超现实数是真实存在的。以下是如何构建它们

在20世纪70年代早期，数学家唐纳德·克努特与他的妻子在挪威度过了一个学术休假。这段时间本应是用来放松的。然而，一天晚上，他惊醒了他的伴侣，情绪激动。他迫切需要写一本书。他向他的配偶保证，别担心，只需要一周时间。为了专心写作，他在奥斯陆为自己预订了一间酒店房间。

在那里，他起草了后来成为超现实数：两位前学生如何转向纯粹数学并找到完全的幸福的书。尽管克努特并没有发明超现实数的概念，但他却是第一个发表关于该主题的详细著作并创造了这个术语的人。时至今日，他的书仍被认为是该主题的标准著作。

然而，这部著作绝非普通的非小说类作品。它由两个虚构人物爱丽丝和比尔之间的对话组成。书中还介绍了超现实数的真正发明者，已故的数学家约翰·霍顿·康威，他于2020年去世。

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“起初，一切皆为空虚，J.H.W.H. 康威开始创造数字，”克努特写道。克努特在康威的名字中添加了额外的首字母，以暗示四字神名（希伯来语中上帝的四字名字，音译为 YHWH 或耶和华），他在 Numberphile 的 YouTube 视频中解释道。

这绝非唯一的圣经典故；甚至克努特撰写这本书的背景故事也呼应了宗教创世故事。他只用了一周的时间就把整本书写成了文字，正如他向妻子承诺的那样。“在第六天我完成了它。在第七天我休息了，”克努特告诉 Numberphile。

超现实数是通过在两个给定的现有数字之间添加值来创建的。例如，如果您查看 0 和 1，则 ¹/₂ 在中间，¹/₄ 在 0 和 ¹/₂ 之间，依此类推。这种方法使得越来越精确地解析数轴成为可能。

这个想法乍听起来并不引人注目，但是，与简单地提供分母越来越大的分数不同，在某个时刻，一切都会爆炸，突然之间，出现了甚至不包含在实数中的值。

两个公理产生一个不可思议的数字宇宙

康威建立了两个基本规则，从中产生了不可估量的数字领域。每个数字 x 由两个集合 M_L 和 M_R 定义，它们包含先前创建的数字：x = {M_L : M_R}。

M_L 是左手集，M_R 是右手集。第一个规则是左手集的元素始终小于右手集的元素。

第二个规则规定，0 是由两个空集界定的数字。这两个规则为数学的一个极其多样化的分支奠定了基础！

在这些基础之上，克努特的超现实数创世故事发生在几天之内。在第零天，根据第二条规则，0 从无到有地被创造出来，他将其表示为 0 = { : }。

在第一天，又创建了两个数字：1 = {0: } 和 –1 = { :0}。这两个数字之所以出现，是因为它们是数轴上第二大和第二小的整数（分别是）。

超现实创造的第二天变得更加有趣。现在你可以第一次使用不同的数字了。例如，{0:1} 表示介于 0 和 1 之间的数字，即 ¹/₂。你也可以创建 {1: } = 2, {–1:0} = –¹/₂ 和 { :–1} = –2。

以这种方式继续下去，在第三天，你将得到 ¹/₄、³/₄、3 等等。

如果你坚持下去，到第 n 天，你将拥有从 –n 到 n 的所有整数，以及分母为 2, 2², 2⁴, 2⁸,... 到 2ⁿ 的所有分数。这种分母是 2 的倍数的分数称为二进有理数。这使得超现实数看起来相当枯燥：它们仅由整数和二进有理数组成。没有 π (π) 或根号二 (√2) 等值的踪迹——甚至连像 ¹/₃ 这样微不足道的数字也没有。

所有实数的黎明

超现实数真正令人兴奋的特性在你到达 ω 天时就会展开。ω 这个符号对应于可数无穷大。在这一天，所有以前不存在的实数，即所有无理数值和所有非二进有理分数，都会一下子被创造出来。

例如，√2 来自以下表示：√2 = {1 ⁵/₄¹¹/₈ ... : ... ²³/₁₆³/₂}。其他无理数值（如 π）也以这种方式获得；该数字由两个二进有理数序列包围。

实际上，该过程类似于已建立的戴德金分割方法，该方法用于从有理数构造实数。在该方法中，形成两组有理数，其中一组包含小于另一组的数字（就像康威的第一条规则一样）。然后，这两组之间的“交集”定义了一个实数。

