二十一年前的本周，数学家们发布了一份该领域最重要的七个未解难题清单。解答这些难题将为基础数学提供重大的新见解，甚至可能对密码学等技术产生实际影响。
但是，数学领域的重大问题通常不像其他科学领域的谜团那样引起外界的兴趣。密歇根大学的数学家魏何说，当谈到理解数学研究是什么样子，或者它的意义是什么时，许多人仍然感到困惑。尽管人们常常误解她的工作的性质，但魏何说这并不难解释。“我的鸡尾酒会开场白总是关于椭圆曲线，”她补充道。魏何经常问参加聚会的人，“你们知道中学学过的抛物线和圆吗？一旦你开始研究三次方程，事情就会变得非常困难……关于它们，还有很多未解之谜。”
一个著名的未解问题，即伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，涉及椭圆曲线方程解的性质，它是七个千禧年难题之一，这些难题是由克莱数学研究所（CMI）的创始科学顾问委员会选出的，该研究所将其描述为“数学家在第二个千年之交努力解决的一些最困难的问题”。在2000年5月24日在巴黎举行的特别活动中，该研究所宣布为首次有效解决这些问题之一的解答或反例提供100万美元的奖金。2018年修订的规则规定，该结果必须在“全球数学界获得普遍认可”。
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2000年的公告为人们研究这七个问题提供了价值700万美元的理由：黎曼猜想、伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想、P与NP问题、杨-米尔斯存在性和质量间隙问题、庞加莱猜想、纳维-斯托克斯存在性和光滑性问题以及霍奇猜想。然而，尽管有大张旗鼓的宣传和金钱激励，21年后，只有庞加莱猜想被解决了。
意外的解决方案
2002年和2003年，当时在俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分部的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在网上分享了他与庞加莱猜想解决方案相关的工作。2010年，CMI 宣布佩雷尔曼证明了该猜想，并在此过程中也解决了已故数学家威廉·瑟斯顿的相关几何化猜想。（佩雷尔曼很少与公众接触，并拒绝了奖金。）
根据CMI的说法，庞加莱猜想关注一个拓扑问题，即三维曲面的球体是否“本质上由”称为“单连通性”的属性表征。该属性意味着，如果您用橡皮筋包裹球体的表面，您可以压缩该橡皮筋——无需撕裂或将其从表面移除——直到它只是一个点。二维球体或甜甜圈孔是单连通的，但甜甜圈（或另一个带有孔洞的形状）不是。
牛津大学数学家兼CMI主席马丁·布里森将佩雷尔曼的证明描述为“当然是过去20年中最伟大的事件之一”，并且是“对三维空间是什么样子的思想和我们理解的集大成之作”。这项发现可能会在未来带来更多见解。“该证明需要新的工具，这些工具本身正在数学和物理学中产生深远的应用，”弗吉尼亚大学数学家肯·小野说。
小野一直专注于另一个千禧年难题：黎曼猜想，它涉及素数及其分布。2019年，他和他的同事在美国国家科学院院刊Proceedings of the National Academy of Sciences USA上发表了一篇论文，重新审视了一种古老的、先前被放弃的方法，以努力解决这个问题。在随附的评论中，普林斯顿高等研究院的数学家、1974年菲尔兹奖（数学界的最高荣誉）获得者恩里科·邦别里将这项研究描述为“重大突破”。然而，小野说，将他的工作描述为“任何暗示我们即将证明黎曼猜想”都是没有根据的。多年来，其他人也一直在努力解决这个问题。例如，小野说，数学家“特里·陶几年前写了一篇关于[数学家查尔斯·]纽曼的黎曼猜想计划的精彩论文”。
关于哪些方法行不通的进展
到目前为止，只解决了一个列出的问题，这对于专家来说并不奇怪——毕竟，这些难题是长期存在的，而且非常困难。“到目前为止，已解决的问题数量比我预期的要多一个，”普林斯顿大学数学家、2014年菲尔兹奖获得者曼朱尔·巴尔加瓦说。巴尔加瓦本人报告了多项与伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想相关的最新成果，其中包括一项他表示他和他的同事“证明超过66%的椭圆曲线满足伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想”的成果。
所有问题都不容易解决，但有些问题可能被证明尤其棘手。P与NP问题似乎非常难以解决，以至于德克萨斯大学奥斯汀分校的理论计算机科学家斯科特·阿伦森称其为“我们无知的标志”。这个问题涉及容易验证的问题（一类称为NP的查询）是否也具有容易找到的解决方案（一类称为P）的问题。* 阿伦森广泛撰写了关于P与NP问题的文章。在2009年发表的一篇论文中，他和高等研究院的数学家和计算机科学家、2021年阿贝尔奖获得者之一阿维·威格森展示了证明P类与NP类不同的新障碍。阿伦森和威格森发现的障碍是迄今为止发现的第三个障碍。
“在展示哪些方法行不通方面，我们取得了很大进展，”麻省理工学院的理论计算机科学家和数学家弗吉尼亚·瓦西列夫斯卡·威廉姆斯说。“证明P[不]等于NP将是证明密码学基础良好的重要垫脚石，”她补充道。“目前，密码学是基于未经证实的假设之上的，”其中一个假设是P不等于NP。“为了证明你无法破解人们在现代计算机中需要的密码协议”，包括那些保护我们的金融和其他在线个人信息的协议，“你至少需要证明P不等于NP，”瓦西列夫斯卡·威廉姆斯指出。“当人们试图让我确定一个数字时，”阿伦森说，“我会给出97%或98%的概率，P不等于NP。”
攀登珠穆朗玛峰
小野说，寻找这些难题的解决方案类似于首次尝试攀登珠穆朗玛峰。“沿途的各个步骤都代表着进步，”他补充道。“真正的问题是：你能到达大本营吗？如果你能，你仍然知道你还很遥远。”
对于伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想和黎曼猜想等问题，小野说，“当然，我们现在在尼泊尔”——攀登这座山的出发国之一——“但我们到达大本营了吗？” 数学家可能仍然需要额外的“装备”才能跋涉到顶峰。“我们现在正试图弄清楚高科技工具、氧气瓶的数学对应物是什么，这将是帮助我们到达顶峰所必需的，”小野说。谁知道在当前研究和这些问题的可能解决方案之间可能存在多少障碍？“也许有20个。也许我们比我们想象的更接近，”小野说。
尽管问题很困难，但数学家对长期前景持乐观态度。“我非常希望在我担任克莱研究所主席期间，其中一个问题能够得到解决，”布里森说，他指出CMI正在制定战略，以最佳方式继续提高对这些问题的认识。“但人们必须接受，它们是极其困难的问题，即使在我有生之年没有得到解决，也可能会继续塑造数学的面貌。”
*编者注（2021年6月2日）：此句在发布后进行了修订，以更正对P与NP问题的描述。