在闪烁的灯光和免费鸡尾酒的掩盖下，赌场的基石是数学，其设计目的是慢慢榨干顾客的现金。多年来，具有数学头脑的人们一直试图利用他们对概率和博弈论的了解来扭转局面，从而利用这个被操纵系统中的弱点。
1986年，美国物理学会（American Physical Society）在拉斯维加斯举行了一次会议，当时发生了一个有趣的例子，据当地一家报纸报道称，头条新闻是“物理学家进城，赌场收入有史以来最低”。据说，物理学家们知道战胜任何赌场游戏的最佳策略：不要玩。
尽管人们有理由对在赌场游戏中击败赌场持悲观态度，但一个基于概率的简单投注系统，从理论上讲，会在长期内为你赚钱——但有一个巨大的警告。
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考虑在轮盘赌桌上押红色或黑色。赔率是相等的。（这意味着如果你下注 1 美元并赢了，你将赢得 1 美元。但如果你输了，你将损失 1 美元。）并且，为了简单起见，假设你真的有 50-50 的机会猜对颜色。（真正的轮盘赌桌上有一些额外的绿色口袋，你会输钱，这给了庄家一点优势。）我们还假设赌桌没有最大赌注。
这是策略：在任一颜色上下注 1 美元，如果你输了，将你的赌注翻倍并再次下注。继续翻倍（1 美元、2 美元、4 美元、8 美元、16 美元等等），直到你赢为止。例如，如果你输了前两次 1 美元和 2 美元的赌注，但在第三次 4 美元的赌注中获胜，这意味着你总共损失了 3 美元，但在你的胜利中弥补了损失，并且额外获得了 1 美元的利润。如果你在第四次下注时首次获胜，那么你总共损失了 7 美元（1 美元 + 2 美元 + 4 美元），但通过赢得 8 美元而获得 1 美元的利润。这种模式会持续下去，并且总会在你获胜时为你带来 1 美元的收益。如果 1 美元看起来像是微不足道的收入，你可以通过多次重复该策略或从更高的初始赌注开始来放大它。如果你从 1,000 美元开始，翻倍到 2,000 美元，依此类推，那么你将赢得 1,000 美元。
你可能会反驳说，只有当你在轮盘赌中最终猜对颜色时，这种策略才能赚钱，而我承诺的是保证利润。然而，从长远来看，你的颜色在某个时候命中的机会是 100%。也就是说，随着轮数的增加，你输掉每一注赌注的概率趋于零。即使在庄家享有持续优势的更现实的情况下，情况也是如此。如果至少有一些机会你会赢，那么你最终会赢，因为球不可能永远落在错误的颜色上。
那么我们都应该掏空我们的存钱罐，然后开车去内华达州的里诺吗？不幸的是，不能。这种策略被称为马丁格尔投注系统，在 18 世纪的欧洲特别流行，它仍然以其简单性和财富承诺吸引着投注者——但它是有缺陷的。赌博在臭名昭著的情场浪子贾科莫·卡萨诺瓦·德·圣加尔特的众多恶习中名列前茅，在他的回忆录中，他写道：“我仍然在玩马丁格尔，但运气太差，很快就身无分文了。”
你是否发现了上述承诺利润的推理中的缺陷？假设你的口袋里有 7 美元，并且你想把它变成 8 美元。你可以承受连续输掉前三注赌注，分别是 1 美元、2 美元和 4 美元。不过，你连续输掉三注的可能性不大，因为概率只有八分之一。因此，八分之一（或 12.5%）的时间你会输掉全部 7 美元，而剩余八分之七的时间你会赚到 1 美元。这些结果相互抵消：−1/8 × 7 美元 + 7/8 × 1 美元 = 0 美元。
这种效应会放大到任何数量的起始资金：有很大的机会赚到一点钱，而只有很小的机会输掉你所有的钱。因此，许多赌徒在使用马丁格尔系统时会获得少量利润，但极少数赌徒会遭受彻底的损失。这些力量会相互平衡，因此如果许多玩家使用该策略，他们众多的少量盈利和少数巨额亏损将平均下来为 0 美元。
