正在重塑物理学的奇异拓扑学

查尔斯·凯恩从未想过他会与拓扑学家为伍。“我不像数学家那样思考，”凯恩承认道，他是一位理论物理学家，一直专注于关于固体材料的实际问题。他并非孤例。物理学家通常很少关注拓扑学——对形状及其在空间中排列的数学研究。但现在，凯恩和其他物理学家正涌向这个领域。

在过去的十年里，他们发现拓扑学为材料物理学提供了独特的见解，例如某些绝缘体如何在表面单原子层上偷偷地导电。

其中一些拓扑效应在 20 世纪 80 年代被发现，但直到最近几年，研究人员才开始意识到它们可能比任何人预期的都更普遍和更奇异。拓扑材料一直“摆在眼前，但人们没有想到去寻找它们”，在费城宾夕法尼亚大学工作的凯恩说。

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现在，拓扑物理学正在真正爆发：在固态物理学论文中，标题中没有“拓扑学”这个词的情况似乎越来越少见。实验学家即将变得更加忙碌。本周《自然》杂志第 298 页的一项研究揭示了一个可能具有拓扑效应的材料图谱，为物理学家提供了更多寻找奇异物质状态（如外尔费米子或量子自旋液体）的地方。

科学家们希望拓扑材料最终可以在更快、更高效的计算机芯片，甚至在奇特的量子计算机中找到应用。这些材料已经被用作虚拟实验室，以测试关于奇异的和未被发现的基本粒子以及物理定律的预测。许多研究人员表示，拓扑物理学的真正回报将是对物质本质的更深入理解。“拓扑物理学中的涌现现象可能就在我们周围——甚至在一块石头中，”新泽西州普林斯顿大学的物理学家扎希德·哈桑说。

亚原子粒子的一些最基本属性，其核心是拓扑的。以电子的自旋为例，它可以指向上或向下。将电子从向上翻转到向下，然后再翻转到向上，您可能会认为这种 360° 旋转会将粒子恢复到其原始状态。但事实并非如此。

在奇异的量子物理世界中，电子也可以表示为波函数，该波函数编码了关于粒子的信息，例如在特定自旋状态下找到它的概率。与直觉相反，360° 旋转实际上会移动波函数的相位，从而使波峰变成波谷，反之亦然。需要再完整旋转 360° 才能最终使电子及其波函数回到它们的起始状态。

这正是数学家最喜欢的拓扑学奇特事物之一中发生的事情：莫比乌斯带，它是由将带子扭曲一次，然后将其两端粘合在一起形成的。如果一只蚂蚁爬过带子的一整个环，它会发现自己位于与起点相反的一侧。它必须再绕一圈才能回到它的初始位置。

蚂蚁的情况不仅仅是电子波函数发生情况的类比——它实际上发生在由量子波组成的抽象几何空间内。这就像每个电子都包含一个微小的莫比乌斯带，它携带一点有趣的拓扑学。所有共享此属性的粒子，包括夸克和中微子，都称为费米子；那些不共享此属性的粒子，例如光子，称为玻色子。

大多数物理学家在研究诸如自旋之类的量子概念时，并不担心它们的拓扑学意义。但在 20 世纪 80 年代，华盛顿大学西雅图分校的大卫·索利斯等理论家开始怀疑拓扑学可能对一种名为量子霍尔效应的惊人现象负责，这种效应刚刚被发现。这种效应是指当材料放置在不同强度的磁场中时，单原子厚度晶体层中的电阻以离散的步长跳跃。至关重要的是，电阻不受温度波动或晶体中杂质的影响。哈桑说，这种稳健性是闻所未闻的，它是拓扑态的关键属性之一，物理学家现在渴望利用它。

具有扭曲的物理学

1982 年，索利斯和他的同事揭开了量子霍尔效应背后的拓扑学，这最终帮助索利斯分享了去年的诺贝尔物理学奖。与电子的自旋一样，这种拓扑学发生在抽象空间中。但在这种情况下，底层的形状不是莫比乌斯带，而是甜甜圈的表面。随着磁场的增强和减弱，涡旋可以在表面形成和消失，就像飓风眼周围的风模式一样。

