数学通常是关于揭示模式的。例如，某些拓扑学领域围绕着对结或几何形状进行分类，而数论则探索诸如素数分布等属性。如果我们把自己限制在稍微简单的关系上，我们可以观察到数字 5 和 6 的一个模式，这个模式在几千年前就被巴比伦人认识到了：5 的平方是 25，以 5 结尾；25 的平方是 625，以 25 结尾；而 625 的平方是 390,625，以 625 结尾。这看起来像是一个有趣的噱头，由数学家莫里斯·克莱奇克在 1942 年推广开来，却引出了数学中最重要的数系之一——也是最奇怪的数系之一。
如果你用数字 6 玩一下，结果没有那么令人印象深刻，但在这里，也出现了一种模式：6 的平方得到 36；36 的平方得到 1,296。虽然 36 不再出现在数字序列中，但结果总是以 6 结尾。一般来说，平方以与数字本身相同的数字或数字结尾的数字被称为自守数。这样的数字有无穷多个：0、1、5、6、25、76、376，等等。事实证明，除了 0 和 1 之外，所有自守数都以 5 或 6 结尾。
然而，数字 5 特别令人兴奋。它不仅是自守数，而且它的平方和平方的平方也是自守数。这自然而然地引出了一个问题，即这个自守数序列是否会无限延续下去。换句话说，5 的重复平方是否总是产生一个自守数？
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事实证明，情况并非如此
来源：Spektrum der Wissenschaft, Amanda Montañez 设计
因此，这种模式似乎在第三次平方后崩溃了：390,6252 的结果是 152,587,890,625。因此，390,625 不可能是自守数，因为该数字没有完全包含在其平方中。
但是如果你仔细观察，你可以看到至少最后五位数字出现在平方数中，即 90,625。如果你对这个数字进行平方，你会得到：8,212,890,625。因此，90,625 是一个自守数！
这意味着你可以继续下去，计算 8,212,890,625 的平方。结果非常庞大，但事实证明，8,212,890,625 也是自守数，因为它的平方是 67,451,572,418,212,890,625。
你可以继续这个过程：连续平方所有的数字，如果它们不是自守数，则继续使用重复的最后几位数字进行计算。这会得到以下数字序列：
5
25
625
90,625
8,212,890,625
18,212,890,625
918,212,890,625
正如你所看到的，这会产生一个越来越大的自守数。事实上，这个过程可以无限地继续下去——最终，结果是一个无限大的数字，它是完全自守的（也就是说，一个无限大的数字，它的平方等于它自身：n2 = n）。即使你无法写下那个无限大的数字，它的最后几位数字也是已知的：...918,212,890,625。
在无穷大中存在这样一个“不动点”本身就令人惊讶。至少这个数字的最后几位数字可以被精确地指定，这更加令人惊讶。
这个过程可以无限次地继续下去，这并非显而易见的。毕竟，在某个时候你可能会遇到一个不再是自守数的数字。而且无论如何——像 ...67,451,572,418,212,890,625 这样的无限数应该代表什么？它与 ...11111111111 这样的值有什么不同？毕竟，这两个数字都是无限的。
一个新的数系诞生了
在 19 世纪后期，数学家库尔特·亨泽尔发展了所谓的 p-adic 数的概念。这些数字在小数点前有无限多位数字——这与普通实数相反，普通实数在小数点后无限延续，例如 π = 3.14159.... 即使这乍一听起来非常不寻常，你也可以像普通实数一样对 p-adic 数进行计算。
为了理解这一点，考虑一下实数的一种不寻常的表示方法。每个实数也可以表示为一个无穷级数。例如，π = 3 x 100 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 1 x 10-3 + 5 x 10-4 + 9 x 10-5 + ...
p-adic 数也可以表示为无穷级数，但具有正指数。所以 ...890625 = 5 x 100 + 2 x 101 + 6 x 102 + 0 x 103 + 9 x 104 + 8 x 105 + .... 这样一来，你就更清楚如何用这些奇怪的数字进行计算了。例如，...111111 + ...22222 = ...33333。p-adic 数也可以进行除法和乘法运算。
然而，最后两个运算可能会导致自守数（如 ...890,625）出现问题。正如已经提到的，这个数字等于它的平方，所以适用以下等式：n2 = n。
如果你转换这个二次方程，结果是：n2 – n = n x (n – 1) = 0。如果两个因子（这里是 n 和 n – 1）的乘积结果为 0，那么至少其中一个因子必须为 0。然而，只有当 n = 0 或 n = 1 时，情况才是这样。对于 p-adic 数，n 也可以具有 0 或 1 以外的值，例如 ...890,625，并且仍然满足上述等式。这意味着，对于 p-adic 数，两个都不等于 0 的数字的乘积仍然可能得到 0。
除以零
即使在简单的计算中，这种“零因子”也会造成问题。突然之间，你在除法时必须格外小心，以避免意外地将一个数字除以 0。这可以在以下示例中看到：假设 a 和 b 是不等于 0 的 p-adic 数，并且 a x b = 0。如果你想求解方程 2⁄a = b x (1 + x) 中的 x，你通常会首先将方程的两边都除以 b。然而，由于 a 和 b 的乘积是 0，你会将左侧项除以 0。因此，该方程无法以这种方式求解。
事实证明，可以避免这种有问题的零因子。如果您想知道数系的名称，p 代表素数。然而，我介绍的 p-adic 数实际上是“10-adic”数，它们是以 10 为基数定义的。由于 10 不是素数，因此会出现这种令人不快的零因子。但是，如果您查看例如 3-adic 数，它由 x0 x 30 + x1 x 31 + x2 x 32 + x3 x 33 + x4 x 34 + x5 x 35 + ... 形式的和表示（其中系数 xi = 0、1 或 2），您将找不到任何零因子。因此，p 真的是素数的 p-adic 数不包含除 ...00000 和 ...00001 (0 和 1) 之外的任何满足 n2 = n 的完全自守值。
虽然 p-adic 数乍一看似乎极其复杂，但它们被广泛使用。事实上，数论学家在他们的大部分工作中都使用这些奇怪的值。数学家彼得·舒尔茨告诉Quanta杂志，p-adic 数“与我们的日常直觉相去甚远”。“现在我发现实数比 p-adic 数更令人困惑。我已经非常习惯它们了，以至于现在实数感觉非常奇怪。”
本文最初发表于《Spektrum der Wissenschaft》，经许可转载。