用π（π）表示的数字用于计算任何涉及圆形（或近似圆形）的事物，例如圆形、球体、圆柱体、圆锥体和椭圆。它的值对于计算这些形状的许多重要量是必要的，例如理解圆的半径与其周长和面积之间的关系（周长=2πr；面积=πr2）。
π也出现在确定椭圆面积以及求球体的半径、表面积和体积的计算中。
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我们的世界包含许多圆形和近似圆形的物体；找到π的精确值有助于我们更准确地构建、制造和使用它们。
历史上，人们对π只有非常粗略的估计（例如 3，或 3.12，或 3.16），虽然他们知道这些是估计值，但他们不知道这些估计值可能有多大的偏差。
对π的精确值的探索不仅带来了更高的精度，还带来了新概念和技术的发展，例如极限和迭代算法，然后这些概念和技术成为新数学领域的基础。
寻找π的实际值
在 3000 到 4000 年前，人们使用π的试错近似值，而没有进行任何数学运算或考虑潜在的误差。最早关于π的书面近似值是巴比伦的 3.125（公元前 1900-1600 年）和古埃及的 3.1605（公元前 1650 年）。这两种近似值都以 3.1 开头——非常接近实际值，但仍然相对较远。
寻找π的真实值的第一个严格方法是基于几何近似。大约在公元前 250 年，希腊数学家阿基米德在圆的外部和内部都绘制了多边形。测量这些多边形的周长，可以得出包含π的范围的上限和下限。他从六边形开始；通过使用边数越来越多的多边形，他最终计算出了π的三位精确数字：3.14。大约在公元 150 年，希腊-罗马科学家托勒密使用此方法计算出了 3.1416 的值。
大约在公元 265 年，中国数学家刘徽独立地创建了另一个简单的基于多边形的迭代算法。他提出了一种非常快速有效的近似方法，得出了四位精确的数字。后来，大约在公元 480 年，祖冲之采用了刘徽的方法，达到了七位精度。这项记录保持了另外 800 年。
1630 年，奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格得出了 38 位数字，这是使用多边形算法手动实现的最高精度近似值。
超越多边形
16 和 17 世纪无限级数技术的发展大大提高了人们更有效地逼近π的能力。无限级数是无限序列的项的和（或更少见的乘积），例如 ½、¼、1/8、1/16、… 1/(2n)。第一个关于可用于计算π的无限级数的书面描述是印度天文学家尼拉坎塔·索玛亚吉在公元 1500 年左右用梵语诗句写下的，其证明大约在公元 1530 年提出。
1665 年，英国数学家和物理学家艾萨克·牛顿使用无限级数，用他和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发现的微积分计算出 π 的 15 位数字。此后，记录不断被打破。1699 年达到 71 位数字，1706 年达到 100 位数字，1956 年达到 620 位数字——在没有计算器或计算机帮助的情况下实现的最佳近似值。
在进行这些计算的同时，数学家也在研究π的其他特性。瑞士数学家约翰·海因里希·兰伯特 (1728-1777) 首先证明了π是一个无理数——它有无限多的数字，永远不会进入重复的模式。1882 年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了π不能用有理代数方程表示（例如 π²=10 或 9π4 - 240π2 + 1492 = 0）。
追求更多π的数字
采用迭代算法后，随之而来的是对π更多位数的计算爆发，迭代算法通过使用对先前值执行的计算来重复构建更新的值。一个简单的迭代算法示例允许您使用公式 (x+2/x)/2 逼近 2 的平方根
(2+2/2)/2 = 1.5
(1.5+2/1.5)/2 = 1.4167
(1.4167+2/1.4167)/2 = 1.4142，这已经是一个非常接近的近似值。
随着电子计算机（20 世纪中期发明）中使用了类马钦算法（英国数学家 约翰·马钦的公式 的推广，该公式于 1706 年开发）和 高斯-勒让德算法 （18 世纪末），π的更多位数的进展得到了提升。1946 年，第一台通用电子计算机 ENIAC 在 70 小时内计算出了 π 的 2,037 位数字。最近的计算发现了π 的超过 13 万亿位数字，耗时 208 天！
人们普遍认为，对于大多数涉及π的数值计算，十几个数字就足以提供足够的精度。根据数学家 约尔格·阿恩特和克里斯托夫·哈内尔 的说法，39 位数字足以执行大多数宇宙学计算，因为这是在原子直径范围内计算可观测宇宙周长所必需的精度。此后，π的更多位数在计算中没有实际用途；相反，今天对π更多位数的追求是为了测试超级计算机和数值分析算法。
自己计算π
也有一些有趣而简单的方法来估计π的值。最著名的方法之一是被称为“蒙特卡罗”的方法。
该方法相当简单。要在家里尝试，请在一张纸上画一个圆，然后在它周围画一个正方形（如左图所示）。假设正方形的边长为 2，因此它的面积为 4；因此，圆的直径为 2，其面积为π。它们的面积之比为π/4，约为 0.7854。
现在拿起一支笔，闭上眼睛，在正方形上随机点点。如果你这样做足够多的次数，并且你的努力是真正随机的，那么最终你的点落在圆内的次数的百分比将接近 78.54%——或 0.7854。
现在，您已加入到历代计算π的数学家的行列。
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