涡旋具有一个称为绕组数的属性，它描述了它们围绕中心点循环的次数。绕组数是拓扑不变量——它们不会随着形状的变形而改变。并且，当磁场施加在甜甜圈周围时，闪烁出现和消失的涡旋的绕组数总和始终保持不变。该总和称为陈数，以华裔美国数学家陈省身的名字命名。拓扑学家自 20 世纪 40 年代以来就知道了这一点。

最令人震惊的发现尚未到来。直到 21 世纪初，量子霍尔效应和其他拓扑效应才仅在强磁场存在的情况下被观察到。但是凯恩和他的同事，以及另一个独立的团队，意识到由重元素制成的一些绝缘体可以通过电子和原子核之间的内部相互作用提供它们自己的磁场。这赋予材料表面上的电子稳健的“拓扑保护”状态，这使得它们能够以几乎为零的电阻流动。到 2008 年，哈桑的团队已经在锑化铋晶体中证明了这种效应，这些晶体被称为拓扑绝缘体。“那是乐趣的开始，”他说。

普林斯顿高等研究院的理论家爱德华·威滕说，这一发现震撼了物理学界，威滕是唯一一位获得过菲尔兹奖（数学领域最令人垂涎的奖项）的物理学家。他说，拓扑态远非奇异的例外，现在似乎为发现自然界中未知的效应提供了广阔的可能性。“范式已经改变了。”

最大的惊喜之一是，这些状态通常可以用那些为解决完全不同的问题而发明的理论来解释，例如调和引力与量子物理学。诸如威滕的拓扑量子场论之类的概念，随后导致了纯数学的突破，现在正以意想不到的方式回到物理学。“这是一个奇妙的循环思想，”另一位菲尔兹奖获得者，现在在英国剑桥大学工作的数学家迈克尔·阿蒂亚说，他也研究过这些理论。

纯粹的怪异

另一个主要的兴奋来源是，在拓扑材料中，电子和其他粒子有时可以形成状态，在这些状态下，它们集体表现得好像它们是一个基本粒子。这些“准粒子”状态可能具有任何已知基本粒子都不存在的属性（参见第 324 页）。它们甚至可以模仿物理学家尚未发现的粒子。

一些最受期待的准粒子是在两年前发现的。它们被称为外尔费米子，或无质量费米子，是数学家赫尔曼·外尔在 20 世纪 20 年代推测的。在传统粒子的动物园中发现的所有费米子都具有一定的质量。但是哈桑计算出，砷化钽晶体内部的拓扑效应应该产生像外尔费米子一样作用的无质量准粒子。对于准粒子而言，无质量意味着无论其能量如何，它都以相同的速度移动。2015 年，哈桑的团队实验证实了这一点，中国科学院北京分院翁红明领导的团队也证实了这一点。研究人员希望，这些类型的材料有一天可以用于超高速晶体管等应用。当电子撞击杂质时，在晶体中移动的电子通常会散射，这会减慢它们的行进速度，但哈桑的砷化钽晶体中的拓扑效应允许电子畅通无阻地行进。

与此同时，麻省理工学院剑桥分校的物理学家马林·索尔贾契奇和他的同事观察到了非常类似于外尔费米子的现象，但它发生在电磁波中，而不是在固体晶体中。首先，他们构建了一个回旋结构——一种迷人的 3D 图案，看起来像一个互锁的螺旋楼梯系统——方法是小心地在堆叠的塑料板上钻孔。然后，他们向回旋结构发射微波，发现光子——无质量玻色子——的行为就像哈桑材料中的外尔费米子准粒子。拓扑光子学这个蓬勃发展的领域最令人兴奋的前景之一是使用晶体来制造只能让光单向传播的光纤。这将防止光线从缺陷处反射回来，并将大大提高长距离传输的效率。

在纯粹的怪异程度上，可能唯一能超越索尔贾契奇的玻色子-费米子的是被称为任意子的奇怪事物。通常，单个粒子可以是费米子或玻色子。但是任意子——生活在二维原子薄材料中的准粒子——打破了这一规则。当两个相同的粒子交换位置时，研究人员可以观察到这种违规行为。在玻色子中，交换对集体波函数没有影响；对于费米子，它会将其波函数的相位移动 180°，类似于单个电子进行 360° 旋转时发生的情况。但是对于任意子，波函数的相位会改变一个角度，该角度取决于任意子的类型。更重要的是，理论表明，在某些情况下，再次交换任意子并不会恢复其原始波函数。

