微积分的秘密精神史

积分的起源于 17 世纪的一场辩论，那场辩论既有宗教性，也有科学性

编者注：无数学生学习积分——数学的一个分支，致力于通过将物体切成小块并将它们加起来来找到物体的长度、面积或体积。很少有人意识到，他们的微积分作业部分起源于 17 世纪两位学者之间的辩论。 1635 年，意大利数学家博纳文图拉·卡瓦列里宣称，任何平面都由无数条平行线组成，任何固体都由无数个平面组成。他的“不可分量法”成为积分的先驱——但这并非没有经受住瑞士数学家保罗·古尔丁的攻击，表面上是出于经验原因。加州大学洛杉矶分校的阿米尔·亚历山大发现了这场争端更私人的动机。在他即将出版的书的一个章节的改编版中，他解释说，古尔丁和卡瓦列里属于不同的天主教修会，因此，在如何使用数学来理解现实的本质方面存在分歧。

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保罗·古尔丁对博纳文图拉·卡瓦列里的不可分量法的批判包含在他的De Centro Gravitatis（也称为Centrobaryca）第四本书中，该书于 1641 年出版。古尔丁认为，卡瓦列里的证明不是建设性的证明，不是古典数学家会认可的那种。毫无疑问，这是真的：在传统的欧几里得方法中，几何图形是从简单到复杂逐步构建的，仅借助直尺和圆规分别构建直线和圆。证明中的每一步都必须涉及这样的构造，然后推导出所得图形的逻辑含义。

然而，卡瓦列里的做法却恰恰相反：他从现成的几何图形（如抛物线、螺旋线等）开始，然后将它们分成无数部分。这种程序可以称为“解构”而不是“构造”，其目的不是建立一个连贯的几何图形，而是破译现有图形的内部结构。

古尔丁接下来攻击了卡瓦列里方法的基础：平面由无数条线组成，或者固体由无数个平面组成的概念。古尔丁坚称，整个想法都是无稽之谈：“没有几何学家会同意他，表面是，并且可以用几何语言称为‘这种图形的所有线’。”

换句话说，由于线没有宽度，因此无论将多少条线并排放置，它们都无法覆盖哪怕是最小的平面。因此，卡瓦列里试图根据“所有线”的尺寸来计算平面的面积是荒谬的。这就引出了古尔丁的最后一点：卡瓦列里的方法是基于建立一个图形的所有线与另一个图形的所有线之间的比率。但是，古尔丁坚持认为，两组线都是无限的，一个无穷大与另一个无穷大的比率是没有意义的。无论人们将无数个不可分量乘以多少次，它们永远不会超过另一组无数个不可分量。

从整体上看，古尔丁对卡瓦列里方法的批判体现了耶稣会数学的核心原则。耶稣会数学传统的创始人克里斯托弗·克拉维乌斯和他在修会中的后继者认为，数学必须系统地、演绎地进行，从简单的公设到越来越复杂的定理，描述图形之间的普遍关系。建设性的证明正是这种理想的体现。这种方法产生了一种严谨且分层的数学逻辑，对于耶稣会士来说，这正是应该研究该领域的主要原因：它证明了抽象原则如何通过系统的演绎构建一个固定且合理的宇宙，其真理是普遍且不可挑战的。克拉维乌斯指出，在这方面，欧几里得几何比任何其他科学都更接近耶稣会的确定性、等级制度和秩序的理想。由此可见，古尔丁坚持建设性证明并非像卡瓦列里和他的朋友们认为的那样是迂腐或心胸狭隘，而是他所在修会根深蒂固的信念的表达。

古尔丁对将平面和固体划分为“所有线”和“所有平面”的批评也是如此。数学不仅必须是分层和建设性的，而且还必须是完全理性的，并且没有矛盾。然而，正如古尔丁指出的那样，卡瓦列里的不可分量在其核心是前后矛盾的，因为连续体是由不可分量组成的概念根本经不起理性检验。 “不存在的事物，也不可能存在的事物，是无法比较的，”他怒斥道，“因此，它们导致悖论和矛盾，并最终导致错误也就不足为奇了。”

对于耶稣会士来说，这样的数学远比没有数学更糟糕。毕竟，数学的目的是为世界带来适当的秩序和稳定，而不可分量法带来的只是混乱和无序。如果接受这种有缺陷的系统，那么数学将不再是永恒理性秩序的基础。耶稣会关于严格的普遍等级制度（像几何真理一样不可挑战）的梦想将注定要失败。

在他的著作中，古尔丁并没有解释他拒绝不可分量的更深层次的哲学原因，耶稣会数学家马里奥·贝蒂尼和安德烈亚·塔奎特也没有解释，他们也攻击了卡瓦列里的方法。有一次，古尔丁几乎承认，利害关系比严格的数学问题更大，他含糊地写道：“我不认为应该以必须通过永不失时的沉默来压制的原因来拒绝[不可分量]方法。” 但他没有解释那些“必须压制的原因”可能是什么。作为数学家，这三人的工作是在数学而非哲学或宗教基础上攻击不可分量。如果他们宣布他们的动机是神学或哲学方面的考虑，他们的数学信誉只会受到损害。

当然，参与不可分量之争的人都知道真正利害攸关的是什么，正如耶稣会数学家斯特凡诺·德利·安杰利暗示的那样，他开玩笑地说，他不知道是“什么精神”感动了耶稣会数学家。除了极少数例外，这场辩论仍然是数学上的，是训练有素的专业人士之间就哪些程序可以在数学中被接受的争议。

