关于质数，我最喜欢的一个轶事是关于亚历山大·格罗滕迪克，他是20世纪最杰出的数学家之一。据一种说法，他曾在一次谈话中被要求说出一个质数。这些数字只能被1和自身整除，可以这么说，它们构成了数论的原子，并且数千年来一直令人类着迷。
据说格罗滕迪克回答说：“57。”尽管很难确定这个故事的真实性，但57从此在书呆子圈子里被称为格罗滕迪克“质数”——尽管它可以被3整除，因此不是质数。
数学家尼尔·斯隆在同事阿曼德·博雷尔和已故的弗里曼·戴森共进晚餐时无意中听到了一段类似的对话，结果却更令人兴奋。博雷尔要求戴森说出一个质数，与格罗滕迪克不同，戴森提供了一个只能被1和自身整除的数字：231 – 1。但是这个回答并没有让博雷尔满意。他想让戴森背诵一个大质数的所有数字。戴森沉默了，所以过了一会儿，斯隆插话说：“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。”
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数字 12,345,678,910,987,654,321 确实是质数。它由 20 位数字组成，而且真的很容易记住：数到 10，然后倒数到 1。但是，其他质数是否采用从 1 开始、升到数字 n 然后再降回来的回文形式，这一点尚不清楚。斯隆称它们为“令人难忘的”质数——它们可以表示为 123 ... (n – 1)n(n – 1) ... 321。对于 n = 10，您将得到斯隆提到的数字。但是，对于其他 n 值，结果是否为质数呢？戴森、博雷尔和斯隆一定就这一切进行了热烈的讨论。
斯隆特别感兴趣。他在 1964 年创建了一个数字序列数据库，该数据库最终构成了 在线整数序列百科全书 (OEIS) 的骨干，该百科全书于 1996 年启动。在 OEIS 网站上，专家们汇编了关于数字序列的各种事实并对其进行讨论。斯隆本人很乐意参与讨论，并反复发起研究问题，这种在线活动最终导致了对令人难忘的质数和类似质数的寻找。
是否存在无限个令人难忘的质数？
2015 年，印度工程师沙姆·桑德·古普塔从小就对质数着迷，他发现对于 n = 2,446，数字 123 ... (n – 1)n(n – 1) ... 321 是一个质数。他没有在数学期刊上发表这一成果，而是通过一个邮件列表公布了这一结果，该邮件列表在数论中用于此类发现。由此产生的质数有 17,350 位数字。
“由于质数在安全通信中非常有用，因此这种易于记忆的大质数在密码学中可能具有很大的优势，”古普塔说。“这就是为什么我对这种类型的质数充满热情。”
是否存在其他令人难忘的质数尚不清楚。数学家们已经检查了 所有 n 值高达 60,000 的情况；除了 10 和 2,446，没有发现其他质数。但专家们怀疑存在更多，即使他们无法证明。
有些人认为应该存在无限个这种类型的质数。这种“启发式”论证假设质数在数轴上是随机分布的，并确定某种类型的数字（在本例中为回文数 123 ... 321）成为质数的可能性有多大。尽管这些考虑不是无可辩驳的证明，但它们至少为进一步研究提供了动力。古普塔本人确信应该存在无限个这样的回文数，即使它们很稀有。
其他类型的令人难忘的质数
2015 年 9 月 29 日，在古普塔分享他的结果大约两个月后，斯隆在数论邮件列表中发布了一项挑战，邀请其他人寻找另一种令人难忘的质数，其中数字简单地升序排列，直到达到最后一位数字 n：123 ... (n – 2)(n – 1)n。为了成为质数，这样的数字不能以偶数或 5 结尾，这从一开始就排除了所有 n 中的 60%。然而，即使在这种情况下，启发式论证也表明存在无限个这样的质数。
为了回应斯隆的号召，一些质数爱好者启动了他们的计算机，开始系统地搜索斯马兰达克质数，因为这些特定的质数被称为斯马兰达克质数。在即使对于五位数的 n 值也没有出现质数之后，斯隆转向了 大互联网梅森质数搜索 团队。这是一个协作项目，志愿者们贡献他们的计算能力来搜索质数。梅森质数搜索团队的一个小组喜欢斯隆的想法，并且 斯马兰达克质数的搜索以大斯马兰达克 PRPrime 搜索的名义启动。但是在 n = 106 之前没有出现质数之后，该项目被放弃了。
乍一看，结果的缺乏似乎令人惊讶。数字 1,234,567,891 是 一个质数——但是 12,345,678,910，一个偶数，不是。如果我们考虑到存在的限制——质数不能被 2、3、4 等整除——我们可以估计，在从 n = 1 到 n = 106 的所有 123 ... n 形式的数字中，不应该出现质数。至少，这是 计算机科学家恩斯特·迈耶的计算 所表明的。根据这个计算，高达 n = 106 的斯马兰达克质数的预期数量约为 0.6。“所以我想鼓励世界继续努力，找到这个缺失的质数，”斯隆在 Numberphile YouTube 视频中说。
即使在这个方面进展甚微，斯隆还是鼓励人们保持好奇心。例如，在 2015 年，他敦促他的同事之一——计算生物学家谢尔盖·巴塔洛夫——寻找反向斯马兰达克质数。他指出，按降序写出数字（例如 4321）已经揭示了迄今为止的两个此类质数：82818079 ... 321 和 3776537764 ... 321。
“你能再得到一项吗？这对你来说可能很简单！”他写道。
巴塔洛夫的回应：“接受挑战！”
这些反向斯马兰达克质数都不可避免地以 1 结尾，这意味着从一开始就排除了更少的候选者。然而，迄今为止，巴塔洛夫（他在类似的质数问题上贡献了许多见解）尚未找到这种令人难忘的变体的任何新例子。
古普塔也为搜索做出了贡献，但徒劳无功。2023 年，软件开发人员泰勒·巴斯比表示，对于序列中的第三个质数，对于 n(n – 1) ... 321，n 必须大于 84,300。
搜索将如何以及是否继续尚不清楚。主要是业余数学家参与其中——而不是专业的数论学家。那是因为这种类型的质数没有提供任何直接的新数学见解。
尽管如此，斯隆并没有放弃。现年 85 岁的他继续传播他对数学和数字的热情，并激励人们也从中获得乐趣。他当然不需要说服古普塔：“我仍然在寻找各种易于记忆的大质数，”古普塔说。而且他时不时地会找到一个。
本文最初发表在《光谱-科学》杂志上，并经许可转载。