圆周率 (π) 出现在最不可能的地方。当然，它可以在圆中找到，也可以在摆、弹簧和河流弯道中找到。这个日常数字与先验的奥秘有关。它启发了莎士比亚式的思想谜题、烘焙挑战和甚至是一首原创歌曲。圆周率不断带来惊喜——最近一次是在 2024 年 1 月，当时印度科学研究所的物理学家阿尔纳布·普里亚·萨哈和阿宁达·辛哈提出了一个全新的公式来计算它，他们后来在《物理评论快报》上发表了这个公式。
萨哈和辛哈不是数学家。他们甚至没有寻找新的圆周率方程。相反，这两位弦理论学家正在研究基本力的统一理论，该理论可以调和电磁力、引力以及强核力和弱核力。在弦理论中，宇宙的基本组成部分不是粒子（如电子或光子），而是像吉他的弦一样振动的细小丝线，这样做会引起所有可见现象。在他们的工作中，萨哈和辛哈研究了这些弦如何相互作用——并意外地发现了与重要数学量相关的新公式。
几千年来，人类一直试图确定圆周率的精确值。考虑到计算圆的周长或面积的实用性，这并不奇怪，而圆周率使之成为可能。甚至古代学者也开发了几何方法来计算这个值。一个著名的例子是阿基米德，他借助多边形估算了圆周率：通过在一个圆内和一个圆外绘制一个n边形并计算每个多边形的周长，他能够缩小圆周率的值。
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一种常见的几何方法是绘制一个圆的内接和外切多边形，然后比较两个周长，以此来确定圆周率。
Fredrik/Leszek Krupinski/维基共享资源
教师经常在学校里介绍这种方法。但即使您不记得了，您也可能可以想象到这个过程非常复杂。阿基米德甚至比较了具有 96 个顶点的多边形的周长，以证明圆周率介于 3.1408 和 3.1429 之间。因此，这种方法实际上并不适用于精确计算圆周率。
确定圆周率的无穷级数
在 15 世纪，专家们发现了无穷级数，作为表达圆周率的新方法。通过将它们的数字逐个相加，可以获得圆周率的值。您查看的被加数越多，结果就越准确。
例如，印度学者马达瓦（生活于 1350 年至 1425 年）发现圆周率等于4 乘以一个级数，该级数以 1 开头，然后交替减去或加上分数，其中 1 位于连续更高的奇数之上（因此为 1/3、1/5 等）。一种表达方式是
这个公式使得以非常简单的方式尽可能精确地确定圆周率成为可能。您不必成为数学大师也能解出这个方程。但您确实需要耐心。获得准确的结果需要很长时间。即使您评估 100 个被加数，您仍然会离目标很远。
正如萨哈和辛哈在 600 多年后发现的那样，马达瓦的公式只是一个更通用的圆周率计算公式的特例。在他们的工作中，弦理论学家发现了以下公式
这个公式产生一个无限长的和。引人注目的是它取决于因子 λ，这是一个可自由选择的参数。无论 λ 取何值，该公式始终会得出圆周率。并且由于有无限多的数字可以对应于 λ，萨哈和辛哈发现了无限多个圆周率公式。
如果 λ 无限大，则该方程对应于马达瓦公式。也就是说，因为 λ 始终只出现在分母的分数中，所以 λ = ∞ 的相应分数变为零（因为分母大的分数非常小）。对于 λ = ∞，萨哈和辛哈的方程因此采用以下形式
方程的第一部分已经类似于马达瓦公式：您对分母为奇数的分数求和。然而，和的最后一部分 (–n)n – 1不太熟悉。下标n – 1 是所谓的波赫哈默符号。一般来说，表达式 (a)n 对应于乘积a x(a + 1) x (a + 2) x ... x (a + n – 1)。例如，(5)3 = 5 x 6 x 7 = 210。因此，上述公式中的波赫哈默符号得出：(–n)n – 1 = (–n) x (–n + 1) x (–n + 2) x ... x (–n + n – 3) x (–n + n – 2)。
简化为马达瓦公式的几个步骤
所有这些元素乍一看都很复杂，但它们可以很快简化。首先，从每个因子中减去 -1。因此，如果n是奇数，则巨大乘积前面的符号为 -1，如果n是偶数，则为 +1，因此您得到 (–n)n – 1 = (–1)n x n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – n + 3) x (n – n + 2)。最后一个因子可以进一步简化：(–n)n – 1 = (–1)n x n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x 2 x 1。
这个拉长的表达式实际上是 (–n)n – 1 = (–1)nx n!，结果如下。*
这对应于马达瓦公式。因此，萨哈和辛哈发现的方程也包含马达瓦发现的级数。
正如两位弦理论学家报告的那样，对于较小的 λ 值，圆周率的计算速度要快得多。虽然马达瓦的结果需要 100 项才能达到圆周率的 0.01 范围内，但萨哈和辛哈的 λ = 3 公式仅需要前四个被加数。“虽然 [马达瓦的] 级数需要 50 亿项才能收敛到小数点后 10 位，但 λ 在 10 [到] 100 之间的新表示形式需要 30 项，”作者在他们的论文中写道。 萨哈和辛哈没有找到计算圆周率的最有效方法。几十年来，人们已经知道其他一些级数可以更快地提供令人惊讶的精确值。在这种情况下真正令人惊讶的是，物理学家在他们的论文旨在描述弦的相互作用时，提出了一个新的圆周率公式。他们开发了一种方法来指示两个闭弦相互作用的概率——许多弦理论学家几十年来一直在寻求但未成功的方法。
当萨哈和辛哈仔细研究由此产生的方程时，他们意识到他们可以用这种方式表达圆周率，以及 zeta 函数，zeta 函数是黎曼猜想的核心，黎曼猜想是数学中最伟大的未解之谜之一。鉴于弦理论学家的兴趣，他们关于圆周率和 zeta 函数的公式仅装饰了他们论文的最后一段。“当然，我们的动机不是找到圆周率的公式，”辛哈在 Numberphile 的 YouTube 视频中说。“圆周率只是副产品。”
本文最初发表在《光谱》杂志上，经许可转载。
*编者注（2024 年 9 月 4 日）：这句话在发布后进行了编辑，以更正最初遗漏阶乘符号的方程。