2011年9月一个凉爽的星期五晚上，在伊利诺伊州橡树公园的朱迪思·L·巴克斯特和她的丈夫，数学家斯蒂芬·D·史密斯的家中，看似无穷无尽的食物铺满了数张桌子。开胃小吃、自制肉丸、奶酪拼盘和烤虾串挤满了糕点、肉酱、橄榄、莳萝鲑鱼和茄子包裹的菲达奶酪。甜点选择包括——但不限于——柠檬马斯卡彭蛋糕和非洲南瓜蛋糕。夕阳西下，香槟 flowing，大约60位客人，其中一半是数学家，他们吃着、喝着、又吃了一些。
丰盛的食物与庆祝一项巨大成就的派对非常相称。晚宴上的四位数学家——史密斯、迈克尔·阿施巴赫、理查德·莱昂斯和罗纳德·所罗门——刚刚出版了一本书，这本书历时180多年完成，概述了数学史上最大的分类问题。
他们的专著没有登上任何畅销书排行榜，这是可以理解的，因为它的标题是：《有限单群分类》。但对于代数学家来说，这本350页的巨著是一个里程碑。它是普遍分类的简短版本，即速成课程。完整的证明达到了约15000页——有些人说更接近10000页——散布在100多位作者的数百篇期刊文章中。它所支持的论断被称为“庞大定理”（Enormous Theorem），这是恰如其分的。（定理本身非常简单。变得巨大的是证明。）史密斯家中的丰盛食物似乎是庆祝这个庞然大物的合适方式。这个证明是数学史上最大的。
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而现在它正处于危险之中。2011年的著作仅勾勒出了证明的轮廓。实际文档的无与伦比的重量使其处于人类难以管理的边缘。“我不认为有人读过所有内容，”66岁的所罗门说，他一生都在研究这个证明。（他两年前从俄亥俄州立大学退休。）所罗门和在派对上受到表彰的其他三位数学家可能是今天唯一理解该证明的人，他们的年龄增长让每个人都感到担忧。史密斯67岁，阿施巴赫71岁，莱昂斯70岁。“我们都老了，我们希望在为时已晚之前把这些想法记录下来，”史密斯说。“我们可能会死，或者我们可能会退休，或者我们可能会忘记。”
这种损失将是，嗯，巨大的。简而言之，这项工作为群论带来了秩序，群论是对称性的数学研究。反过来，对称性的研究对于现代粒子物理学等科学领域至关重要。标准模型——奠定所有已知存在和尚未发现的粒子的基石理论——依赖于群论提供的对称性工具。关于最小尺度对称性的重要思想帮助物理学家们计算出用于实验的方程式，这些实验将揭示奇异的基本粒子，例如构成更常见的质子和中子的夸克。
群论也引导物理学家们得出了一个令人不安的想法，即质量本身——物体中的物质含量，例如这本杂志、你、你可以握住和看到的一切——是由于对称性在某种基本层面上被打破而形成的。此外，这个想法为近年来最受瞩目的粒子——希格斯玻色子的发现指明了方向，只有当对称性在量子尺度上失效时，希格斯玻色子才可能存在。希格斯玻色子的概念在1960年代从群论中弹出，但直到2012年才在日内瓦附近的欧洲核子研究中心的大型强子对撞机进行的实验之后才被发现。
对称性是指某物可以经历一系列变换——旋转、折叠、反射、穿越时间——并且在所有这些变化结束时，看起来仍然不变的概念。它潜伏在宇宙的各个角落，从夸克的配置到宇宙中星系的排列。
“庞大定理”用数学精度证明，任何类型的对称性都可以分解并根据共同特征归为四个家族之一。对于致力于严格研究对称性或群论学家的数学家来说，该定理的成就丝毫不逊色于化学家的元素周期表的广泛性、重要性和基础性。未来，它可能引导人们对宇宙的结构和现实的本质做出其他深刻的发现。
当然，除了它是一团糟：证明的方程式、推论和猜想被抛掷在500多篇期刊文章中，有些埋藏在厚厚的卷册中，充满了希腊语、拉丁语和其他字符的混合物，这些字符用于数学的密集语言。此外，每个贡献者都以他或她自己独特的风格写作，这更增加了混乱。
