无法解决的问题

我们三人当时正坐在奥地利阿尔卑斯山深处小镇塞费尔德的一家咖啡馆里。那是2012年的夏天，我们遇到了难题。并不是被困在咖啡馆里——阳光明媚，阿尔卑斯山上的积雪闪闪发光，美丽的景色非常诱人，我们差点就放弃了让我们陷入困境的数学问题，跑到户外去了。我们当时试图探索库尔特·哥德尔和艾伦·图灵在20世纪取得的数学成果与量子物理学之间的联系。至少，那是我们的梦想。这个梦想始于2010年，当时我们在斯德哥尔摩附近的米塔格-莱夫勒研究所参加了一个为期一个学期的量子信息项目。

我们研究的一些问题以前曾被其他人探索过，但对我们来说，这个研究方向是全新的，所以我们从一些简单的事情开始。当时，我们正试图证明一个很小且不太重要的结果，以便对事情有所了解。几个月以来，我们已经有了这个结果的（某种）证明。但是为了使证明有效，我们不得不以一种人为的且令人不满意的方式设置问题。感觉就像为了迎合答案而改变问题，我们对此很不满意。在2012年将我们聚集在一起的塞费尔德研讨会的第一次会谈结束后，我们在休息期间再次研究这个问题，但仍然看不到任何解决问题的方法。我们中的一人（迈克尔·沃尔夫）半开玩笑地问：“我们为什么不证明一些人们真正关心的事情的不可判定性，比如谱隙？”

当时，我们对物理学中的某些问题是否“可判定”或“不可判定”感兴趣——也就是说，它们是否有可能被解决？我们陷入了困境，试图探究一个更次要问题的可判定性，这个问题很少有人关心。“谱隙”问题是迈克尔建议我们解决的问题（我们稍后会解释），它是物理学的核心问题之一。我们当时不知道这个问题是否可判定（尽管我们预感它不可判定），也不知道我们是否能够证明任何一种情况。但是如果我们能做到，结果将对物理学具有真正的意义，更不用说这是一项重大的数学成就。迈克尔提出的雄心勃勃的建议，几乎是开玩笑地提出的，开启了我们一段宏大的冒险。三年后，在146页的数学证明之后，我们关于谱隙不可判定性的证明发表在《自然》杂志上。

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为了理解这意味着什么，我们需要回到20世纪初，追溯一些孕育出现代物理学、数学和计算机科学的线索。这些不同的想法都指向德国数学家大卫·希尔伯特，他通常被认为是过去100年中该领域最伟大的人物。（当然，数学界以外的人没有人听说过他。数学学科不是通往名声和名誉的好途径，尽管它有自身的奖励。）

量子力学的数学

希尔伯特对数学的影响是巨大的。早期，他发展了一个名为泛函分析的数学分支——特别是称为谱理论的领域，这最终将成为我们证明中问题的关键。希尔伯特出于纯粹抽象的原因对这个领域感兴趣。但正如经常发生的那样，他的数学结果最终恰好是理解当时困扰物理学家的问题所必需的。

如果你加热一种物质，它会开始发光，因为其中的原子会发出光（因此有“红热”这个词）。钠路灯发出的黄橙色光就是一个很好的例子：钠原子主要在可见光谱的黄色部分，波长为590纳米处发光。当原子内的电子在能级之间“跃迁”时，原子会吸收或释放光，光的精确频率取决于能级之间的能量差。因此，加热材料发出的光的频率为我们提供了原子不同能级之间间隙的“地图”。解释这些原子发射是20世纪上半叶物理学家们努力解决的问题之一。这个问题直接导致了量子力学的发展，而希尔伯特的谱理论数学发挥了主要作用。

量子能级之间的这些间隙中，有一个特别重要。物质的最低可能能级称为其基态。这是它在没有热量时的状态。为了使物质进入基态，科学家必须在实验室中将其冷却到极低的温度。然后，如果物质要做任何不同于处于基态的事情，就必须将其激发到更高的能量。最简单的方法是吸收它可以吸收的最小能量，刚好足以将其带到高于基态的下一个能级——第一激发态。基态和第一激发态之间的能量间隙非常关键，以至于它通常被称为谱隙。

在某些材料中，基态和第一激发态之间存在很大的间隙。在另一些材料中，能级一直延伸到基态，没有任何间隙。材料是“有隙”还是“无隙”对其在低温下的行为具有深远的影响。它在量子相变中起着尤为重要的作用。

