在一个阳光明媚的春日，我们中的一人（Dixon）在伦敦地铁的 Mile End 站进入地铁，前往希思罗机场。他随意地看着一位陌生人，这是伦敦地铁每天三百多万乘客中的一员，他随意地想：这位陌生人会在比如温布尔登站出站的概率是多少？考虑到这个人可以走任意数量的路线，你又该如何计算出来呢？当他思考这个问题时，他意识到这个问题与粒子物理学家在现代实验中预测粒子碰撞时面临的棘手问题非常相似。
位于日内瓦附近欧洲核子研究中心 (CERN) 的大型强子对撞机 (LHC) 是我们这个时代最重要的发现机器，它将以接近光速的速度运行的质子撞击在一起，以研究碰撞产生的碎片。建造对撞机及其探测器将技术推向了极限。解读探测器看到的东西同样是一项巨大的挑战，尽管它不太显眼。乍一看，这似乎相当奇怪。《基本粒子标准模型》已经确立，理论家们经常应用它来预测实验结果。为了做到这一点，我们依赖于著名物理学家理查德·费曼在 60 多年前开发的一种计算技术。每位粒子物理学家都在研究生院学习费曼的技术。每一本关于公众粒子物理学的书籍和杂志文章都基于费曼的概念。
然而，他的技术对于最先进的问题来说已经过时了。它提供了一种直观的近似方法来掌握最简单的过程，但对于更复杂的过程或高精度计算来说，它却非常费力。预测粒子碰撞会产生什么结果甚至比预测地铁乘客会去哪里更令人望而生畏。世界上所有的计算机一起工作都无法确定即使是 LHC 中相当常见的碰撞结果。如果理论家无法对已知的物理定律和已知的物质形式做出精确的预测，那么当我们看到对撞机发现了真正的新事物时，我们有什么希望能够辨别出来呢？就我们所知，LHC 可能已经找到了自然界一些最伟大谜题的答案，而我们仍然一无所知，仅仅是因为我们无法足够准确地解出标准模型的方程。
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近年来，我们三人和我们的同事开发了一种分析粒子过程的新方法，它绕过了费曼技术的复杂性。这种方法称为幺正性方法，它相当于一种高度经济的方式来预测地铁乘客的行为，它认识到乘客在每个决策点的选择实际上相当有限，并且可以分解为一系列动作的概率。许多粒子物理学中棘手的理论问题已被这个新想法彻底解决。它们的解决方案使我们能够以前所未有的详细程度理解我们当前的自然理论的预测，以便我们能够在看到新发现时认出它。该方法还为标准模型的理想化近亲产生了大量成果，标准模型的理想化近亲作为通往终极自然理论的垫脚石，引起了物理学家的特殊兴趣。
幺正性方法不仅仅是一种有用的计算技巧。它暗示了一种关于粒子相互作用理论的激进新愿景，这些理论受制于意想不到的对称性，反映了标准模型中未被充分赏识的优雅性。值得注意的是，它揭示了数十年来努力将量子理论和爱因斯坦的广义相对论统一为量子引力理论的一个奇怪的转折。直到 20 世纪 70 年代，物理学家们都认为引力的行为与其他自然力相似，并试图扩展我们现有的理论来涵盖它。然而，当他们应用费曼的技术时，他们要么得到荒谬的结果，要么被数学难题所困扰。引力似乎毕竟不像其他力那样。物理学家们感到沮丧，转而寻求更具革命性的想法，例如超对称性和后来的弦理论。
然而，幺正性方法使我们能够实际进行在 20 世纪 80 年代设想过但当时似乎遥不可及的计算。我们发现一些所谓的矛盾实际上并不存在。引力确实看起来像其他力，尽管方式出乎意料——它的行为就像将核子成分结合在一起的强亚核力的“双重副本”。强力由称为胶子的粒子传递；引力应该由称为引力子的粒子传递。新的图景是，每个引力子的行为都像两个缝合在一起的胶子。这个概念非常奇怪，即使是专家也还没有对它的含义有一个很好的心象。尽管如此，双重副本属性为如何将引力与其他已知力统一起来提供了新的视角。
从树到灌木丛