这种混乱是一个问题，因为如果没有证明的每一部分都到位，整体就会摇摇欲坠。为了比较，想象一下吉萨大金字塔的200多万块石头随意地散落在撒哈拉沙漠中，只有少数人知道它们是如何组合在一起的。如果没有一个可访问的“庞大定理”证明，未来的数学家将面临两个危险的选择：要么简单地信任证明，而不太了解它是如何工作的，要么重新发明轮子。（没有数学家会安心地选择第一个选项，而第二个选项几乎是不可能的。）
史密斯、所罗门、阿施巴赫和莱昂斯在2011年提出的纲要是使定理对下一代数学家可访问的雄心勃勃的生存计划的一部分。“在某种程度上，现在大多数人将该定理视为一个黑匣子，”所罗门感叹道。该计划的大部分内容呼吁简化证明，将定理的所有不同部分结合在一起。该计划在30多年前构思出来，现在只完成了一半。
如果一个定理很重要，那么它的证明就更加重要。证明确立了定理的诚实可靠性，并允许一位数学家说服另一位数学家——即使他们相隔大陆或数世纪——一个陈述的真实性。然后，这些陈述孕育出新的猜想和证明，使得数学的协作核心可以追溯到数千年。
英国华威大学的茵娜·卡普德博斯科是少数几位深入研究该定理的年轻研究人员之一。44岁的她，说话轻声细语，充满自信，当她描述真正理解“庞大定理”如何运作的重要性时，她容光焕发。“什么是分类？给你一个列表意味着什么？”她沉思道。“我们知道这个列表上的每个对象是什么吗？否则，它只是一堆符号。”
现实最深处的秘密
数学家们最早在19世纪90年代就开始梦想着证明，当时一个名为群论的新领域兴起。在数学中，“群”一词指的是一组通过某种数学运算相互连接的对象。如果您将该运算应用于群的任何成员，结果是另一个成员。
对称性或不改变物体外观的运动符合这个条件。例如，假设您有一个立方体，每个面都涂上了相同的颜色。将立方体旋转90度——或180度或270度——立方体看起来会和您开始时完全一样。将其从上到下翻转，它看起来仍然不变。离开房间，让一位朋友旋转或翻转立方体——或执行一些旋转和翻转的组合——当您返回时，您将不知道他或她做了什么。总而言之，有24种不同的旋转可以使立方体看起来不变。这24个旋转构成一个有限群。
有限单群类似于原子。它们是其他更大事物的基本构建单元。有限单群组合起来形成更大、更复杂的有限群。“庞大定理”组织这些群的方式类似于元素周期表组织元素的方式。它表示，每个有限单群都属于三个家族之一——或者属于第四个家族的狂野离群值。这些离群值中最大的一个，被称为“怪物”（Monster），拥有超过1053个元素，存在于196,883维度中。*（甚至有一个被称为“怪物学”（monsterology）的整个研究领域，研究人员在数学和科学的其他领域寻找这种怪兽的迹象。）第一个有限单群在1830年被确定，到19世纪90年代，数学家们在新发现这些构建块方面取得了新的进展。理论家们也开始怀疑这些群可以全部放在一个大列表中。
20世纪初的数学家为“庞大定理”奠定了基础，但证明的核心内容直到本世纪中叶才出现。在1950年至1980年之间——罗格斯大学的数学家丹尼尔·戈伦斯坦称之为“三十年战争”的时期——重量级人物将群论领域推向了前所未有的高度，发现了有限单群并将它们归类到家族中。这些数学家挥舞着200页的手稿，就像代数弯刀一样，砍掉抽象的杂草，揭示对称性最深的基础。（普林斯顿高等研究院的弗里曼·戴森将奇异而美丽的群的涌现发现称为“壮丽的动物园”。）
那是令人兴奋的时代：理查德·福特，当时是剑桥大学的研究生，现在是佛蒙特大学的教授，他曾经坐在一个阴暗的办公室里，亲眼目睹了两位著名的理论家——约翰·汤普森，现在在佛罗里达大学，和约翰·康威，现在在普林斯顿大学——讨论一个特别难处理的群的细节。“这太神奇了，就像两个泰坦之间闪烁着闪电，”福特说。“对于做某事，他们似乎从来没有缺乏一些绝对精彩且完全出乎意料的技术。这令人叹为观止。”