当材料的性质发生突然而剧烈的变化时，就会发生相变。我们都非常熟悉一些相变——例如水从固态冰转变为液态。但是，即使温度保持在极低的水平，也会发生更奇特的量子相变。例如，改变材料周围的磁场或对其施加的压力会导致绝缘体变成超导体，或导致固体变成超流体。

材料如何在绝对零度（−273.15摄氏度）的温度下发生相变？在绝对零度下，根本没有热量来提供能量。这归结为谱隙。当谱隙消失——当材料无隙时——达到激发态所需的能量变为零。最微小的能量也足以推动材料发生相变。事实上，由于在这些极低温度下主导物理学的奇怪量子效应，材料可以暂时从虚空中“借用”这种能量，经历相变，然后“归还”能量。因此，为了理解量子相变和量子相，我们需要确定材料何时有隙以及何时无隙。

由于谱隙问题对于理解物质的量子相如此根本，因此它在理论物理学的各个领域中都会出现。凝聚态物理学中许多著名且长期存在的开放性问题都归结为解决特定材料的这个问题。一个密切相关的问题甚至出现在粒子物理学中：有非常好的证据表明，描述夸克及其相互作用的基本方程具有“质量间隙”。来自日内瓦附近大型强子对撞机等粒子对撞机的实验数据以及来自超级计算机的大量数值计算结果都支持这一观点。但是，从理论上严格证明这一观点似乎极其困难。事实上，这个问题被称为杨-米尔斯质量间隙问题，已被克莱数学研究所命名为七个千禧年难题之一，任何解决它的人都有权获得100万美元的奖金。所有这些问题都是一般谱隙问题的特例。但是，对于任何试图解决这些问题的人来说，我们都有坏消息。我们的证明表明，一般问题比我们想象的还要棘手。原因归结为一个称为判定问题的问题。

无法回答的问题

到20世纪20年代，希尔伯特开始关注将数学的基础建立在坚实、严谨的基础上——这一努力被称为希尔伯特纲领。他认为，无论人们提出什么数学猜想，原则上都有可能证明它是真的还是假的。（最好不要证明它既是真又是假，否则数学就出问题了！）这个想法似乎很明显，但数学是关于绝对确定地建立概念的。希尔伯特想要一个严谨的证明。

1928年，他提出了判定问题。英文翻译为“the decision problem”。它询问是否存在一种程序或“算法”，可以判定数学陈述是真还是假。

例如，陈述“任何整数乘以2都得到一个偶数”都可以很容易地使用基本逻辑和算术证明为真。其他陈述则不太清楚。以下面的例子为例：“如果你取任何整数，并重复将其乘以3，如果是奇数则加1，如果是偶数则除以2，你总是最终会得到数字1。”（请思考一下。）

不幸的是，希尔伯特的希望破灭了。1931年，哥德尔发表了一些非凡的成果，现在被称为他的不完备性定理。哥德尔证明，关于整数的完全合理的数学陈述，既不能被证明也不能被证伪。从某种意义上说，这些陈述超出了逻辑和算术的范围。并且他证明了这个断言。如果这很难理解，你并不孤单。哥德尔的不完备性定理动摇了数学的根基。

以下是哥德尔思想的精髓：如果有人告诉你“这句话是谎言”，那么这个人是在说真话还是在说谎？如果他或她在说真话，那么这个陈述一定确实是谎言。但如果他或她在说谎，那么它就是真的。这种困境被称为说谎者悖论。即使它看起来是一个完全合理的英语句子，也没有办法确定它是真还是假。哥德尔设法做的是仅使用基本算术构建了说谎者悖论的严格数学版本。

判定问题故事中的下一个主要人物是英国计算机科学家艾伦·图灵。图灵因其在二战期间破解德国恩尼格玛密码中的作用而在公众中最为出名。但在科学家中，他最出名的是他1937年的论文《论可计算数及其在判定问题中的应用》。年轻的图灵深受哥德尔结果的影响，他对希尔伯特的判定问题给出了否定回答，证明不存在可以判定数学陈述是真还是假的一般算法。（美国数学家阿隆佐·邱奇也在图灵之前独立地证明了这一点。但图灵的证明最终更重要。通常在数学中，一个结果的证明比结果本身更重要。）

为了解决判定问题，图灵必须精确地定义“计算”某物的含义。如今，我们认为计算机是放在我们桌子上、膝盖上甚至口袋里的电子设备。但我们所知的计算机在1936年并不存在。事实上，“计算机”最初指的是用笔和纸进行计算的人。然而，像你在高中时那样用笔和纸进行计算，在数学上与使用现代台式计算机进行计算没有什么不同——只是慢得多，而且更容易出错。

