一项对意大利商人兼数学家乔瓦尼·比安奇尼在 15 世纪 40 年代编纂的天文表的分析表明，小数点的发明时间比之前认为的要早约 150 年。历史学家表示，这一发现改写了最基本的数学约定之一的起源，并表明比安奇尼——他的经济学训练与他的天文学家同行形成鲜明对比——可能在数学史上发挥了比之前认识到的更重要的作用。研究结果发表在《数学史》杂志上。
西班牙巴塞罗那庞培法布拉大学的天文学史学家何塞·查巴斯说：“这是一个非常好的发现。” 小数点是“人类向前迈进了一步”，他说，它使支撑现代科学和技术的计算变得轻松高效。此前，其最早的已知出现通常被认为是德国数学家克里斯托弗·克拉维乌斯在 1593 年撰写的天文表中。但现在很清楚，“灵感来自比安奇尼”，查巴斯说。
比安奇尼在成为强大的埃斯特家族（当时统治费拉拉公国）的财产管理者之前，曾是一名威尼斯商人。除了管理资产和指导投资外，比安奇尼还负责占星，这意味着他必须精通天文学。他出版了几部关于行星运动到预测日食等主题的著作。
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加拿大兰利三一西方大学的数学史学家格伦·范·布鲁梅伦曾希望比安奇尼的作品可能有助于揭示伊斯兰天文学知识如何以及何时传入欧洲。范·布鲁梅伦说，作为一名商人，“比安奇尼会走遍各地，因此他可能在他的旅程中在伊斯兰科学中发现了一些东西并以此为灵感，这似乎很自然”。但相反，“他所做的很多事情似乎都只是出于他自己令人难以置信的创造性思维。”
棘手的除法
在比安奇尼时代，欧洲天文学家专门使用继承自巴比伦人的六十进制（60 进制）系统。六十进制系统今天仍用于书写纬度和经度，包括天体和地球的纬度和经度。它将一个完整的圆分为 360 度，每度分为 60 分，每分分为 60 秒。但是，用六十进制数字进行乘法等运算非常困难。天文学家必须将一个值转换为最小单位才能进行计算，例如，然后再转换回来。
另一方面，商人和会计师被教导使用现实世界的重量和度量进行计算，其中单位可以以多种方式划分：例如，1 英尺有 12 英寸，1 码有 3 英尺。为了简化计算，比安奇尼发明了自己的十进制方案，描述了一种测量距离的系统，其中 1 英尺（30 厘米）分为十个相等的部分，称为 untie，每个 untie 又分为十个 minuta，然后再分为十个 secunda。这种方法没有流行起来，并且他对比 10 的偏爱以前被认为没有影响他的天文学。
但是，在仔细研究比安奇尼在 15 世纪 40 年代撰写的一篇名为《Tabulae primi mobilis B》的论文时，范·布鲁梅伦意识到，在某些地方，他不仅使用了十进制数字系统，还使用了像我们今天使用的小数点。
范·布鲁梅伦是在为中学生举办的数学营教书时发现这一点的。一天晚上，他通过 Zoom 与一位同事讨论《Tabulae》，试图翻译比安奇尼晦涩难懂的中世纪拉丁文。他们偶然发现了一段文字，比安奇尼在其中介绍了一个“中间带点”的数字——10.4——并展示了如何将其乘以 8。“我意识到他像我们一样使用它，并且他知道如何用它进行计算，”范·布鲁梅伦说。“我记得拿着我的电脑在宿舍的走廊里跑来跑去，试图找到任何醒着的人，大喊‘看看这个，这家伙在 15 世纪 40 年代就在使用小数点了！’”
该手稿的关键部分是一系列三角函数表，包括正弦表。当时的天文学家使用球面三角学来计算天体在球体表面的位置。比安奇尼仍然将角度分为分和秒，但给出的正弦值（天文学家将其解释为距离）是十进制数，精确到十分位、百分位和千分位。当说明用户应添加或减去多少量以计算介于一个条目和下一个条目之间的值时，他引入了小数点。耐人寻味的是，这正是克拉维乌斯在 1593 年使用小数点的方式。历史学家一直想知道为什么克拉维乌斯再也没有提到这项创新。“你为什么要发明一种显然如此强大的东西，然后就放弃它呢？”范·布鲁梅伦问道。但这一进步完全符合比安奇尼更广泛的工作。范·布鲁梅伦得出结论，克拉维乌斯一定是从他的前辈那里挪用了小数点。“他不可能不知道比安奇尼，”查巴斯同意道。
指向未来
伦敦大学伯贝克学院的数学史学家莎拉·哈特说，十进制系统的美妙之处在于，它使非整数的计算与整数一样容易。她说，不需要“所有你必须用分数做的那些胡说八道”。“有了小数点，你可以在任何大小的数字上使用相同的过程。”
范·布鲁梅伦认为，比安奇尼的经济学教育可能是他发明十进制的关键，因为他不像其他天文学家那样，职业生涯早期就沉浸在六十进制数字中。但他的方法可能太具有革命性，以至于一开始没有流行起来。他说：“为了理解比安奇尼在做什么，你必须学习一套全新的算术系统。”
然而，一个半世纪后，“十进制记数法已在空中”。使用越来越小的细分单位的天文学家正在发明不同的系统，迫切希望找到简化复杂计算的方法。克拉维乌斯的作品影响了后来的十进小数普及者，如弗拉芒数学家西蒙·斯蒂文，以及苏格兰天文学家和对数发明者约翰·纳皮尔，后者采用了小数点。查巴斯认为，历史学家应该重新评估比安奇尼的重要性。尽管他已被其他人物“掩盖”，但显然存在“一条思想之路”，他说，可以追溯到比安奇尼。
这项发明的意义已经远远超出了天文学的范围。哈特说，十进小数使科学家能够以更高的精度确定自然，并提出以前甚至不可能产生的想法，例如“一个永远持续且永不停歇的数字”的想法。她指出，小数点的力量依赖于其他发展，包括几百年前印度-阿拉伯数字传入欧洲——主要通过莱昂纳多·皮萨诺（被称为斐波那契）的工作——以及零符号的逐步引入。比安奇尼的故事说明了实际需求、数字系统和理论思想之间“不断的交叉融合”，她说，他恰到好处的点改变了我们看待世界的方式。
本文经许可转载，并于 2024 年 2 月 19 日首次发表。