世界上是否有人头发数量完全相同？ 与您可能期望的相反，即使没有统计分析，这个陈述也可以响亮地回答“是”。 为此，您只需要“鸽巢原理”，也称为“狄利克雷原理”。
这听起来几乎可笑地简单：如果您想将 n 个物体分配到 k 个抽屉中，并且物体的数量多于抽屉的数量 (n > k)，那么几个物体最终会进入同一个抽屉。 这个简单的陈述，听起来更像是常识而不是数学定理，最初是由法国学者 Jean Leurechon 在 1622 年的一本书中提及的。 像往常一样，斯蒂格勒定律——根据该定律，没有科学发现是以其真正的发现者命名的——在这里适用。 鸽巢原理通常归因于 彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷，他生活在 Leurechon 大约 200 年后。 尽管它很简单，但鸽巢原理可以证明相当复杂的关系——例如，在球形表面上随机排列的五个点中，至少有四个在同一个半球上。
但回到头发：您如何找出世界上是否有人头发数量完全相同？ 为此，您首先必须找出人们可能拥有的最多头发数量。 根据头发颜色，普通人头部有 90,000 到 150,000 根头发。 可以肯定地说，没有人拥有超过一百万根头发。 然而，地球上居住着 80 亿人。 这意味着肯定会有人头发数量完全相同——至少在其中一个人梳头并掉了一些头发的那一刻之前。 但是，再梳几次后，很可能会有另一群人拥有与该人相同数量的头发。 事实上，Leurechon 也选择了头发数量的例子来介绍鸽巢原理。
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关于人类的头发数量，还可以说更多——例如，世界上头发数量相同的人的最小数量。 为了计算这个数字，考虑两种极端情况会有所帮助：一种是每个人头上的头发数量完全相同（如果每个人都剃光头，情况可能就是这样），另一种是人们的头发尽可能地变化。
为此，想象一下一百万个按升序编号的房间。 每个人都进入一个房间，房间号对应于他们头上的头发数量。 如果地球上的每个人头发数量都相同，那么所有人最终都会进入同一个房间。 那么一个房间里有 80 亿人，而剩下的 999,999 个房间都是空的。
然而，在另一个极端，人们以尽可能少的人最终进入同一个房间的方式分配自己。 那么，共享一个房间的人的最小数量是多少？ 为了计算这个数字，您可以一点一点地填满房间：先每个房间一个人，然后两个人，然后三个人，依此类推。 如果您将 80 亿人均匀地分配到一百万个房间中，那么每个房间最终会有 8,000 人。 一旦您稍微重新分配人员，肯定会有一个房间容纳超过 8,000 人。 这意味着无论人们如何分配，在任何情况下，最满的房间都至少容纳 8,000 人。 因此，地球上至少有 8,000 人的头发数量相同。
因此，我们展示了鸽巢原理的更强版本：如果将 n 个物体分配到 k 个类别中，并且 n > k，那么至少有 n ⁄ k 个物体属于同一类别。 如果物体均匀地分布在抽屉中，那么平均而言，n ⁄ k 个物体最终会进入同一个抽屉。 一旦物体稍微重新分配，其中一个抽屉将不可避免地包含超过 n ⁄ k 个物体。 如果商 n ⁄ k 不是整数，那么我们正在寻找的最小值对应于向上取整的值，因为其中一个抽屉不可避免地包含这个数量的物体。
例如，如果在一场足球比赛中进了七个球，那么一支球队至少进了其中的四个球（7 ⁄ 2 向上取整）。 同一支球队也可能进了五个、六个或全部七个球。 或者考虑一些数字更大的例子：纽约市至少有 23,000 名居民在同一天生日。 该市人口约为 850 万，一年中可能有 366 天出生（这里不考虑他们的出生年份）。 因此，至少有 8,500,000 / 366 = 23,000 人在同一天生日。
从鸽巢原理可以得出有趣的——并且诚然不太重要的——陈述。 对于数学家来说，相关的含义之一与球形表面上点的分布有关。 如果您在球体上选择五个任意位置，那么至少有四个位置在同一个半球上。 为了证明这一点，您必须巧妙地选择半球：首先，您选择五个标记点中的两个——哪个都可以——并标记一个包含这两个点的赤道。 这将球体分成两半，上面还有三个点。 根据鸽巢原理，其中两个必然在同一个半球上。 如果您加上赤道上的点，则球体表面的同一半球上始终至少有四个点，无论它们如何分布。
鸽巢原理说明，即使是看似显而易见的陈述在数学中也具有很大的价值。 然而，这不应该太令人惊讶。 毕竟，该领域的工作是基于一些尽可能简单的基本假设——例如存在一个空集——由此可以推断出像 哥德尔不完备性定理 这样复杂的结果。 简单的系统可能产生复杂的结果。
本文最初发表于《Spektrum der Wissenschaft》，并经许可转载。