图灵提出了一个理想化的、虚构的计算机，称为图灵机。这种非常简单的虚构机器看起来不像现代计算机，但它可以计算最强大的现代计算机可以计算的一切。事实上，任何可以计算的问题（即使是在量子计算机或31世纪尚未发明的计算机上）也可以在图灵机上计算。只是图灵机需要更长的时间。

图灵机有一条无限长的带子和一个“头”，它可以一次在带子上读取和写入一个符号，然后沿带子向右或向左移动一步。计算的输入是最初写在带子上的任何符号，输出是当图灵机最终停止运行（停止）时留在带子上的任何内容。图灵机的发明甚至比判定问题的解决方案更重要。通过对计算的含义给出精确的、数学上严谨的表述，图灵创立了现代计算机科学领域。

在构建了他的计算机的虚构数学模型之后，图灵继续证明，关于图灵机有一个简单的问题，任何数学程序都无法判定：在给定输入的情况下运行的图灵机是否会停止？这个问题被称为停机问题。当时，这个结果令人震惊。数学家们已经习惯了这样一个事实，即我们正在研究的任何猜想都可能是可证明的、可证伪的或不可判定的。

我们的贡献

在我们的结果中，我们不得不将所有这些分散的线索重新联系起来。我们想将谱隙的量子力学、不可判定性的计算机科学和希尔伯特的谱理论结合起来，以证明——就像停机问题一样——谱隙问题是哥德尔和图灵教给我们的那些不可判定问题之一。

2012年，在塞费尔德那家咖啡馆里聊天时，我们想到了如何证明一个与谱隙相关的较弱的数学结果。我们讨论了这个想法，甚至没有在餐巾纸背面乱涂乱画，而且它似乎是可行的。然后下一场会谈开始了。我们就此搁置了它。

几个月后，我们中的一人（托比·库比特）拜访了慕尼黑的迈克尔，我们做了我们在塞费尔德没有做的事情：在纸片上潦草地写下了一些方程式，并确信这个想法是可行的。在接下来的几周里，我们完成了论证，并在一个四页的私人笔记中正确地写了下来。（在数学中，在你写下来——或者更好的是，打出来并展示给同事审查之前，没有任何东西是真正被证明的。）从概念上讲，这是一个重大进步。在那之前，证明谱隙不可判定性的想法与其说是严肃的前景，不如说是一个玩笑。现在我们第一次看到了它实际上可能实现的曙光。但这仍然有很长的路要走。我们无法扩展我们最初的想法来证明谱隙问题本身是不可判定的。

熬夜苦干

我们试图通过将谱隙问题与量子计算联系起来来实现下一步飞跃。1985年，诺贝尔奖获得者物理学家理查德·费曼发表了一篇论文，启动了量子计算机的想法。在那篇论文中，费曼展示了如何将量子系统的基态与计算联系起来。计算是一个动态过程：你向计算机提供输入，它经过几个步骤来计算结果并输出答案。但是量子系统的基态是完全静态的：基态只是材料在零温度下所处的配置，什么也不做。那么它如何进行计算呢？

答案来自于量子力学的定义特征之一：叠加，即物体同时占据多种状态的能力，例如，埃尔温·薛定谔著名的量子猫可以同时处于活和死的状态。费曼提出构建一种量子态，该量子态处于计算各个步骤的叠加态——初始输入、计算的每个中间步骤和最终输出——全部同时进行。加州理工学院的阿列克谢·基塔耶夫后来通过构建一种虚构的量子材料，其基态看起来完全像这样，从而大大发展了这个想法。

如果我们使用基塔耶夫的构造将图灵机的整个历史以叠加态放入材料的基态中，我们能否将停机问题转化为谱隙问题？换句话说，我们能否证明，任何解决谱隙问题的方法也会解决停机问题？由于图灵已经证明停机问题是不可判定的，这将证明谱隙问题也一定是不可判定的。

将停机问题编码到量子态中并不是一个新想法。现在在麻省理工学院的塞思·劳埃德早在近二十年前就提出了这个想法，以证明另一个量子问题的不可判定性。滑铁卢 Perimeter 理论物理研究所的丹尼尔·戈特斯曼和加州大学欧文分校的桑迪·伊拉尼使用基塔耶夫的想法证明，即使是相互作用的量子粒子的单行线也可能表现出非常复杂的行为。事实上，我们希望利用的是戈特斯曼和伊拉尼版本的基塔耶夫构造。

