孩提时代，我们都学习数字。我们从计数开始，然后是加法、减法、乘法和除法。但是数学家知道，我们在学校学习的数字系统只是众多可能性之一。其他类型的数字对于理解几何和物理学非常重要。在最奇怪的替代方案中，八元数就是其中之一。自从 1843 年被发现以来，它们在很大程度上被忽视了，但在过去的几十年里，它们在弦理论中占据了令人好奇的重要性。事实上，如果弦理论是宇宙的正确表示，它们可能会解释为什么宇宙具有现在的维度数。
虚数的真实化
八元数不会是第一个后来被用来增强我们对宇宙的理解的纯数学分支。它也不会是第一个后来被证明具有实际用途的替代数字系统。为了理解原因，我们首先必须看看最简单的数字情况——我们在学校学到的数字系统——数学家称之为实数。所有实数的集合构成一条线，所以我们说实数的集合是一维的。我们也可以反过来思考这个想法：线是一维的，因为指定线上的一个点需要一个实数。
在 1500 年代之前，实数是唯一的选择。然后，在文艺复兴时期，雄心勃勃的数学家试图解决越来越复杂的方程形式，甚至举办竞赛来比拼谁能解决最困难的问题。意大利数学家、医生、赌徒和占星家杰罗拉莫·卡尔达诺将 –1 的平方根作为一种秘密武器引入。当其他人可能会挑剔时，他大胆地让自己使用这个神秘的数字作为较长计算的一部分，而这些计算的答案是普通的实数。他不确定这个技巧为什么有效；他只知道它给了他正确的答案。他在 1545 年发表了他的想法，从而引发了一场持续了几个世纪的争论：–1 的平方根真的存在吗，还是只是一个技巧？将近 100 年后，伟大的思想家勒内·笛卡尔给出了他的判决，他给它起了贬义的名字“虚数”，现在缩写为 i。
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尽管如此，数学家们还是追随卡尔达诺的脚步，开始研究复数——形式为 a + bi 的数字，其中 a 和 b 是普通的实数。大约在 1806 年，让-罗伯特·阿尔冈普及了复数描述平面上点的想法。a + bi 如何描述平面上的一个点？很简单：数字 a 告诉我们该点向左或向右有多远，而 b 告诉我们它向上或向下有多远。
通过这种方式，我们可以将任何复数视为平面上的一个点，但阿尔冈更进一步：他展示了如何将可以对复数进行的运算（加法、减法、乘法和除法）视为平面上的几何操作。
作为理解如何将这些运算视为几何操作的热身，首先考虑实数。加或减任何实数都会将实数线向右或向左滑动。乘以或除以任何正数都会拉伸或挤压直线。例如，乘以 2 会将直线拉伸 2 倍，而除以 2 会将其向下挤压，使所有点移动到原来距离的一半。乘以 –1 会翻转直线。
相同的过程适用于复数，只是增加了一些额外的变化。将任何复数 a + bi 加到平面上的一个点，都会使该点向右（或向左）滑动 a 个单位，向上（或向下）滑动 b 个单位。乘以复数会拉伸或挤压复平面，也会旋转复平面。特别是，乘以 i 会将平面旋转四分之一圈。因此，如果我们将 1 乘以 i 两次，我们会将平面从起点旋转整整半圈，到达 –1。
几乎所有我们可以用实数做的事情也可以用复数来完成。事实上，正如卡尔达诺所知，大多数事情都做得更好，因为我们可以用复数比用实数解出更多的方程。但是，如果二维数字系统为用户提供了额外的计算能力，那么更高维度的系统又如何呢？不幸的是，简单的扩展被证明是不可能的。一位爱尔兰数学家将在几十年后揭开高维数字系统的秘密。而直到现在，两个世纪过去了，我们才开始理解它们有多么强大。
汉密尔顿的炼金术
1835 年，在 30 岁时，数学家和物理学家威廉·罗文·汉密尔顿发现了如何将复数视为实数对。当时，数学家通常以阿尔冈普及的形式 a + bi 书写复数，但汉密尔顿注意到，我们也可以自由地将数字 a + bi 视为编写两个实数的特殊方式——例如 (a, b)。
这种表示法使得复数的加法和减法非常容易——只需将对中对应的实数相加或相减即可。汉密尔顿还提出了一些稍微复杂的规则，用于复数的乘法和除法，以便它们保持阿尔冈发现的优良几何意义。
在汉密尔顿发明了这个具有几何意义的复数代数系统之后，他多年来一直试图发明一个更大的三元组代数，该代数将在三维几何中发挥类似的作用，但这种努力给他带来了无尽的挫败感。他曾经给他的儿子写信说：“每天早上……当我下楼吃早餐时，你的（当时的）小弟弟威廉·埃德温和你自己，过去常常问我：‘爸爸，你能乘三元组吗？’对此，我总是不得不悲伤地摇摇头回答：‘不，我只能加减它们。’”尽管他当时不可能知道，但他给自己布置的任务在数学上是不可能的。