当卡瓦列里在 1642 年首次遇到古尔丁的批评时，他立即开始着手详细的反驳。最初，他打算以朋友之间对话的形式回应，这是他导师伽利略·伽利莱喜欢的那种形式。但当他向他的朋友和数学家同事吉安南托尼奥·罗卡展示一份简短的草稿时，罗卡劝他不要这样做。罗卡警告说，最好远离煽动性的对话形式，以及它的俏皮话和争强好胜，这很可能会激怒强大的对手。罗卡建议，最好对古尔丁的指控写一份直截了当的回应，重点关注严格的数学问题，避免伽利略式的挑衅。罗卡没有说出口的是，卡瓦列里在他所有的著作中，都没有表现出伽利略作为作家的天才，也没有表现出他以诙谐有趣的方式呈现复杂问题的能力。卡瓦列里听取了他朋友的建议可能是最好的，这让我们免于看到他以其标志性的沉重且几乎难以理解的散文写成的“对话”。相反，卡瓦列里对古尔丁的回应被收录在他关于不可分量的最后一本书《Exercitationes Geometricae Sex》的第三个“练习”中，该书于 1647 年出版，标题很简单，就叫“In Guldinum”（“反对古尔丁”）。*

卡瓦列里似乎并没有因古尔丁的批评而过度困扰。他否认他假设连续体是由无数个不可分量部分组成的，他认为他的方法并不依赖于这个假设。如果有人相信连续体是由不可分量组成的，那么，是的，“所有线”加起来确实构成一个表面，“所有平面”构成一个体积，但如果有人不接受线构成表面，那么毫无疑问，除了线之外，还有一些东西构成了表面，除了平面之外，还有一些东西构成了体积。他认为，所有这些都与不可分量法无关，不可分量法比较了一个图形的所有线或所有平面与另一个图形的所有线或所有平面，而不管它们是否实际构成该图形。

卡瓦列里在这里的论点在技术上可能是可以接受的，但它也是不真诚的。任何阅读过他 1635 年出版的《Geometria Indivisibilibus》或《Exercitationes》的人都会毫不怀疑，它们是基于连续体是由不可分量组成的基本直觉。古尔丁要求卡瓦列里对他的连续体观点负责是完全正确的，而耶稣会的辩护似乎是一个相当苍白的借口。

卡瓦列里对古尔丁坚持认为“一个无穷大与另一个无穷大没有比例或比率”的回应也同样没有说服力。他区分了两种类型的无穷大，声称“绝对无穷大”确实与另一个“绝对无穷大”没有比率，但所有线和所有平面都具有非绝对而是“相对无穷大”。然后他认为，这种类型的无穷大可以并且确实与另一个相对无穷大具有比率。和以前一样，卡瓦列里似乎是在用晦涩的技术理由为他的方法辩护，这些理由对于其他数学家来说可能是可以接受的，也可能是不可以接受的。无论如何，他的论点与不可分量法背后的真正动机无关。

这种动机在卡瓦列里对古尔丁指责他没有正确“构造”他的图形的回应中显现出来。在这里，卡瓦列里的耐心已经到了尽头，他露出了他的真面目。古尔丁声称，几何证明中的每个图形、角和线都必须从第一原理仔细构造；卡瓦列里断然否认了这一点。 “为了使证明成立，”他写道，“没有必要实际描述这些类似的图形，但假设它们已经在脑海中被描述就足够了。”

这就是古尔丁和卡瓦列里之间、耶稣会士和不可分量论者之间的真正区别。对于耶稣会士来说，数学的目的是将世界构建成一个固定且永恒不变的地方，在这个地方，秩序和等级制度永远不会受到挑战。这就是为什么世界上的每一项事物都必须经过仔细且合理的构造，以及为什么永远不允许出现任何矛盾和悖论的暗示。这是一种“自上而下”的数学，其目的是为原本混乱的世界带来理性和秩序。

对于卡瓦列里和他的不可分量论者同伴来说，情况恰恰相反：数学始于对世界的物质直觉——平面图形由线组成，体积由平面组成，就像布是由线织成，书是由页编译而成一样。人们不需要理性地构造这样的图形，因为我们都知道它们已经存在于世界上。所有需要做的就是假设它们，然后研究它们的内部结构。如果我们遇到看似悖论和矛盾的情况，它们必然是肤浅的，是由我们有限的理解造成的，要么可以解释清楚，要么可以用作研究工具。但它们永远不应阻止我们研究几何图形的内部结构以及它们之间隐藏的关系。

对于像古尔丁这样的古典数学家来说，你可以将数学建立在模糊且自相矛盾的直觉之上的概念是荒谬的。古尔丁嘲讽地问卡瓦列里，“谁将成为几何构造真理的‘法官’，是手、眼睛还是智力？” 卡瓦列里认为古尔丁坚持避免悖论是毫无意义的迂腐：每个人都知道这些图形确实存在，争论它们不应该存在是毫无意义的。卡瓦列里认为，这种吹毛求疵可能会产生严重的后果。如果古尔丁获胜，一种强大的方法将会丢失，数学本身也会被背叛。

*更正（2014 年 5 月 19 日）：此句子在发布后经过编辑，以更正第三个练习标题“In Guldinum”的翻译。