证明爱因斯坦方程的所有已知黑洞解（黑洞的自旋低于某个阈值）在受到扰动后都是稳定的。这些已知的解包括史瓦西解，它描述了具有非旋转黑洞的时空，以及克尔解族，它描述了除单个旋转黑洞外空无一物的时空配置（其中旋转黑洞的属性——它的质量和角动量——在解族中变化）。

两项新结果都为证明完整猜想取得了部分进展。

Hintz和Vasy在2016年发布在科学预印本网站arxiv.org上的一篇论文中，证明了缓慢旋转的黑洞是稳定的。但他们的工作没有涵盖旋转速度超过一定阈值的黑洞。

他们的证明也对时空的性质做了一些假设。最初的猜想是在闵可夫斯基空间中，闵可夫斯基空间不仅是平坦和空旷的，而且尺寸也是固定的。Hintz和Vasy的证明发生在所谓的德西特空间中，时空正在向外加速膨胀，就像在实际宇宙中一样。这种设置的改变从技术角度来看使问题变得更简单，这在概念层面上很容易理解：如果你向一个膨胀的池塘中扔一块石头，膨胀将拉伸波浪，并导致它们比池塘不膨胀时衰减得更快。   

Hintz说：“你正在观察一个正在经历加速膨胀的宇宙。这使得问题变得更容易一些，因为它似乎稀释了引力波。”

Klainerman和Szeftel的工作具有略微不同的风味。他们的证明，第一部分于去年11月在网上发布，发生在史瓦西时空中——更接近于问题的最初、更困难的设置。他们证明了非旋转黑洞的稳定性，但他们没有解决黑洞旋转的解。此外，他们只证明了黑洞解对于一小类扰动的稳定性——其中由这些扰动产生的引力波在某种程度上是对称的。

这两项结果都涉及寻找问题正确坐标系的新技术。Hintz和Vasy从方程的近似解开始，基于近似坐标系，并逐渐提高答案的精度，直到他们获得精确解和行为良好的坐标。Klainerman和Szeftel对挑战采取了更几何的方法。

这两个团队现在正试图在各自的方法基础上再接再厉，找到完整猜想的证明。一些专家观察员认为，这一天可能不会太遥远。

Dafermos说：“我真的认为现在的情况是，剩下的困难只是技术性的。在某种程度上，不需要新的想法来解决这个问题。”他强调，最终的证明可能来自目前从事该问题研究的大量数学家中的任何一位。

100年来，爱因斯坦方程一直是宇宙可靠的实验指南。现在，数学家们可能越来越接近于证明它们为何如此有效。

经 量子杂志许可转载，量子杂志是 西蒙斯基金会的一个编辑独立的出版物，其使命是通过报道数学以及物理和生命科学的研究进展和趋势来增进公众对科学的理解。