在数学领域中，存在着一个庞大且不断扩展的猜想、定理和思想网络，被称为朗兰兹纲领。该纲领连接了看似不相关的子领域。它的影响力如此之大，以至于一些数学家表示它——或它的某些方面——应该跻身于著名的千禧年难题之列，这是一个数学领域顶级未解问题的列表。加州大学伯克利分校的数学家爱德华·弗伦克尔甚至将朗兰兹纲领称为“数学的大统一理论”。
该纲领以新泽西州普林斯顿高等研究院的数学家罗伯特·朗兰兹的名字命名。四年前，他因其纲领而被授予阿贝尔奖，这是数学领域最负盛名的奖项之一，他的纲领被描述为“富有远见”。
朗兰兹已经退休，但近年来，该项目已经发展成为“几乎独立的数学领域，包含许多不同的部分”，这些部分因“共同的灵感源泉”而团结在一起，萨斯喀彻温大学的数学家和数学物理学家史蒂文·雷安说。它有“许多化身，有些仍然是开放的，有些已经以优美的方式得到了解决。”
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越来越多的数学家发现原始纲领——及其分支，几何朗兰兹纲领——与其他科学领域之间的联系。研究人员已经发现了与物理学的密切联系，雷安和其他科学家继续探索新的联系。他预感，随着时间的推移，这些纲领与其他领域之间也将发现联系。“我认为我们只看到了冰山一角，”他说。“我认为未来几十年最引人入胜的工作将是看到朗兰兹在科学领域中的后果和表现，在这些领域中，与这种纯粹数学的互动直到现在可能还很边缘化。” 雷安补充说，总的来说，朗兰兹仍然是神秘的，为了了解它的走向，他希望“看到对这些纲领的真正来源的理解浮出水面。”
一个令人费解的网络
多伦多大学的数学家詹姆斯·阿瑟说，朗兰兹纲领一直是一场与意外的诱人舞蹈。阿瑟是朗兰兹在耶鲁大学的导师，阿瑟于 1970 年在那里获得了博士学位。（朗兰兹拒绝接受本次故事的采访。）
“我基本上是他的第一个学生，我很幸运能在那个时候遇到他，”阿瑟说。“他与我见过的任何数学家都不同。我提出的任何问题，尤其是关于数学更广泛方面的问题，他都会清楚地回答，而且往往比我能想象到的更具启发性。”
在那段时间里，朗兰兹为最终成为以他的名字命名的纲领奠定了基础。1969 年，朗兰兹向法国数学家安德烈·韦伊手写了一封 17 页的信。在那封信中，朗兰兹分享了新的想法，后来这些想法被称为“朗兰兹猜想”。
阿瑟指出，1969 年，朗兰兹在会议讲座中分享了最终发展成为朗兰兹纲领的七个猜想。有一天，阿瑟向他的导师索要一份基于这些讲座的预印本论文。
“他很乐意给了我一份，毫无疑问他知道这超出了我的能力范围，”阿瑟说。“但多年来，它也超出了其他所有人的能力范围。然而，我可以看出，它基于一些真正非凡的想法，即使其中几乎所有内容对我来说都是陌生的。”
核心猜想
朗兰兹纲领的核心是两个猜想。“朗兰兹纲领中的几乎所有内容都以这样或那样的方式来自这些猜想，”阿瑟说。
互反猜想与亚历山大·格罗滕迪克的工作有关，他因在代数几何方面的研究而闻名，包括他对“动机”的预测。“我认为格罗滕迪克选择‘动机’这个词是因为他认为它是艺术、音乐或文学中主题的数学类比：隐藏的想法，这些想法在艺术中没有明确说明，但它们是背后某种程度上控制一切如何组合在一起的东西，”阿瑟说。
阿瑟指出，互反猜想假设这些动机来自朗兰兹发现的另一种类型的解析数学对象，称为自守表示。“‘自守表示’只是量子物理学中满足薛定谔方程类似物的对象的流行语，”他补充道。薛定谔方程预测在特定状态下找到粒子的可能性。
第二个重要的猜想是函子性猜想，也简称为函子性。它涉及分类数域。想象一下，从一个变量的方程开始，其系数是整数——例如 x2 + 2x + 3 = 0——并寻找该方程的根。阿瑟说，该猜想预测，相应的域将是“通过取这些根的和、积和有理数倍数得到的最小域”。
探索不同的数学“世界”
阿瑟说，通过原始纲领，朗兰兹“发现了一个全新的世界”。
分支几何朗兰兹扩展了该数学涵盖的领域。雷安解释了原始纲领和几何纲领提供的不同视角。“普通的朗兰兹是一系列关于某个点的世界的思想、对应关系、对偶性和观察的集合，”他说。“你的世界将由一系列相关的数字来描述。你可以测量你所在位置的温度；你可以测量该点的重力强度，”他补充道。
然而，对于几何纲领，你的环境变得更加复杂，具有自身的几何形状。你可以自由移动，收集你访问的每个点的数据。“你可能不太关心单个数字，而更关心它们在你世界中移动时的变化方式，”雷安说。你收集的数据“将受到几何形状的影响”，他说。因此，几何纲领“本质上是用函数代替数字。”
几何朗兰兹纲领将数论和表示论联系起来。马萨诸塞大学阿默斯特分校的数学家克里斯·埃利奥特说，“广义上讲，表示论是对数学中对称性的研究。”
埃利奥特指出，几何表示论使用几何工具和思想，扩展了数学家对与对称性相关的抽象概念的理解。几何朗兰兹纲领“存在于”表示论的那个领域，他说。
与物理学的交叉
几何纲领已经与物理学联系起来，预示着可能与其他科学领域建立联系。
2018 年，雷安小组的博士后研究员池田和树发表了一篇《数理物理学杂志》研究，他说该研究与电磁对偶性有关，电磁对偶性是“物理学中长期已知的概念”，例如在量子计算机的纠错码中可以看到。池田说，他的研究结果“是世界上第一个表明朗兰兹纲领是一个极其重要和强大的概念，不仅可以应用于数学，还可以应用于凝聚态物理学”——对固态物质的研究——“和量子计算。”
雷安说，凝聚态物理学和几何纲领之间的联系最近得到了加强。“在过去一年中，各种调查已经为舞台奠定了基础，”他说，包括他自己的工作，涉及在量子物质的背景下使用代数几何和数论。
其他工作建立了几何纲领与高能物理学之间的联系。2007 年，加州理工学院的理论物理学家安东·卡普斯汀和高等研究院的数学和理论物理学家爱德华·威滕发表了雷安称之为“美丽的里程碑式论文”，该论文“为几何朗兰兹在高能理论物理学中的积极生命铺平了道路。” 在这篇论文中，卡普斯汀和威滕写道，他们的目标是“展示如何将该纲领理解为量子场论中的一章。”
埃利奥特指出，从数学的角度看待量子场论可以帮助收集有关构成其基础的结构的新信息。例如，朗兰兹可能帮助物理学家设计出维度数量与我们自己的世界不同的世界的理论。
阿瑟说，除了几何纲领之外，原始朗兰兹纲领也被认为是物理学的基本原理。但他表示，探索这种联系“可能需要首先找到一个连接原始纲领和几何纲领的总体理论”。
这些纲领的范围可能不会止步于数学和物理学。“我毫不怀疑，[它们]在整个科学领域都有解释，”雷安说。“故事的凝聚态部分将自然而然地引导人们进入化学领域。” 此外，他补充说，“纯粹数学总是会进入科学的其他所有领域。这只是时间问题。”