因此，如果研究人员可以彼此相邻地创建几个这样的任意子并将它们洗牌，它们的量子态将“记住”它们是如何被洗牌的。物理学家可以通过将任意子的二维空间运动添加到代表时间的第三维来可视化此过程。结果是缠绕在一起形成美丽辫子的线条轨迹。原则上，这种辫状状态可以用于编码量子比特，即量子计算机中的信息单位。它们的拓扑结构将保护量子比特免受外部噪声的影响，而外部噪声一直困扰着存储量子信息的每一种其他技术。

2005 年，微软对量子辫子进行了大量投资，当时它聘请数学家迈克尔·弗里德曼负责其量子计算工作。弗里德曼因破解 4D 球体的拓扑结构而于 1986 年获得了菲尔兹奖，并在 20 世纪 90 年代继续发展了一些关于编织量子比特的关键思想。最初，弗里德曼的团队主要专注于理论方面。但去年年底，微软从学术界聘请了几位明星实验学家。其中一位是荷兰代尔夫特理工大学的物理学家利奥·库文霍温，他于 2012 年首次通过实验证实，任意子等粒子会记住它们是如何被交换的。他现在正在代尔夫特校区建立一个新的微软实验室，旨在证明任意子可以编码量子比特并进行简单的量子计算。这种方法至少落后于其他形式的量子计算二十年，但弗里德曼认为拓扑量子比特的稳健性最终会取得胜利。“如果你要构建一项新技术，你必须把基础打好，”他说。哈桑正在尝试类似的实验，但他认为拓扑量子计算机至少还需要四十年。“我的预测是，物质的拓扑相将在大学实验室中保留多年，”他说。

拓扑图谱

然而，可能有一种方法可以加快工作速度。寻找新型拓扑绝缘体的实验学家传统上依赖于一个费力的过程，该过程涉及计算每种材料中电子的可能能量以预测其性质。

普林斯顿大学理论物理学家安德烈·伯内维格领导的一个团队现在找到了一条捷径。研究人员通过查看材料晶体结构中可能存在的所有 230 种不同的对称性，创建了一个拓扑物质图谱。然后，他们系统地预测了这些对称性中的哪些原则上可以容纳拓扑态，而无需首先计算其所有能级。他们认为，所有材料中可能有 10% 到 30% 会显示拓扑效应，可能达到数万种化合物。到目前为止，仅识别出几百种拓扑材料。“事实证明，我们目前所知的只是可能存在的众多拓扑材料中的一小部分，还有很多，”伯内维格说。

该团队包括来自西班牙毕尔巴鄂巴斯克地区大学的三位晶体数学专家，研究人员很快就可以查阅毕尔巴鄂晶体学服务器，以了解特定的晶体材料是否可能是拓扑的。北京清华大学的物理学家魏立表示，伯内维格的方法“绝对是一种更有效的方式”来寻找新的拓扑绝缘体。“我相信会有很多新材料出现，”他说。

“然而，知道一种材料具有某种拓扑物质状态，并不意味着可以立即预测其性质，”合著者克劳迪娅·费尔瑟警告说，她是德国德累斯顿马克斯·普朗克固体化学物理研究所的材料科学家。她说，对于每种材料，仍然必须计算和测量这些性质。

到目前为止研究的大多数拓扑材料——包括伯内维格图谱中的那些材料——都相对容易理解，因为它们内部的电子几乎感觉不到彼此的静电斥力。理论家们面临的下一个重大挑战是理解“强相互作用”拓扑材料，在这种材料中，电子彼此强烈推斥。哈桑说，如果理论家能够破解这一点，“你将会发现一个我们甚至无法想象的全新物理现象动物园”。

凯恩说，正是数学和物理学之间的这种相互作用构成了该领域的核心：“驱动我的是既极其美丽，又在现实世界中栩栩如生的事物的交叉点。”

本文经许可转载，并于 2017 年 7 月 19 日首次发表。