图片：塞缪尔·P·弗格森，密歇根大学 橙子和炮弹。这种排列方式，被称为面心立方堆积，长期以来被认为是将最多数量的球体塞进最小空间体积的方法。但数学家一直未能证明这一点——直到现在 |
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现在，这是一个经典的故事。一位天才提出断言；科学家们花费多年时间试图证实它。1611年，天文学家约翰内斯·开普勒写下了他认为是不证自明的事实：球体最密集的排列方式是面心立方堆积。换句话说，为了在最小的空间内放置最多的球体，就像杂货商堆放橙子一样：制作层，其中每个橙子接触其他六个橙子，并将这些层堆叠起来，使上一层的橙子嵌入到下面层橙子之间的空隙中。
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表面上看，开普勒猜想——也称为球体堆积问题——似乎比其他传奇难题更容易证明，例如皮埃尔·德·费马著名的最后定理，后者在他1665年去世前不久潦草写下。但证明它花费了更长的时间。现在，在普林斯顿数学家安德鲁·怀尔斯最终解决了费马难题三年后，开普勒的难题也可能得到解决。
图片：埃里克·韦斯坦因，弗吉尼亚大学 约翰内斯·开普勒。他对球体堆积的猜想在近400年的时间里都未被数学证明。 |
八月份，密歇根大学的托马斯·C·黑尔斯通过电子邮件宣布他找到了解决方案。黑尔斯的说法并非首例。1993年，加州大学伯克利分校的项武义发表了开普勒猜想的证明，但他的论点经不起推敲。黑尔斯的工作虽然尚未提交给学术期刊或经过彻底审查，但令许多数学家感到兴奋，因为大部分证明都基于黑尔斯和其他人多年来发表的扎实工作。
事实上，许多数学家都思考过球体堆积问题。最早思考这个问题的人之一可能是托马斯·哈里奥特，他首先引起了开普勒对这个问题的注意。作为探险家沃尔特·雷利爵士的数学助手，哈里奥特被指派开发用于计算堆叠炮弹的公式——这让他开始思考哪种排列方式会占用最少的空间。
1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特向他的同行提出了一系列未解决的问题，这个问题引起了特别的关注。希尔伯特第18个问题是：“如何在空间中以最密集的方式排列无限个给定形状的相等固体，例如，给定半径的球体……；也就是说，如何将它们组合在一起，使填充空间与未填充空间的比例尽可能大？”
图片：克拉克大学 大卫·希尔伯特。他在1900年挑战他的同事为开普勒的想法提供证明。 |
几位20世纪的数学家接受了这一挑战，并为填充空间与未填充空间的比例设定了上限。但他们无法证明它能像面心立方堆积的比率那样低，约为74%。值得注意的是，1958年，伯明翰大学的C.A.罗杰斯表明，任何球体堆积的密度都不可能大于约0.7796。也就是说，给定任何填充球体的体积，其中最多只有78%可以包含实心球体；其余体积由它们之间的空间组成。但是，正如罗杰斯所写，“许多数学家相信，所有物理学家都知道，密度不可能超过0.7404。”
对黑尔斯努力的最大推动可能发生在1953年，当时匈牙利数学家L.费耶斯·托特证明，该证明可以简化为有限的——尽管极其复杂的——计算。这个结果，像罗杰斯的结果一样，没有提供即时的满足感，但托特预测，计算能力的提高将很快使必要的计算触手可及。
蛮力计算正是黑尔斯获得成功的关键。简而言之，他的方法可以表示为大约150个变量的非线性函数的最大化——这不是一项简单的任务。他将攻击分为五个步骤：第一步在1994年解决，第二步在一年后解决。两年前，黑尔斯在第三步和第四步中取得了部分成果。最后的第五步最近作为他的学生塞缪尔·P·弗格森撰写的博士论文的一部分完成。整个论证超过250页。
那么，如果黑尔斯的证明经受住学术审查会发生什么：他仅仅证明了一些杂货商和炮手多年来都知道的事情吗？事实上，结果将具有重要的意义。球体堆积问题在扩展到其他维度时有许多应用。例如，二维圆的堆积——被称为亲吻数问题——由R.霍普在1874年解决。在三维中，密集排列的球体可以作为液体和固体中原子相互作用的有用模型，例如晶体材料。在无限维度中，球体堆积等同于设计高效的数字编码消息。
就像费马一样，开普勒也不知道他开启了什么。