以下文章经许可转载自The Conversation，这是一个报道最新研究的在线出版物。
大约20年前，我的同事周传博士和我开发了一种在计算机上模拟数百万个篮球轨迹的方法。
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我们去了我们所在的北卡罗来纳州立大学的教练和助理教练那里，告诉他们我们拥有这种非凡的能力来非常仔细地研究篮球投篮。
他们的第一个问题很简单：“什么是最好的罚球？” 射手应该瞄准篮筐的前部还是后部？ 这取决于射手是矮个子还是高个子吗？
数学提供了一个独特的视角。 它加快了看到最佳投篮背后模式所需的时间。 在大多数情况下，我们发现的事情是球员和教练已经知道的——但偶尔，我们会遇到新的见解。
模拟数百万次投篮
从数学的角度来看，篮球是一场轨迹游戏。 这些轨迹的独特之处在于，当球在空中飞行时，其运动变化不大，但当球与篮筐或篮板碰撞时，会在毫秒内迅速变化。
为了模拟数百万个轨迹，而不让代码运行时间过长，我们尝试了我们能想到的任何技巧。 我们弄清楚了如何从适度变化的运动过渡到快速变化的运动，例如当球在篮筐或篮板上弹跳时。 我们学会了如何将大量的轨迹转化为统计概率。 我们甚至创建了虚构的轨迹，其中球神奇地穿过所有物理障碍物（篮筐、篮板、背板），但只有一个例外，以查看它首先碰撞的位置。
罚球是我和我的同事详细研究的第一个投篮。 在势均力敌的比赛中，球队可能会在罚球线上决定胜负。 更重要的是，罚球是无人防守的，因此完美的罚球可以获得巨大的回报。顶级球队往往罚球投得很好。
我们的程序可以告诉我们射手罚球命中的机会——并帮助我们弄清楚他做对了什么或做错了什么。
分解罚球
我们研究了罚球大约五年。
我们从模拟和观看电视录像中学到的第一件事是，具有相同稳定性的球员可以投出命中率在 75% 到 90% 之间的罚球。 区别在于 90% 的球员在正确的投篮（最佳轨迹）上保持一致。
罚球的命运在球离开球员指尖的那一刻就已注定，因此我们仔细研究了投篮的“发射条件”。 球位于地板上方的高度。 它具有向后旋转的速度（称为后旋），并且具有发射速度和发射角度。 由于射手永远不会以相同的方式发射球，因此细微的差异决定了射手的稳定性。
我们发现大约 3 赫兹的后旋量是最好的； 超过这个量没有帮助。 球到达篮筐大约需要 1 秒，因此 3 赫兹相当于球在空中旋转三圈，从球离开球员的手到球到达篮筐的那一刻。
接下来，假设球员在离地面 7 英尺的高度释放球，大约 52 度的发射角是最佳的。 在这个角度下，发射速度最低，投篮成功的概率最高。 在 52 度时，射手可以偏离一度或更多，而不会对投篮的成功率产生很大影响。
然而，发射速度却恰恰相反。 这是球员最难控制的变量。 释放球太慢，投篮就短； 释放球太快，投篮就长。 球员需要记住她在释放过程中整个身体的运动，才能始终如一地传递相同的速度。
在所有其他条件相同的情况下，从高于地板的位置释放球的球员具有更高的投篮命中率。 这很有趣，因为我们在北卡罗来纳州立大学的教练和我交谈过的其他人都说，高个子球员的罚球往往比矮个子球员更差。 似乎矮个子球员必须更加努力。
最后一个释放条件是最令人惊讶的：罚球的瞄准点。 我们发现球员应该将球瞄准篮筐后部。 基本上，篮筐后部比篮筐前部更宽容。 在 7 英尺的释放高度下，球与篮筐后部之间的间隙应小于 2 英寸。 无论在低释放高度还是高释放高度发射，小间隙都是最好的。
经验教训
那么，这一切对于渴望提高罚球水平的球员来说意味着什么呢？
我们的研究表明，球员应该将球瞄准篮筐中心以外的位置。 以高角度并在尽可能高的离地高度发射球。（球在其弧线的最高点，应达到篮板的顶部。）对准球以消除侧角。 并尝试以平稳的身体运动发射球，以产生一致的发射速度。
在过去的几年里，我们扩展了我们的工作，研究了最佳擦板球击中篮板的位置，并为任何想要完善它的人开发了一种工具。
随着锦标赛临近，我想起了比赛变得多么具有竞争性，以及它如何真正变成了一场毫厘之争的比赛。 作为一名老篮球运动员，和你们中的许多人一样，我喜欢观看比赛——并且，偶尔，也能瞥见那个完美的罚球。
本文最初发表于The Conversation。 阅读原文。