汉密尔顿正在寻找一个三维数字系统，他可以在其中进行加法、减法、乘法和除法。除法是困难的部分：可以进行除法的数字系统称为除法代数。直到 1958 年，三位数学家才证明了一个几十年来一直被怀疑的惊人事实：任何除法代数都必须具有维度一（仅仅是实数）、二（复数）、四或八。为了成功，汉密尔顿不得不改变游戏规则。
汉密尔顿本人在 1843 年 10 月 16 日找到了解决方案。当时他和妻子沿着皇家运河走到都柏林皇家爱尔兰学院开会，突然有了顿悟。在三维空间中，旋转、拉伸和收缩无法仅用三个数字来描述。他需要第四个数字，从而生成一个名为四元数的四维集合，其形式为 a + bi + cj + dk。这里的数字 i、j 和 k 是 –1 的三个不同的平方根。
汉密尔顿后来写道：“当时我感觉思想的电流回路闭合了；从中迸发出的火花是 i、j 和 k 之间的基本方程；与我此后一直使用的完全相同。”并且，他以一种值得注意的数学破坏行为，将这些方程刻在了布鲁厄姆桥的石头上。虽然它们现在被涂鸦覆盖，但那里已经放置了一块牌匾以纪念这一发现。
在四维空间中需要点来描述三维空间中的变化似乎很奇怪，但这是真的。其中三个数字来自描述旋转，如果我们想象尝试驾驶飞机，我们可以最容易地看到这一点。为了确定飞机的方向，我们需要控制飞机的俯仰角，即与水平面的角度。我们可能还需要像汽车一样，通过向左或向右转来调整偏航。最后，我们可能需要调整滚转：飞机机翼的角度。我们需要的第四个数字用于描述拉伸或收缩。
汉密尔顿余生都沉迷于四元数，并发现了它们的许多实际用途。如今，在许多这些应用中，四元数已被其更简单的表亲所取代：向量，向量可以被认为是特殊形式的四元数 ai + bj + ck（第一个数字只是零）。然而，四元数仍然有其用武之地：它们提供了一种在计算机上表示三维旋转的有效方法，并且在需要它的任何地方都会出现，从航天器的姿态控制系统到视频游戏的图形引擎。
无穷无尽的虚数
尽管有这些应用，我们可能想知道，如果我们已经将 –1 的平方根定义为 i，那么 j 和 k 到底是什么。这些 –1 的平方根真的存在吗？我们能否随意地不断发明新的 –1 的平方根？
这些问题是汉密尔顿的大学朋友，一位名叫约翰·格雷夫斯的律师提出的，他对代数的业余兴趣首先让汉密尔顿开始思考复数和三元组。在 1843 年秋季那次命运攸关的散步后的第二天，汉密尔顿就给格雷夫斯寄了一封信，描述了他的突破。格雷夫斯在九天后回复，称赞汉密尔顿的想法大胆，但补充说：“该系统中仍然有一些东西让我感到困惑。对于我们可以随意创造虚数并赋予它们超自然属性的程度，我还没有任何清晰的看法。”他问道：“如果用你的炼金术可以炼出三磅黄金，你为什么要停在那里呢？”
像之前的卡尔达诺一样，格雷夫斯将他的担忧放在一边足够长的时间，以便自己变出一些黄金。12 月 26 日，他再次写信给汉密尔顿，描述了一种新的八维数字系统，他称之为八度音阶，现在称为八元数。然而，格雷夫斯未能引起汉密尔顿对他想法的兴趣。汉密尔顿承诺在爱尔兰皇家学会谈论格雷夫斯的八度音阶，这是当时数学成果的发表方式之一。但汉密尔顿一直拖延，1845 年，年轻的天才亚瑟·凯莱重新发现了八元数，并在出版方面击败了格雷夫斯。因此，八元数有时也被称为凯莱数。
为什么汉密尔顿不喜欢八元数？首先，他沉迷于对自己发现的四元数的研究。他也有一个纯粹的数学原因：八元数打破了一些珍视的算术定律。
四元数已经有点奇怪了。当您乘以实数时，顺序无关紧要——例如，2 乘以 3 等于 3 乘以 2。我们说乘法是可交换的。复数也是如此。但是四元数是不可交换的。乘法的顺序很重要。
顺序很重要，因为四元数描述了三维空间中的旋转，而对于这种旋转，顺序会影响结果。您可以自己检查一下。拿一本书，将其从上到下翻转（以便您现在看到的是封底），并顺时针旋转四分之一圈（从上方看）。现在以相反的顺序执行这两个操作：先旋转四分之一圈，然后再翻转。最终位置发生了变化。由于结果取决于顺序，因此旋转不可交换。
八元数要奇怪得多。它们不仅不可交换，而且还打破了另一个熟悉的算术定律：结合律 (xy)z = x(yz)。我们在数学学习中都见过非结合运算：减法。例如，(3 – 2) – 1 不同于 3 – (2 – 1)。但我们已经习惯了乘法是结合律的，大多数数学家仍然这样认为，即使他们已经习惯了非交换运算。例如，旋转是结合律的，即使它们不可交换。
