简单的公式让素数变得容易，但百万美元的谜题仍然存在

你想成为百万富翁吗？实现这个梦想有几种方法。二十年来，美国版的《谁想成为百万富翁？》承诺，如果你能正确回答 15 个具有挑战性的问题，就能获得一百万美元的奖金。今天，你只需回答一个问题就可以赢得该奖项：素数在数轴上是如何分布的？ 这样做，你将解决所谓的黎曼猜想，七个“千禧年难题”之一，其解决方案各奖励 100 万美元。

事实上，黎曼猜想并非唯一与素数相关的重要数学问题。 例如，哥德巴赫猜想指出，任何大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和（4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，依此类推）。 解决这个猜想不会获得一百万美元或欧元的奖励，但会在数学界获得名誉和荣誉。 关于素数的谜题仍然存在如此之多，这似乎令人惊讶——毕竟，存在几种计算素数的公式。

其中一个“素数生成器”是 C. P. Willans 的第 n 个素数公式。 这个函数 p(n) 为任何 n 值吐出第 n 个素数。 例如，对于 n = 5，此公式返回 p(5) = 11，因为 11 是第五个素数。

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该公式应该能够解决所有关于素数的谜团，对吧？ 并非完全如此。

Willans 公式背后的想法是首先找到一个检测素数的函数——我们将其称为函数 f(x)。 如果检测器工作正常，则该函数每次检测到素数时都会给出 1（每当您输入等于素数值的数字或方程时）。 否则，该函数将给出 0，这意味着未检测到素数。

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一旦你有了这个素数检测函数，你就可以将其转换为素数生成器。

从检测器构建生成器

假设您找到了素数检测器函数 f(x)。 借助它，您可以推断给定区间内素数的数量。 例如，如果您将值 f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) 相加，结果将是 0 到 10 之间所有素数的数量——即 4。 （如果您好奇，该区间内的素数是 2、3、5 和 7）。

您可以仔细查看 f 上的各个被加数

f(1) = 0,
f(1) + f(2) = 1,
f(1) + f(2) + f(3) = 2,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4...

这里已经有一个模式。 如果你想确定第四个素数，例如，你必须找到最小的数 x，使得和 f(1) + f(2) + ... + f(x) = 4。 在上面的例子中，x = 7。

这个原理可以推广。 第 n 个素数是最小的自然数 x，使得 f(1) + f(2) + ... + f(x) = n。 所有这些意味着，如果您可以使用一个函数来表达这个过程，该函数将提供搜索到的值 x，您将创建一个素数生成器。

让我们一起做。 首先，引入另一个辅助函数 g(x) 对应于和 f(1) + ... + f(x) 是有帮助的。 因此

g(1) = f(1) = 0,
g(2) = f(1) + f(2) = 1,
g(3) = f(1) + f(2) + f(3) = 2,
g(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,
g(5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,
g(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,
g(7) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4 ...

因此，回到搜索第四个（或更一般地说是第 n 个）素数，您将不得不计算有多少个 x 值使得 g(x) 小于 4（或 n）。 这样，您将获得您正在寻找的第四个（或第 n 个）素数的值。

事实上，有一个函数可以做到这一点。 不要惊慌——它看起来很复杂，但实际上是无害的

让我们稍微分解一下。 方括号 ⌊ 和 ⌋ 表示您应该向下舍入括号内的值。 因此，例如，⌊ 1.7 ⌋ = 1 且 ⌊ 1.12111167545 ⌋ = 1。

在这种情况下，方括号内的项似乎有点复杂。 为了更好地理解它，请查看相应的图表，该图表绘制了该项，假设 i 的值为固定值，在本例中为 4，变量为 n

您现在可以看到，无论 n 有多大或多小，方括号内的项

取值在 0 和 1 或 1 和 2 之间。 因此，使用周围的方括号，表达式返回 0 或 1。

事实上，只要 g(i) 小于 n，结果始终为 1。 另一方面，一旦 g(i) 等于 n 或超过 n，结果将为 0。 外部总和仅用于累加贡献。

因此，如果您评估 n = 4 的公式以获得第四个素数，则会出现以下情况

这不仅适用于 n = 4，而且适用于任何 n。 通过使用这个公式，您始终可以得到第 n 个素数。

但到目前为止，我隐瞒了一条信息。 我们假设存在一个素数检测器 f——但我没有告诉你该函数是什么样的，或者它是如何工作的。

这是重大揭示。 它乍一看似乎也很令人生畏，但并没有那么复杂

我们已经了解了方括号。 因为平方余弦仅返回 0 到 1 之间的值，这保证了 f(x) 只能是 0 或 1——这正是我们在检测器函数中想要的。 但是，对于哪些 x 值，f(x) = 0，对于哪些值，该函数等于 1？

要回答这个问题，必须考虑余弦函数的自变量：π x [(x-1)! + 1]⁄x。 感叹号表示一种称为阶乘的算术运算，它将所有自然数乘以阶乘之前的数字。 也就是说，5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120。

现在，如果您为 x 插入不同的值并评估分数 π x [(x-1)! + 1]⁄x，您将得到以下结果

注意到模式了吗？ 如果 x 是素数，则结果是 π 的整数倍； 否则就不是。 这对于所有 x 值都成立。

事实证明，这在历史上已被多次证明。 虽然它被称为威尔逊定理——以数学家约翰·威尔逊的名字命名，他在 18 世纪提出了这种联系作为猜想——但它也由约瑟夫-路易斯·拉格朗日在 1771 年证明。 但他远非第一个证明它的人。 事实上，阿拉伯学者阿布·阿里·哈桑·伊本·海赛姆在公元 1000 年左右提出了相应的猜想。

百万美元仍然无人认领

威尔逊定理可用于构建检测器：π 的整数倍的余弦始终产生 1 或 -1，而另一方面，余弦函数的所有其他自变量都产生小于 1 的结果。 这就完成了素数检测器。 通过舍入平方余弦函数（通过方括号），如果 x 是素数，f(x) 返回值 1，否则返回 0，这正是我们想要的。

通过将迄今为止获得的所有信息放在一起，可以给出一个计算素数的实用公式

请随意自己尝试。 如果你想计算第五个素数，你所要做的就是将 n = 5 代入公式，你将得到正确的结果 11。

事实上，这个方程早在 1964 年就由一位名叫 C. P. Willans 的人发表了。 关于 Willans 恒等式的详细信息仍然未知。 他没有撰写其他技术文章。 但我们可以假设 Willans 没有通过这个公式成为百万富翁。 不仅千禧年大奖当时还不存在，而且他的公式也无法回答任何与素数相关的主要数学问题。

如果您尝试使用该方程，您可能已经注意到该方程的主要问题。 这些计算非常复杂。 即使是计算机也难以评估该公式，特别是对于较大的 n 值。 除此之外，阶乘是问题的一部分：这些值很快变得非常大，并且计算需要大量的计算能力。

如果你想计算巨大的素数，你将使世界上每台超级计算机都负担过重。 因此，要成为百万富翁，你需要找到另一条道路。 也许是时候参加游戏节目了。

本文最初发表于Spektrum der Wissenschaft 并经许可转载。