在 1995 年皮克斯电影《玩具总动员》中，干劲十足的太空动作人物巴斯光年不知疲倦地念着他的口头禅：“飞向宇宙，浩瀚无垠！” 当然，这个笑话的根源在于一个完全合理的假设，即无限是不可超越的绝对——不存在超越无限的东西。
然而，这个假设并非完全正确。正如德国数学家格奥尔格·康托尔在 19 世纪后期所证明的那样，存在各种各样的无限——有些无限就是比其他无限更大。
例如，以所谓的自然数为例：1、2、3 等等。这些数字是无界的，因此所有自然数的集合在大小上是无限的。但是它到底有多无限呢？康托尔用一个优雅的论证表明，自然数虽然数量无限，但实际上比另一类常见的数字“实数”的数量要少。（这个集合包括所有可以用小数表示的数字，即使小数部分是无限长的。因此，27 是一个实数，π 也是，即 3.14159…。）
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事实上，康托尔证明，在零和一之间 packed 了比所有自然数范围内的数字更多的实数。他是通过反证法逻辑地做到这一点的：他假设这些无限集的大小相同，然后按照一系列逻辑步骤找到一个缺陷，从而推翻了这个假设。他推断，自然数和实数（0 到 1 之间的子集）拥有相同数量的成员，这意味着这两个集合可以建立一一对应关系。也就是说，这两个集合可以配对，以便每个集合中的每个元素在另一个集合中都有一个——且只有一个——“伙伴”。
这样想：即使在没有数字计数的情况下，也可以使用一一对应关系来衡量相对大小。想象一下两个大小未知的板条箱，一个装满了苹果，另一个装满了橙子。一次取出一个苹果和一个橙子，这样就将这两个集合配对成苹果-橙子对。如果两个板条箱的内容同时清空，则它们的数量相等；如果一个板条箱在另一个板条箱之前耗尽，则剩余水果的板条箱数量更多。
因此，康托尔假设自然数和 0 到 1 之间的实数已经建立起了这样的一种对应关系。因此，每个自然数n 都有一个实数伙伴 rn。然后，实数可以按照其对应的自然数的顺序排列：r1、r2、r3 等等。
然后，康托尔巧妙的一面开始显现。他创建了一个实数，称为 p，规则如下：使 p 中小数点后第 n 位的数字与 rn 中同一小数位的数字不同。一个简单的方法是：当有问题的数字为 4 时，选择 3；否则，选择 4。
为了演示，假设自然数 1 (r1) 的实数对是泰德·威廉姆斯 1941 年著名的 .400 打击率 (0.40570…)，2 (r2) 的实数对是乔治·W·布什在 2000 年获得的普选票份额 (0.47868…)，而 3 (r3) 的实数对是 π 的小数部分 (0.14159…)。
现在按照康托尔的构造创建 p：p 的小数点后第一位的数字不应等于 r1 的小数点后第一位的数字，即 4。因此，选择 3，p 从 0.3… 开始。然后选择 p 的小数点后第二位的数字，使其不等于 r2 的小数点后第二位的数字，即 7（选择 4；p = 0.34…）。最后，选择 p 的小数点后第三位的数字，使其不等于 r3 的相应小数位的数字，即 1（再次选择 4；p = 0.344…）。
沿着列表继续下去，这种数学方法（称为“对角化”）生成了一个介于零和一之间的实数 p，根据其构造，p 与列表上的每个实数在至少一位小数位上都不同。因此，它不可能在列表上。
换句话说，p 是一个没有自然数伙伴的实数——一个没有橙子的苹果。因此，实数和自然数之间的一一对应关系失败了，因为实数太多了——它们是“不可数”的——使得实数无限在某种程度上比自然数无限更大。
“‘大于’的概念真是一个突破，”安大略省滑铁卢大学数学荣誉退休教授斯坦利·伯里斯说。“你有了无限的基本算术，但没有人想到在无限范围内进行分类——在那之前，它只是一种单一的对象。”
达特茅斯学院数学家约瑟夫·米莱蒂补充说：“当我第一次听到这个结果并第一次看到它时，它绝对是让我震惊的事情之一。它是那种简短、精辟且非常、非常令人惊讶的结果之一。”