但真正的论点并不止于 7 美元。正如我所提到的，其想法是继续玩下去直到你赢。如果你连续输掉三局，去 ATM 机取款，并在新的一轮旋转中下注 8 美元。保证的利润取决于持续下更多赌注的意愿——以及通过持续玩下去最终获胜的必然性。
这是关键缺陷：你的钱是有限的。你每轮下注的金额呈指数增长，因此用不了多久，你就会押上全部家当，仅仅是为了弥补你的损失。当你冒着微小但非零的风险，用你的生计去换取微不足道的一美元时，这是一个糟糕的创造财富的策略。最终你会破产，如果这种情况发生在你的头奖之前，那么你就会倒霉。
有限性也以另一种方式打破了马丁格尔策略。概率决定了你最终肯定会赢，但即使你有一个取之不尽的钱包，你也可能在“最终”到来之前就去世了。然而，现实世界中令人讨厌的实际问题再次干预了我们理想化的乐趣。
当我们回顾过去时，似乎很明显，你实际上无法在赌场游戏中强行获得优势。然而，令人惊讶的是，我们不得不诉诸关于偿付能力和死亡率的论点来排除它。在数学家居住的梦幻般的纸上谈兵的世界里，我们可以在无穷大的范围内自由漫游，这允许了本应是不可能的事情。
对于获胜机会为 50% 或更低的游戏，在有限的世界中，没有任何投注策略可以确保优势。那么，更有利的游戏呢？如果你有 25 美元的钱包，并且可以反复押注一枚你知道正面朝上的概率为 60% 的有偏差的硬币的结果（你将再次输掉你的全部赌注或获得与赌注相等的金额），你有可能将你的 25 美元变成多少钱？研究人员用这个确切的实验测试了 61 名金融专业的学生和年轻的从业人员，并对他们的糟糕表现感到惊讶。（你可以自己尝试一下。）
令人不安的是，28% 的参与者即使拥有优势也破产了，更令人震惊的是，三分之二的参与者在游戏的某个时候押注了反面，这绝不是理性的。平均而言，参与者带着 91 美元离开（奖金上限为 250 美元）。对于一个从 25 美元起步的人来说，这似乎是一笔丰厚的收入，但研究人员计算出，在允许的 300 次抛硬币的时间内，使用最佳策略（如下所述）的玩家的平均奖金将超过 300 万美元！
玩家面临一个两难境地：每轮下注太多，他们就有可能在几次倒霉的抛掷中输掉他们的全部资金。但是下注太少，他们就无法充分利用有偏差的硬币为他们带来的可观优势。凯利判据是一个平衡这些相互竞争的力量并在这种情况下最大化财富的公式。科学家小约翰·凯利（John Kelly, Jr.）于 20 世纪中期在贝尔实验室工作，他意识到，为了赚最多的钱，赌徒应该在每一轮中投注他们钱包中一个固定的比例。
他算出了完美比例的简单公式，他在1956 年的一篇论文中描述了这个公式：2p – 1，其中 p 是你获胜的概率（在抛硬币的例子中，p = 0.6）。在实验中，每次抛掷都押注你可用现金的 20% 正好击中了最佳点。请注意，如果你一直赢，该策略会将更多的钱投入到赌注中，并且随着你的现金减少，它会缩小赌注规模，从而使你不太可能破产。
与马丁格尔投注策略不同，凯利判据在实践中有效，并证明了其作为量化金融支柱的价值。在二十一点中，专业的算牌者也会在牌局火爆时使用它来确定他们的赌注大小。
经济学家警告说，尽管凯利判据对于创造财富有效，但它仍然是一场赌博，有其自身的陷阱。首先，它假设你知道你赢得赌注的概率，这在许多赌场游戏中可能是真的，但在股票市场等模糊领域则不然。此外，凯利断言，在抛硬币实验中，如果你一直投注 20% 的资金，你最有可能增加你的财富。但是，如果你有 100 万美元的资产，那么在抛硬币上赌 20 万美元是完全不合理的。在某个时候，你将需要将你个人的风险厌恶程度纳入考虑，并调整你的财政决策以尊重你自己的偏好。
尽管如此，如果你发现自己正在进行赔率对你有利的投注，请放弃马丁格尔策略，并记住凯利判据是更好的选择。
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