但也许最重要的是，在汉密尔顿的时代，还不清楚八元数有什么用。它们与七维和八维几何密切相关，我们可以使用八元数的乘法来描述这些维度中的旋转。但在一个多世纪的时间里，这纯粹是一种智力练习。现代粒子物理学（尤其是弦理论）的发展，才让我们看到八元数如何在现实世界中发挥作用。
对称性和弦
在 1970 年代和 1980 年代，理论物理学家提出了一个引人注目的美丽想法，称为超对称性。（后来的研究人员会了解到弦理论需要超对称性。）它指出，在最基本的层面上，宇宙表现出物质与自然力之间的对称性。每个物质粒子（例如电子）都有一个携带力的伙伴粒子。每个力粒子（例如光子，电磁力的载体）都有一个孪生物质粒子。
超对称性还包括这样一种观点，即如果我们交换所有物质和力粒子，物理定律将保持不变。想象一下，在一个奇怪的镜子中观看宇宙，这个镜子与其说是左右互换，不如说是将每个力粒子换成物质粒子，反之亦然。如果超对称性是真实的，如果它真正描述了我们的宇宙，那么这个镜像宇宙的运作方式将与我们的宇宙相同。尽管物理学家尚未找到任何支持超对称性的具体实验证据，但该理论非常具有诱惑力，并且已经产生了如此多令人着迷的数学，以至于许多物理学家希望并期望它是真实的。
然而，我们知道有一件事是真实的，那就是量子力学。根据量子力学，粒子也是波。在物理学家每天使用的标准三维量子力学版本中，一种类型的数字（称为旋量）描述了物质粒子的波动。另一种类型的数字（称为向量）描述了力粒子的波动。如果我们想理解粒子相互作用，我们必须使用一种拼凑而成的乘法模拟来结合这两种类型。尽管我们目前使用的系统可能有效，但它一点也不优雅。
作为一种替代方案，想象一个没有时间，只有空间的奇怪宇宙。如果这个宇宙的维度是一维、二维、四维或八维，那么物质粒子和力粒子都将是由单一类型的数字描述的波——即除法代数中的数字，除法代数是唯一允许加法、减法、乘法和除法的系统。换句话说，在这些维度中，向量和旋量重合：它们分别只是实数、复数、四元数或八元数。超对称性自然而然地出现，为物质和力提供统一的描述。简单的乘法描述了相互作用，所有粒子（无论类型如何）都使用相同的数字系统。
然而，我们虚构的宇宙不可能是真实的，因为我们需要考虑时间。在弦理论中，这种考虑具有有趣的效应。在任何时刻，弦都是一维的东西，就像曲线或直线一样。但是，随着时间的推移，这条弦会描绘出一个二维表面。这种演变通过增加两个维度（一个用于弦，一个用于时间）来改变超对称性出现的维度。我们得到的不是一维、二维、四维或八维的超对称性，而是三维、四维、六维或十维的超对称性。
巧合的是，弦理论家多年来一直表示，只有十维版本的理论是自洽的。其余的都存在称为异常的故障，在其中以两种不同的方式计算同一件事会给出不同的答案。在除十维以外的任何维度中，弦理论都会崩溃。但是正如我们刚刚看到的，十维弦理论是使用八元数的理论版本。因此，如果弦理论是正确的，那么八元数就不是无用的怪事：相反，它们提供了宇宙必须具有十维的深层原因：在十维中，物质粒子和力粒子都体现在同一类型的数字中——八元数。
但这还不是故事的结局。最近，物理学家开始超越弦，开始考虑膜。例如，二维膜或 2-膜在任何瞬间都像一张薄片。随着时间的推移，它在时空中描绘出一个三维体积。
在弦理论中，我们必须将两个维度添加到我们的一维、二维、四维和八维标准集合中，现在我们必须添加三个维度。因此，当我们处理膜时，我们期望超对称性自然地出现在四维、五维、七维和十一维中。并且与弦理论一样，我们有一个惊喜：研究人员告诉我们，M 理论（“M”通常代表“膜”）需要十一维——这意味着它应该自然地利用八元数。唉，没有人足够了解 M 理论，甚至无法写下它的基本方程（M 也可以代表“神秘”）。很难准确地说出它未来可能采取什么形式。
在这一点上，我们应该强调，弦理论和 M 理论迄今尚未做出任何可用于实验检验的预测。它们是美丽的梦想——但到目前为止只是梦想。我们生活的宇宙看起来不是十维或十一维的，我们也没有看到物质粒子和力粒子之间的任何对称性。戴维·格罗斯是世界顶级的弦理论专家之一，他目前认为在欧洲核子研究中心的大型强子对撞机上看到一些超对称性证据的几率为 50%。怀疑论者说可能性要小得多。只有时间会证明一切。
由于这种不确定性，我们离知道奇怪的八元数在理解我们周围的世界中是否具有根本重要性，或者仅仅是一块美丽的数学还有很长的路要走。当然，数学之美本身就是一个有价值的目的，但如果八元数最终被构建到自然的结构中，那将更加令人愉快。正如复数的故事和无数其他数学发展所表明的那样，纯粹的数学发明后来恰好提供了物理学家需要的工具，这绝非首次。