1982 年的 SAT 考试臭名昭著地出现了一道数学题，这道题非常棘手，甚至连出题者都没有包含正确答案。这个错误导致 30 万份试卷需要重新评分，学生们成了这个棘手的硬币旋转悖论的受害者。
以下是这个悖论的原理：将两枚四分之一美元硬币平放在桌面上，使它们互相接触。按住其中一枚硬币使其静止在桌面上，滚动另一枚四分之一美元硬币绕着它转，保持两枚硬币边缘接触且不滑动。当移动的硬币回到其起始位置时，它已经完成了多少次完整旋转？换句话说，在下面的图中，乔治·华盛顿正面朝上的位置出现了多少次？如果你喜欢这样的谜题，花一分钟时间思考一下。
来源：阿曼达·蒙塔内斯
许多人认为乔治会完成一次完整旋转。一枚四分之一美元硬币的圆周长约为三英寸。因此，移动的硬币沿着一条长度为三英寸的路径滚动，这与它自身的圆周长相同。如果我们用一根绳子绕着一枚四分之一美元硬币，然后沿着三英寸的路径滚动它，同时展开绳子，那么肯定会展开三英寸长的绳子——刚好足够一次旋转。
事实上，移动的硬币在返回其原始位置时正好完成两次完整旋转。这种现象违背了常识。如果你觉得难以接受，我建议你亲自测试一下。任何两个大小相同的圆盘都可以。
[如需了解另一个数学探索，请阅读“‘睡美人问题’为何让数学家们彻夜难眠”]
1982 年SAT 数学部分中偷偷加入的这个问题的版本略有不同：中心圆盘比绕着它滚动的圆盘更大。以下是该问题的一个版本，措辞略有修改，使其更清晰：
圆 B 的半径是圆 A 半径的三倍。从图中所示位置开始，圆 A 绕圆 B 滚动。当圆 A 返回其起点时，它将完成多少次旋转？
来源：阿曼达·蒙塔内斯
这看起来是否很熟悉？在这里，我们被告知较大圆的半径是较小圆半径的三倍。这意味着两个圆的圆周长也具有相同的比例：B 的周长是 A 的三倍。人们很容易推断出，较小的圆可以“展开”自身三次来包围较大的圆。因此，“3”是 SAT 考试中预期的多项选择答案。事实上，圆 A 在其行程中完成了四次旋转——同样，比直觉预期的多一次旋转。这个悖论远远超出了命题人的认知，以至于选项中没有提供“4”这个答案，因此即使是最聪明的学生也被迫提交了错误的答案。在参加包含该问题的考试的 30 万名学生中，有三名向大学理事会报告了这个问题，并且每份试卷都必须重新评分。
那么，为什么会多出一次旋转呢？上面导致我们误入歧途的方法确实包含一些道理。沿着三英寸直线路径滚动一枚四分之一美元硬币只会涉及一次旋转。同样，一个小圆在一个长度为其直径三倍的直线上滚动会旋转三次。因此，路径的圆形形状以某种方式引起了自身的旋转。为了理解原因，想象一下绕着一颗微小的罂粟种子滚动一枚四分之一美元硬币。即使绕种子的长度可以忽略不计，乔治也会旋转一次。因此，旋转有两个来源：一个来自沿着路径滚动（路径越长，旋转次数越多），另一个来自绕物体旋转，无论物体大小如何，它都会贡献一次旋转。
另一个有用的视角来自想象绕着正方形滚动一枚四分之一美元硬币。正方形的每条边都是直线段，乔治的头像每三英寸长度会旋转一次，但是当你到达一个角时，四分之一美元硬币将不得不旋转更多才能通过那个角。（同样，如果难以想象，请亲自尝试一下。）事实证明，角落处的额外旋转正好是 90 度，这导致当硬币穿过正方形的所有四个角并返回起点时，总共旋转了一整圈（360 度）。类似地，绕着三角形滚动将需要在每个角处旋转 120 度。
这种效应可以放大到天体。众所周知，月球有远端，并且总是将同一面朝向我们地球人。许多人错误地认为，月球不变的面貌意味着它一定不像地球那样绕其轴自转。但是，如果月球在绕轨道运行时不自转，那么我们会从地球上的某些地方看到它的远端。你可以用自己的拳头来演示这一点——保持一个拳头静止，然后让另一个拳头绕着它旋转，而没有任何自转。站在你静止的指关节上的人会看到不同时间 orbiting 拳头的不同景象。为了永远隐藏其背面，月球必须在完成一次轨道运行时旋转一次。（轨道时间和自转时间之间的这种完美一致性并非天文巧合，而是一个称为潮汐锁定现象的例子。我们也在回避我们的相对论参考系，向阿尔伯特·爱因斯坦致歉。）对于硬币和 SAT 问题，我们看到旋转有两个来源：一些来自沿着任何路径的“直线”滚动，另一个来自绕物体旋转的额外旋转。月球不做任何直线滚动。如果地球是平的，月球将在其上方滑行而不会滚动。因此，月球的单次旋转完全是因为它围绕非常球形的地球公转。
如果你有一个太阳系的鸟瞰图，你会在典型的一年中看到地球完成多少次旋转？许多人会说是 365 次，但再一次，他们的答案会比正确答案少一次：366 次。（请注意，这与闰年无关，闰年是完全不同的事情。）人类将一天定义为太阳返回到天空同一位置所需的时间。总是让太阳在中午正上方是很方便的。但是，当地球完成一次旋转时，太阳实际上还没有完全回到天空中的位置。让我们重新审视 SAT 图表，看看发生了什么——这次我们将在小圆上标记一个固定点，并观察当小圆绕大圆滚动时该点会发生什么变化：
来源：阿曼达·蒙塔内斯
将大圆想象成太阳，小圆想象成地球（未按比例），点想象成我们星球上的一个固定点。在第一张图中，点直接盯着太阳。现在正好是中午。在最后一张图中，小圆完成了一次完整旋转（点再次指向下方），但请注意，对于站在该点的人来说，现在不是中午。小圆需要向前移动一点点超过一次旋转，才能使该点再次亲吻大圆。同样，尽管地球在 23 小时 56 分钟内完成一次旋转（这被称为恒星日），但太阳需要多花四分钟才能返回到天空中的正上方位置，从而产生我们定义的 24 小时制的一天。在 365 天的过程中，每天多出的这四分钟旋转加起来就是额外的一次旋转。
感谢您与我们一起滚动浏览硬币、测试错误和行星运动之旅——这足以让任何人头晕目眩。
编者注（2023 年 6 月 24 日）：这篇文章在发布后经过编辑，将“月球的阴暗面”的说法更改为“月球的远端”。