费曼技术之所以如此引人注目和有用，是因为它为极其复杂的计算提供了一个精确的图形化配方。它基于图表，这些图表给出了两个或多个粒子碰撞或相互散射的视觉图像。在每个研究基本粒子物理学的研究机构中，您都可以找到覆盖着这些图表的黑板。为了做出定量预测，理论家会绘制一组图表，每个图表代表碰撞可能发生的每一种可能的方式；这类似于地铁乘客可能采取的可能路线之一。理论家遵循费曼及其同事（尤其是弗里曼·戴森）制定的一套详细说明，然后为每个图表分配一个数字，给出事件将以这种方式发生的概率。
缺点是人们可以绘制的图表数量非常庞大——原则上是无限的。在费曼最初开发其规则的应用中，这个缺点无关紧要。他研究的是量子电动力学 (QED)，它描述了电子如何与光子相互作用。相互作用受一个量控制，即耦合，大约等于 1⁄137。耦合的小值确保了复杂图表在计算中获得的权重较低，并且通常可以完全忽略。这就像说地铁乘客通常最好走一条相当简单的路线。
二十年后，物理学家将费曼的技术扩展到强亚核力。通过类比 QED，强力理论被称为量子色动力学 (QCD)。QCD 也受耦合控制，但正如“强”这个词所暗示的那样，它的值高于电磁耦合的值。从表面上看，较大的耦合会增加理论家必须在其计算中包含的复杂图表的数量——就像一个愿意走非常迂回路线的地铁乘客，使得很难预测他或她会做什么。幸运的是，在非常短的距离内，包括与 LHC 碰撞相关的距离，耦合值会减小，并且对于最简单的碰撞，理论家可以再次只考虑不复杂的费曼图。
然而，对于混乱的碰撞，费曼技术的全部复杂性会涌入。费曼图按外部线和闭合环线的数量进行分类[参见左侧的框]。环线代表量子理论的典型特征之一：虚粒子。尽管虚粒子无法直接观察到，但它们对力的强度具有可测量的影响。它们遵守所有常见的自然规律，例如能量守恒和动量守恒，但有一个例外：它们的质量可能与相应的“真实”（即可直接观察到的）粒子的质量不同。环线代表了它们短暂的生命周期：它们突然出现，移动一小段距离，然后再次消失。它们的质量决定了它们的预期寿命：质量越大，寿命越短。
最简单的费曼图忽略了虚粒子；它们没有闭合环线，被称为树图。在量子电动力学中，最简单的图显示了两个电子通过交换光子而相互排斥。越来越复杂的图表逐个添加环线。物理学家将这种加法程序称为“微扰”，这意味着我们从一些近似估计（由树图表示）开始，并通过添加改进（环线）逐渐扰动它。例如，当光子在两个电子之间传播时，它可以自发地分裂成一个虚电子和一个虚反电子，它们存活一小段时间后相互湮灭，产生一个光子。光子恢复了原始光子一直在走的旅程。在下一个复杂性级别中，电子和反电子本身可能会暂时分裂。随着虚粒子数量的增加，图表以越来越高的精度描述了量子效应。
即使是树图也可能具有挑战性。在 QCD 的情况下，如果您足够勇敢地考虑涉及两个入射胶子和八个出射胶子的碰撞，您将需要写下 1000 万个树图并计算每个图的概率。在 20 世纪 80 年代由荷兰莱顿大学的弗里茨·贝伦德斯和现在在费米实验室的沃尔特·吉勒开创的称为递归的方法，驯服了树图的问题，但对环线没有明显的扩展。更糟糕的是，闭合环线使工作量不堪重负。即使是单个环线也会导致图表的数量和每个图表的复杂性呈指数级增长。数学公式可能会填满百科全书。蛮力——利用越来越多的计算机的力量——可以在一段时间内对抗复杂性的浪潮，但很快就会屈服于越来越多的外部粒子或环线。
更糟糕的是，最初作为可视化微观世界的具体方法可能会将其掩盖在晦涩之中。单个费曼图通常是难以理解的巴洛克式的，当我们必须处理如此多的图表时，我们就会忽略了基本的物理原理。令人震惊的是，通过将所有图表相加得到的最终结果可能非常简单。不同的图表部分地相互抵消，有时数百万项的公式会简化为一个项。这些抵消表明图表是错误的工作工具——就像试图用羽毛敲钉子一样。一定有更好的方法。
超越费曼图