但是谱隙是一个不同类型的问题，我们面临着一些显然难以逾越的数学障碍。第一个障碍与向图灵机提供输入有关。请记住，停机问题的不可判定性是关于图灵机在给定输入的情况下是否会停止。我们如何设计我们的虚构量子材料，使其能够让我们选择要编码在基态中的图灵机输入？

在研究早期的问题（我们仍然在塞费尔德的咖啡馆里陷入困境的那个问题）时，我们想到了如何通过在粒子之间的相互作用中加入“扭曲”并使用这种旋转角度来创建图灵机的输入，从而纠正这个问题。2013年1月，我们在北京的一次会议上会面，共同讨论了这个计划。但我们很快意识到，我们必须证明的东西非常接近于与关于量子图灵机的已知结果相矛盾。我们决定，在进一步推进该项目之前，我们需要一个完整而严谨的证明，证明我们的想法是可行的。

此时，托比已经在马德里康普顿斯大学大卫·佩雷斯-加西亚的研究小组工作了两年多。同月，他搬到了剑桥大学，但他在那里的新公寓尚未准备好，因此他的朋友和量子信息理论家同事阿什利·蒙塔纳罗提出要收留他。在那两个月里，他开始着手对这个想法进行严格的证明。他的朋友早上会在厨房的桌子上发现他，旁边放着一排空咖啡杯，准备睡觉，他通宵工作，弄清楚细节并将它们打出来。在那两个月结束时，托比发出了完成的证明。

为了纪念过去的铺砖

这份29页的证明展示了如何克服将量子材料的基态与图灵机计算联系起来的障碍之一。但是，实现该目标甚至存在更大的障碍：由此产生的量子材料始终是无隙的。如果它始终是无隙的，那么对于这种特定材料的谱隙问题就非常容易解决：答案是无隙！

我们最初在塞费尔德提出的想法，虽然证明的结果比我们想要的要弱得多，但仍然设法绕过了这个障碍。关键是使用“铺砖”。想象一下你要用瓷砖覆盖一个大的浴室地板。事实上，想象一下这是一个无限大的浴室。瓷砖上的图案非常简单：瓷砖的四个边每个边都是不同的颜色。你有很多箱瓷砖，每箱瓷砖的颜色排列都不同。现在想象一下，每箱瓷砖都有无限供应。你当然希望铺满无限大的浴室地板，使相邻瓷砖上的颜色匹配。这有可能吗？

答案取决于你有哪些箱瓷砖可用。使用某些彩色瓷砖组，你将能够铺满无限大的浴室地板。使用另一些，你将无法做到。在你选择购买哪些箱瓷砖之前，你想知道它们是否有效。对你来说不幸的是，1966年，数学家罗伯特·伯格证明了这个问题是不可判定的。

铺满无限大的浴室地板的一种简单方法是首先铺一个小矩形，使其相对两侧的颜色匹配。然后你可以通过重复这个矩形图案来覆盖整个地板。由于这些图案每隔几个瓷砖重复一次，因此被称为周期性的。铺砖问题不可判定的原因是也存在非周期性铺砖：覆盖无限大地板但永不重复的图案。

当我们讨论我们最初的小结果时，我们研究了加州大学伯克利分校的拉斐尔·M·罗宾逊在1971年对伯格原始证明进行的简化。罗宾逊构建了一组56种不同的瓷砖，当用于铺设地板时，会产生越来越大的正方形的互锁图案。这种分形图案看起来是周期性的，但事实上，它永远不会完全重复自身。我们广泛讨论了使用铺砖结果来证明量子性质不可判定性的方法。但当时，我们甚至没有考虑谱隙。这个想法一直处于休眠状态。

2013年4月，托比拜访了IBM托马斯·J·沃森研究中心的查理·贝内特。在成为量子信息理论的奠基人之一之前，贝内特的众多成就之一是他在20世纪70年代在图灵机方面做出的开创性工作。我们想就我们证明中的一些技术细节向他请教，以确保我们没有忽略某些东西。他说他已经40年没有考虑过这些东西了，现在是年轻一代接手的时候了。（然后他非常乐于助人地解释了他20世纪70年代工作的一些微妙的数学细节，这使我们确信我们的证明是没问题的。）