但在康威的奇特构造中，ω 天诞生了新的数字。突然之间，无限值也出现了——即数字 ω。为此，你必须将所有自然数插入左手集，并将右手集留空：ω = {1 2 3 ... : }。这对应于大于所有自然数的数字。

还有更不寻常的东西。如果你在左手集中输入 0，并在右手集中输入所有二进有理分数，你将得到一个无穷小数 ε = {0 : ...¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。这个 epsilon 代表无穷大的倒数：ε 非常小，以至于没有实数可以表示它。事实上，ε 对应于 ω 的倒数：ε = ¹/_ω。无穷小数 ε 不仅在 ω 天单独出现，而且还与所有整数和二进有理数组合出现： ¹/₂ + ε = {¹/₂ : ... ¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。

在 ω + 1 天，出现了更多的超现实数，例如数字 ω + 1 和 ω – 1，两个新的无穷大。此外，任何实数现在都可以与 ε 组合，例如：π + ε = {π : ...¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。此外，还创建了数字 ^ε/₂，这是一个比无穷小数小一半的值。

数量的概念崩溃了

在随后的每一天，都会出现新的超现实数：新的无穷大和无穷小，以及出现在所有先前生成的数字之间的新值。数字的多样性一点一点地继续增长。事实上，创造了如此多的对象，以至于超现实数不再能被定义为一个集合。相反，它们形成一个“类”。因此，它们远远超过所有其他类型的数字：自然数、有理数和实数。

为了理解这一点，回想一下超现实数的定义，即两个集合 M_L 和 M_R，其中 M_L始终是较小的那个。假设所有超现实数的总体是一个集合 S。那么你可以将一个新数字 x 定义为 x = {S : }。这将使 x 成为一个超过 S 所有值的数字——所以你将定义一个不包含在 S 中的超现实数。

这是一个矛盾，因为根据定义，S 包含所有超现实数。为了避免这种悖论（如果你想确定所有无穷大的数量，也会出现这种悖论），数学家们引入了类的概念。因为 S 是一个类，所以它不能用于构造超现实数。

超现实数还隐藏着更多的惊喜。尽管超现实数的数量明显多于实数，但它们并没有形成连续统。由超现实数组成的数轴充满了漏洞——不像实数轴那样没有间隙。这些空间的原因是，总是有更小的无穷小量挤在先前生成的超现实数之间。

例如，开集 [0,1) 包括所有小于 1 的值。因此，数字 1 是一个“上限”。然而，超现实数缺少这样的概念。那是因为你可以在集合 [0,1) 和 1 之间找到一个超现实数，例如 1 – ε。这个数字既不属于 [0,1) 也不属于 1。

这一观察具有深远的意义。这意味着诸如 ¹/_n 之类的数字序列，如果 n 趋于无穷大，则不具有极限值 0。相反，该序列不会收敛。它将永远持续运行，同时它将取越来越小的值 ε, ^ε/₂, ..., ^ε/₁₀₀, 等等。在超现实数的宇宙中，0.9999... 永远不可能等于 1——不像实数那样。

由于缺少这样的极限，我们在学校以导数和积分形式学习的常用分析形式也崩溃了。所有基本概念都基于极限值形成和连续数空间。然而，专家们已经成功地开发出所谓的“非标准分析”，它可以与超现实数一起使用。

即使这一切看起来非常抽象和陌生，克努特也确信，超现实数与其他任何数字一样，都适合描述我们的世界。如果“一百年来每个人都在学校里学到这个，[他们就会]认为这就是数字的样子，”他告诉 Numberphile。“我们没有理由认为宇宙会遵守实数的定律。”事实上，物理学家已经尝试将超现实数纳入他们的理论。然而，所涉及的工作通常非常繁重，到目前为止，收益甚微。

在数学中，超现实数形成了一个有趣的结构：一个庞大的数字系统，可用于描述无穷大和无穷小。康威实际上是在研究围棋的策略时提出了这种惊人的构造。超现实数已在博弈论中证明了自身的价值，但仅限于其有限的变体，即整数和二进有理数的并集。正如康威在2016 年的一次讲座中所反思的那样，他以这种方式揭示了以前未知的超现实数宇宙的无限广阔是他“数学生活中最大的惊喜。”

本文最初发表于Spektrum der Wissenschaft，并经许可转载。