多年来，物理学家尝试了许多新的计算技术，每种技术都比前一种略好，并且逐渐形成了费曼图替代方案的轮廓。我们自己的参与始于 20 世纪 90 年代初，当时我们中的两人（伯恩和科索沃）展示了弦理论如何通过用单个公式概括所有相关的费曼图来简化 QCD 计算。利用这个公式，我们三人分析了一个以前从未被详细理解的粒子反应：两个胶子散射成三个胶子，带有一个虚粒子环线。按照当时的标准，这个过程非常复杂，但可以用一个非常简单的公式完全描述，这个公式可以放在一页纸上。
这个公式非常简单，因此，与当时在加州大学洛杉矶分校的大卫·邓巴一起，我们发现我们可以几乎完全根据称为幺正性的原理来理解散射。幺正性是所有可能结果的概率加起来必须为 100% 的要求。（从技术上讲，这些量不是概率，而是概率的平方根，但这种区别在这里并不那么重要。）幺正性隐含在费曼的技术中，但往往被计算的复杂性所掩盖。因此，我们开发了一种替代技术，将幺正性置于首位和中心。基于幺正性进行计算的想法在 20 世纪 60 年代就已出现[参见杰弗里·F·周、默里·盖尔曼和阿瑟·H·罗森菲尔德的《强相互作用粒子》；大众科学，1964 年 2 月]，尽管它后来失宠了。正如在科学中反复发生的那样，被抛弃的想法可能会以新的面貌卷土重来。
幺正性方法成功的关键在于它避免了直接使用虚粒子，而虚粒子是费曼图变得如此复杂的主要原因。虚粒子既有真实的影响，也有虚假的影响。根据定义，后者必须从最终结果中抵消掉，因此它们是物理学家很乐意抛弃的过剩数学包袱。
可以通过类比像伦敦地铁这样的复杂地铁系统来理解该方法，该系统在任意两个地铁站之间都有多条路径。假设我们想知道一个人从 Mile End 进入地铁后在温布尔登出站的概率。费曼技术将所有可能的路径的概率相加。所有真正意味着所有：除了通过走廊和隧道的路径外，费曼图还包括穿过没有地铁线路或人行道的固体岩石的路径。这些不切实际的路径是虚粒子环线产生的虚假贡献的类似物。它们最终会抵消掉，但在计算的中间阶段，我们需要跟踪所有这些路径。在幺正性方法中，我们只考虑有意义的路径。我们通过细分问题来计算一个人采取特定路线的概率：在旅程的每一步，一个人通过特定旋转栅门、一条路径或另一条路径的概率是多少？此过程大大减少了计算量。
费曼方法和幺正性方法之间的选择不是对与错的问题。两者都表达了相同的基本物理原理。两者最终都会得出相同的数值概率。但它们代表不同的描述级别。在混乱碰撞的数万个费曼图中，单个费曼图就像液滴中的单个分子。原则上，您可以通过跟踪所有单个分子来确定流体将做什么，但这仅对微观小液滴才有意义。这不仅繁琐，而且不明智。流体可能会顺着山坡倾泻而下，但您几乎不会从分子描述中知道这一点。您最好考虑更高层次的属性，例如流体速度、密度和压力。同样，物理学家可以从整体上考虑粒子碰撞，而不是将其视为由单个费曼图逐个构建而成。我们专注于控制整个过程的属性——幺正性，以及幺正性方法突出的特殊对称性。在特殊情况下，我们可以做出完美精确的理论预测，这在使用费曼的技术时需要无限多的图表和无限的时间。
优势甚至更进一步。在我们开发了用于虚粒子环线的幺正性方法之后，另一个团队，当时在新泽西州普林斯顿高级研究院——露丝·布里托、弗雷迪·卡查佐、冯波和爱德华·威滕——增加了一个互补的转折。他们再次考虑树图，并根据四个粒子的碰撞概率，然后是一个粒子分裂成两个粒子的概率，计算了涉及例如五个粒子的碰撞概率。这是一个令人震惊的结论，因为五粒子碰撞通常看起来与这两个连续碰撞非常不同。在许多方面，我们可以将令人生畏的粒子问题细分为更简单的部分。
砸碎手表
LHC 中的质子碰撞非常复杂。费曼本人曾经将它们比作通过将瑞士手表砸碎在一起来弄清楚它们是如何工作的，而他的技术难以追踪碰撞过程中发生的事情。质子不是基本粒子，而是由夸克和胶子组成的小球，它们通过强亚核力结合在一起。当它们猛烈撞击在一起时，夸克可以从夸克上反弹，夸克可以从胶子上反弹，胶子可以从胶子上反弹。夸克和胶子可以分裂成更多的夸克和胶子。它们最终聚集成复合粒子，这些复合粒子以物理学家称为射流的狭窄喷雾形式从对撞机中射出。