贝内特拥有大量的科学知识。由于我们一直在谈论图灵机和不可判定性，他通过电子邮件发送了几篇他认为我们可能会感兴趣的关于不可判定性的旧论文的副本。其中一篇就是罗宾逊在1971年发表的同一篇论文，我们之前研究过。现在，在我们早期的讨论中播下的种子到了焕发生机的时候了。再次阅读罗宾逊的论文，我们意识到这正是我们防止谱隙消失所需要的。

我们最初的想法是将图灵机的一个副本编码到基态中。通过仔细设计粒子之间的相互作用，如果图灵机停止，我们可以使基态能量稍微升高。然后，谱隙——到第一激发态的能量跃迁——将取决于图灵机是否停止。这个想法只有一个问题，而且是一个大问题。随着粒子数量的增加，对基态能量的额外贡献越来越接近于零，导致材料始终是无隙的。

但是通过改编伯格的铺砖构造，我们可以将许多副本完全相同的图灵机编码到基态中。事实上，我们可以将一个副本附加到罗宾逊铺砖图案中的每个正方形。由于这些是同一图灵机的相同副本，如果其中一个停止，则它们全部停止。来自所有这些副本的能量贡献会累加起来。随着粒子数量的增加，铺砖图案中的正方形数量变得更大。因此，图灵机的副本数量增加，它们的能量贡献变得巨大，这为我们提供了谱隙的可能性。

考试和截止日期

我们证明的结果仍然存在一个重大的弱点。我们无法说明当材料有隙时，能量间隙有多大。这种不确定性使我们的结果容易受到批评，即间隙可能非常小，以至于它可能根本不存在。我们需要证明，当间隙存在时，实际上是很大的。当我们考虑三维材料而不是我们之前一直在考虑的平面材料时，我们找到了第一个解决方案。

当你无法停止思考一个数学问题时，你会在最意想不到的地方取得进展。大卫在监考时，在脑海中研究了这个想法的细节。在考场里沿着一排排桌子走动时，他对周围学生们紧张地考试浑然不觉。一旦考试结束，他就将证明的这部分写在纸上。

我们现在知道获得大的谱隙是可能的。我们也可以在二维中获得它吗，还是必须是三维的？记住铺满无限大的浴室地板的问题。我们需要证明的是，对于罗宾逊铺砖，如果你在某个地方放错了一块瓷砖，但其他地方的颜色仍然匹配，那么瓷砖形成的图案只会以这块错放的瓷砖为中心在一个小区域内被破坏。如果我们能证明罗宾逊铺砖的这种“鲁棒性”，那就意味着没有办法通过仅稍微破坏铺砖来获得小的谱隙。

到2013年夏末，我们觉得我们已经掌握了证明工作所需的所有要素。但仍有一些重要的细节需要解决，例如证明铺砖的鲁棒性可以与所有其他证明要素合并，从而给出完整的结果。剑桥大学的艾萨克·牛顿数学科学研究所将在2013年秋季学期举办一个关于量子信息的特别研讨会。我们三人都被邀请参加。这是共同完成该项目的绝佳机会。但大卫无法在剑桥待太久。我们决心在他离开之前完成证明。

艾萨克·牛顿研究所到处都有黑板——甚至在浴室里！我们选择了走廊里的一个黑板（离咖啡机最近的那个）进行讨论。我们花了很长时间在黑板上推导缺失的想法，然后将使这些想法在数学上严谨的任务分配给我们。这个过程总是比在黑板上看起来花费更多的时间和精力。随着大卫离开日期的临近，我们整天和大部分晚上都不间断地工作。就在他回家前几个小时，我们终于得到了一个完整的证明。

在物理学和数学领域，研究人员通常通过在arXiv.org预印本服务器上发布论文草稿，然后在提交给期刊进行同行评审之前，首次公开大部分研究成果。尽管我们现在相当确信整个论证是可行的，最困难的部分已经过去，但我们的证明尚未准备好发布。还有许多数学细节需要补充。我们还想重写和整理论文（我们希望在此过程中减少页数，尽管在这方面我们将彻底失败）。最重要的是，尽管我们中至少有一个人检查了证明的每个部分，但没有人从头到尾完整地看过一遍。