正是在这些十年中，证明的两个最大里程碑发生了。1963年，数学家沃尔特·费特和约翰·汤普森提出的一个定理为寻找更多有限单群奠定了基础。在那次突破之后，1972年，戈伦斯坦制定了一个16步计划，用于证明“庞大定理”——这个项目将一劳永逸地将所有有限单群安排到位。它涉及将所有已知的有限单群汇集在一起，找到缺失的群，将所有部分放入适当的类别，并证明不可能有其他群。这是一个庞大、雄心勃勃、难以驾驭，并且有些人说是不切实际的项目。
计划的制定者
然而，戈伦斯坦是一位有魅力的代数学家，他的愿景激励了一群新的数学家——他们的野心既不简单也不有限——他们渴望留下自己的印记。“他是一个比生命更伟大的人物，”在罗格斯大学的莱昂斯说。“他在构思问题和构思解决方案的方式上非常有侵略性。他非常有说服力，可以说服其他人帮助他。”
所罗门将他对群论的第一次接触描述为“一见钟情”，他在1970年遇到了戈伦斯坦。国家科学基金会在鲍登学院举办了一个关于群论的暑期学院，每周都会邀请数学名人到校园做讲座。当时还是研究生的所罗门生动地回忆起戈伦斯坦的访问。这位数学名人刚刚从他在玛莎葡萄园岛的避暑别墅抵达，无论是在外表上还是在信息上都令人振奋。
“我以前从未见过穿粉红色热裤的数学家，”所罗门回忆道。
所罗门说，在1972年，大多数数学家认为证明在本世纪末不会完成。但在四年之内，终点就指日可待了。戈伦斯坦主要将证明的完成归功于加州理工学院教授阿施巴赫的启发性方法和狂热的步伐。
证明如此巨大的一个原因是，它规定其有限单群列表是完整的。这意味着该列表包括每个构建块，并且没有更多。通常，证明某物不存在——例如证明不可能有更多的群——比证明它存在更费力。
1981年，戈伦斯坦宣布第一个版本的证明完成，但他的庆祝为时过早。一个特别棘手的800页的章节出现了一个问题，经过一番争论才成功解决。数学家偶尔声称发现了证明中的其他缺陷，或者发现了违反规则的新群。迄今为止，这些说法未能推翻该证明，所罗门说他相当确信该证明将会成立。
戈伦斯坦很快就看到了该定理的文档，它已经变成了一个庞大而混乱的纠结。它是随意演变的产物。因此，他说服了莱昂斯——并在1982年两人伏击了所罗门——帮助进行修订，一个更易于访问和更有条理的演示，这将成为所谓的第二代证明。莱昂斯说，他们的目标是阐明其逻辑，并防止后代不得不重新发明论点。此外，这项努力还将把证明的15000页缩减到仅仅3000或4000页。
戈伦斯坦设想了一系列书籍，这些书籍将整齐地收集所有不同的部分，并简化逻辑，以消除特殊性和消除冗余。在1980年代，除了经验丰富的证明锻造老手之外，其他人无法访问该证明。毕竟，数学家们为此努力了几十年，并希望能够与后代分享他们的工作。第二代证明将为戈伦斯坦提供一种方式来减轻他对他们的努力将迷失在布满灰尘的图书馆里的厚重书籍中的担忧。
戈伦斯坦没有活到看到最后一块拼图就位，更不用说在史密斯和巴克斯特的房子里举杯庆祝了。他于1992年在玛莎葡萄园岛死于肺癌。“他从不停歇地工作，”莱昂斯回忆道。“在他去世的前一天，我们进行了三次关于证明的对话。没有告别或任何事情；一切都是公事公办。”
再次证明
第二代证明的第一卷于1994年出版。它比标准的数学课本更具解释性，并且仅包括30个拟议章节中的两个，这两个章节可以完全跨越“庞大定理”。第二卷于1996年出版，随后的卷册一直持续到今天——第六卷于2005年出版。
福特说，第二代的部分比最初的部分更好地组合在一起。“已经出现的部分写得更连贯，组织得更好，”他说。“从历史的角度来看，将证明放在一个地方很重要。否则，它在某种意义上会变成民间传说。即使你相信它已经完成了，也变得不可能检查。”