埋藏在混乱之中的可能是人类从未见过的东西：新粒子、新对称性，甚至可能是时空的新维度。但筛选它们将很困难。对于我们的仪器来说，奇异粒子看起来相当像普通粒子。差异很小且容易被遗漏。利用幺正性方法，我们可以非常精确地描述普通物理学，以至于非凡物理学将会脱颖而出。
例如，加州大学圣巴巴拉分校的乔·因坎德拉目前是 LHC 中 2000 多名物理学家组成的 CMS 实验的发言人，他向我们提出了一个关于他的团队寻找构成宇宙暗物质的奇异粒子的问题，宇宙暗物质是天文学家认为存在但物理学家尚未识别出的神秘物质。LHC 产生的任何此类粒子都将避开 CMS 探测器，给人留下一些能量丢失的印象。不幸的是，明显的能量损失本身并不意味着 LHC 已经合成了暗物质。例如，LHC 经常产生一种称为 Z 玻色子的普通粒子，并且五分之一的时间它会衰变成两个中微子，中微子也相互作用非常微弱，并且在没有记录的情况下逃逸探测器。人们如何预测其效应模仿暗粒子的标准模型粒子的数量？
因坎德拉小组提出了一个解决方案：取 CMS 探测器记录的光子数量，外推到涉及中微子的事件数量，看看它们是否完全解释了明显的能量损失。如果不是，则 LHC 可能正在产生暗物质。这个想法体现了实验物理学家总是不得不做的间接估计，因为他们缺乏直接观察某些类型粒子的能力。但为了实现这一目标，因坎德拉小组需要精确地知道光子数量与中微子数量之间的关系。除非精度足够高，否则后门策略将会失败。我们与几位同事一起，使用新的理论工具研究了这个问题，并能够向因坎德拉保证精度足够高。CMS 团队放心后，应用了其技术，并对暗物质粒子设置了严格的约束。我们的技术证明了它的价值。
这一成功激励我们推进更雄心勃勃的计算。正如现代粒子物理学中常见的那样，我们与世界各地的合作者合作，包括委内瑞拉卡拉加斯西蒙·玻利瓦尔大学的费尔南多·费布雷斯·科德罗、特拉维夫大学和加州大学洛杉矶分校的哈拉尔德·伊塔、英国杜伦大学的丹尼尔·梅特、SLAC 的斯特凡·霍赫和加州大学洛杉矶分校的凯末尔·奥泽伦。我们共同精确预测了 LHC 碰撞产生一对中微子和四个射流的概率。使用费曼图，即使是大型物理学家团队在最先进的计算机的帮助下努力工作十年，这些计算也过于庞大。幺正性方法让我们在不到一年的时间内完成了它们。令我们高兴的是，另一个 LHC 团队 ATLAS 合作组织已经将我们的预测与其数据进行了比较，到目前为止，结果非常吻合。展望未来，实验人员将使用这些结果来寻找新物理学。
幺正性方法也帮助了寻找长期以来一直寻求的希格斯粒子。希格斯粒子的一个迹象是产生一个电子、一对射流和一个中微子，中微子再次给人留下能量丢失的印象。相同的结果也可能来自不涉及希格斯粒子的粒子反应。我们首次使用幺正性方法之一是计算这些令人困惑的反应的精确概率。
回到引力
幺正性方法更令人印象深刻的用途是研究量子引力。为了让物理学家发展出完全一致的自然理论，我们必须找到一种将引力纳入量子力学框架的方法。如果引力的行为与其他自然力相似，那么它应该由引力子粒子传递。引力子会像其他粒子一样碰撞和散射，我们可以为它们绘制费曼图。然而，在 20 世纪 80 年代中期，尝试通过以最简单的方式量化爱因斯坦理论来描述引力子散射导致了荒谬的预测，例如应该明显有限的量的无限值。无限量本身并不是问题。即使在行为良好的理论（如标准模型）中，它们也可能在计算的中间阶段出现，但它们应该从任何可能可测量的量中抵消掉。对于引力，似乎没有出现这种抵消。具体而言，这意味着已故量子引力先驱约翰·惠勒称为“时空泡沫”的时空量子涨落失控。
一种可能的解释是自然界包含未被发现的粒子，这些粒子控制着这些量子效应。所谓的超引力理论体现了这一想法，在 20 世纪 70 年代和 80 年代早期对此进行了深入研究[参见丹尼尔·Z·弗里德曼和彼得·范·尼厄文赫伊曾的《超引力与物理定律的统一》；大众科学，1978 年 2 月]。但是，当间接论证表明，三个或更多虚粒子环线仍然会出现荒谬的无穷大时，这种兴奋感就消退了。超引力似乎注定要失败。