2014年夏天，大卫在慕尼黑工业大学与迈克尔一起休假。托比出去加入了他们。计划是花时间逐行检查和完成整个证明。大卫和托比共用一间办公室。每天早上，大卫都会带着一份新的论文草稿打印稿、大量的笔记以及潦草地写在页边和夹页上的问题来到办公室。我们三个人会喝咖啡，然后从我们昨天停下的地方继续，在黑板上讨论证明的下一部分。下午，我们分工合作，重写论文，添加新材料，并浏览证明的下一部分。托比患有椎间盘突出，无法坐下，因此他将笔记本电脑放在桌子上倒扣的垃圾桶上工作。大卫坐在对面，越来越多的打印稿和笔记占据了他越来越多的办公桌。在几次情况下，我们发现了证明中的重大漏洞。这些漏洞最终被证明是可以克服的，但弥合这些漏洞意味着要添加大量材料。页数继续增加。

在六周后，我们检查、完成并改进了证明的每一行。还需要六个月才能完成所有的撰写工作。最终，在 2015 年 2 月，我们将论文上传到了 arXiv.org。

这一切意味着什么

这 146 页复杂的数学最终告诉了我们什么？

首先，也是最重要的，它们给出了一个严格的数学证明，证明量子物理学的基本问题之一通常是无法解决的。请注意，这里的“通常”至关重要。即使停机问题通常是不可判定的，但对于图灵机的特定输入，通常仍然有可能判断它是否会停机。例如，如果输入的第一个指令是“停机”，答案就很清楚。如果第一个指令告诉图灵机永远循环，情况也是如此。因此，尽管不可判定性意味着谱隙问题对于所有材料都无法解决，但对于特定材料来说，完全有可能解决它。事实上，凝聚态物理学中充满了这样的例子。尽管如此，我们的结果严格证明，即使对材料粒子之间的微观相互作用进行完美、完整的描述，也并不总是足以推导出其宏观性质。

您可能在问自己，这一发现对“真实的物理学”有何影响。毕竟，科学家总是可以尝试在实验中测量谱隙。想象一下，如果我们能够从我们的数学证明中设计出量子材料，并在实验室中制造出一块。它的相互作用非常复杂，远远超出了科学家们可能做到的任何事情。但是，如果我们能够做到这一点，然后取一块材料并尝试测量其谱隙，该材料不能简单地摊手说：“我无法告诉你——它是不可判定的。”实验必须测量某些东西。

这个明显的悖论的答案在于，严格来说，“有隙”和“无隙”这两个术语只有在材料无限大的时候才有数学意义。现在，即使是非常小的一块材料中包含的约 10²³ 个原子也代表着一个非常大的数字。对于普通材料来说，这已经非常接近无穷大了，以至于可以忽略不计。但是，对于我们的证明中构建的非常奇怪的材料来说，大并不等同于无穷大。也许对于 10²³ 个原子，材料在实验中看起来是无隙的。为了确保这一点，您取一个尺寸是原来两倍的材料样本并再次测量。仍然是无隙的。然后，在深夜，您的研究生走进实验室，只添加了一个额外的原子。第二天早上，当您再次测量时，材料变成了有隙的！我们的结果证明，这种转变可能发生的大小是不可计算的（与您现在熟悉的哥德尔-图灵意义相同）。这个故事目前完全是假设性的，因为我们无法设计出如此复杂的材料。但这通过严格的数学证明表明，科学家在推断更大尺寸下相同材料的行为时，必须格外小心地推断实验结果。

在本文描述的工作完成后，我们继续将其扩展到一维系统和相图。此后，量子物理学中的其他重要问题也被证明可以使用计算机科学的技术来判定为不可判定，这对数学产生了深远的影响。1935 年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森意识到，量子力学预测了他们所谓的“幽灵般的超距作用”——纠缠量子粒子对之间的关联，这在经典物理学中是不可能的。在一次重大突破中，由悉尼科技大学的季铮锋领导的团队最近宣布了一项结果，证明即使在一定的合理精度范围内，估计这种关联在一般情况下也是不可判定的。他们的结果反驳了数学中一个悬而未决 40 多年的深刻猜想。

现在我们回到杨-米尔斯问题——描述夸克及其相互作用的方程是否具有质量间隙的问题。计算机模拟表明答案是肯定的，但我们的结果表明，确定答案可能又是另一回事。如果我们将模拟稍微扩大一点，杨-米尔斯质量间隙的计算机模拟证据是否会消失？我们的结果无法说明，但它确实为杨-米尔斯问题以及其他对物理学家重要的问题可能是不可判定的这一有趣的可能打开了大门。

那么，我们多年前在奥地利阿尔卑斯山的一家咖啡馆里试图证明的最初的、微小的且不太重要的结果呢？实际上，我们仍在研究它。