这种失望导致许多人追求弦理论。弦理论是对标准模型的彻底背离。根据弦理论，夸克、胶子和引力子等粒子不再是微小的点，而是一维弦的振荡。粒子相互作用分散在弦上，而不是集中在单个点上，从而自动防止了无穷大。另一方面，弦理论也遇到了自身的问题；例如，它没有对可观察到的现象做出明确的理论预测。
双重麻烦
在 20 世纪 90 年代中期，剑桥大学的斯蒂芬·霍金主张重新审视超引力理论。他指出，20 世纪 80 年代的研究采取了捷径，使其结论值得怀疑。但霍金未能说服任何人，因为人们采取这些捷径是有充分理由的：即使是最聪明的数学天才，也无法完成完整的计算。为了确定费曼图中包含三个虚引力子环线是否会产生无限量，我们需要评估 1020 项。到五个环线时，一个图表会产生 1030 项，大约是 LHC 探测器中每个原子的项数。这个问题似乎注定要被扔进无法解决的问题的垃圾箱。
幺正性方法彻底改变了这种情况。利用它，我们进行了一项物理学版本的“清白计划”，并重新审视了针对超引力理论的案例。费曼技术需要 1020 项才能完成的工作，我们现在只需几十项即可完成。我们与宾夕法尼亚州立大学的拉杜·罗伊班以及当时在加州大学洛杉矶分校的研究生约翰·约瑟夫·卡拉斯科和亨里克·约翰逊一起发现，20 世纪 80 年代的猜测是错误的。似乎注定要无穷大的量实际上是有限的。超引力不像物理学家想象的那么荒谬。具体而言，这意味着超引力中时空的量子涨落比以前想象的要良性得多。如果您用美酒款待我们，您可能会发现我们在推测它的某个版本可能是长期以来一直寻求的量子引力理论。
更值得注意的是，三个引力子的相互作用就像两个三相互作用胶子的副本。无论有多少粒子散射或有多少虚粒子环线参与，这种双重副本属性似乎都会持续存在。这意味着，比喻来说，引力是强亚核相互作用的平方。我们需要一段时间才能将数学转化为物理见解，并检查它在所有条件下是否都成立。目前的关键是引力可能与自然界的其他力没有那么大的不同。
正如科学中常见的那样，在每次辩论结束后，另一场辩论就会爆发。在我们完成三个环线的计算后，怀疑论者立即想知道麻烦是否会在四个环线处出现。正如经常发生的那样，葡萄酒被押注于计算结果：意大利巴罗洛葡萄酒对阵纳帕谷霞多丽葡萄酒。当我们进行计算时，我们没有发现任何困难的迹象，至少解决了这场辩论（并打开了一个巴罗洛葡萄酒瓶塞）。
超引力理论是否完全没有无穷大？或者它的高度对称性是否仅仅在少量环线处抑制了它的一些过度之处？在后一种情况下，麻烦应该在五个环线处潜入；到七个环线时，量子效应应该增长到足以产生无穷大。加州大学圣巴巴拉分校的大卫·格罗斯打赌了一瓶加州仙粉黛葡萄酒，如果七环线没有出现无穷大。为了解决这最新的赌注，我们中的一些人已经开始了新的计算。如果七环线没有无穷大，将会让怀疑论者感到震惊，并可能最终说服他们超引力可能是自洽的。即使如此，该理论也没有捕捉到其他类型的效应，称为非微扰效应，这些效应太小，以至于在我们一直遵循的逐环方法中看不到。这些效应可能仍然需要更深入的理论来处理，也许是弦理论。
物理学家通常喜欢将新理论视为从新原理的大胆笔触中涌现出来的——相对论、量子力学、对称性。但有时这些理论是从对我们已经知道的原理的仔细重新审视中涌现出来的。我们对粒子碰撞理解的悄然革命使我们能够非常详细地研究标准模型的推论，从而显着提高了我们发现超越它的物理学的潜力。更令人惊讶的是，它让我们遵循了旧物理学中未被探索的含义，包括曾经被忽视的将引力与其他已知力统一起来的道路。在许多方面，理解基本粒子如何散射的秘密之旅根本不像乘坐可预测的伦敦地铁，而更像是乘坐哈利·波特故事中的骑士公共汽车之旅，你永远不知道接下来会发生什么。
本文以“环线、树和寻找新物理学”为标题印刷出版。