所罗门和莱昂斯今年夏天正在完成第七本书，一小群数学家已经开始研究第八本和第九本。所罗门估计，简化的证明最终将占据10或11卷，这意味着修订后的证明刚刚出版了一半以上。
所罗门指出，即使是10或11卷仍然不会完全涵盖第二代证明。即使是新的简化版本也包括对补充卷和先前在其他地方证明的定理的引用。在某些方面，这种延伸说明了数学的累积性质：每个证明不仅是其时代的产物，而且是之前数千年的思想的产物。
在2005年发表在《美国数学会通告》上的一篇文章中，伦敦国王学院的数学家E·布莱恩·戴维斯指出，“证明从未被完整地写下来，可能永远不会被写下来，并且按照目前的设想，任何个人都无法理解。”他的文章提出了一个令人不安的想法，即某些数学努力可能过于复杂，以至于凡人无法理解。戴维斯的话促使史密斯和他的三位合著者编写了相对简洁的书籍，并在橡树公园的派对上庆祝了这本书。
“庞大定理”的证明可能超出了大多数数学家的范围——更不用说好奇的业余爱好者了——但其组织原则为未来提供了宝贵的工具。数学家们有一个长期的习惯，即在抽象真理在数学领域之外变得有用之前几十年，甚至几个世纪就对其进行证明。
“使未来令人兴奋的一件事是难以预测，”所罗门观察到。“天才们带着我们这一代人从未有过的想法出现。有一种诱惑，这种愿望和梦想，即仍然存在一些更深层次的理解。”
下一代
这几十年的深入思考不仅推动了证明向前发展；它们还建立了一个社区。朱迪思·巴克斯特——她曾接受过数学家培训——说群论学家形成了一个异常社交的群体。“群论中的人通常是终生的朋友，”她观察到。“你在会议上看到他们，和他们一起旅行，和他们一起参加派对，这真是一个美好的社区。”
毫不奇怪，这些经历过完成第一个迭代证明的兴奋的数学家们渴望保留其思想。因此，所罗门和莱昂斯招募了其他数学家来帮助他们完成新版本并为未来保留它。这并不容易：许多年轻的数学家将证明视为已经完成的事情，他们渴望一些不同的东西。
此外，重写一个已经建立的证明需要一种对群论的鲁莽热情。所罗门在卡普德博斯科身上找到了一个熟悉的该领域的热衷者，她是少数几位为完成第二代证明而努力的年轻数学家之一。她在上了所罗门的课后爱上了群论。
“令我惊讶的是，我记得阅读和做练习，并认为我喜欢它。它很美，”卡普德博斯科说。在所罗门请她帮忙弄清楚一些最终将成为第六卷一部分的缺失部分后，她“迷上”了研究第二代证明。她说，简化证明可以让数学家们寻找更直接的方法来解决难题。
卡普德博斯科将这项努力比作改进粗略草稿。戈伦斯坦、莱昂斯和所罗门制定了计划，但她说，她的工作以及其他一些年轻人的工作是看到所有部分都各就各位：“我们有路线图，如果我们遵循它，最终证明应该会水到渠成。”
庞大的四个家族
对称性可以分解为基本部分。被称为有限单群，它们像元素一样发挥作用，以不同的组合结合在一起形成更大、更复杂的对称性。
“庞大定理”将这些群组织成四个家族。虽然它的证明是巨大的，但定理本身只是一句话，列出了所有四个家族：“每个有限单群都是素数阶循环群、交错群、李型有限单群或二十六个散在有限单群之一。”
以下是这些家族的简要概述
循环群 是最早被分类的构建块之一。将正五边形旋转圆的五分之一，即72度，它看起来仍然不变。旋转五次，您就回到了起点。循环群会重复自身。循环有限单群各自具有素数个成员。具有超过两个偶数个成员的循环群可以进一步分解，因此它们不是单群。
交错群 来自交换集合的成员。一个完整的对称群包含所有排列或交换。但是，交错群仅包含它们的一半——具有偶数个交换的那些。例如，假设您有一组三个数字：1、2和3。有六种不同的方法来写这组数字：（1、2、3）、（1、3、2）、（2、1、3）、（2、3、1）、（3、1、2）和（3、2、1）。交错群包含其中三个。就对称性而言，这些排列中的每一个可能对应于一系列对称性（即，将立方体向上转动，然后侧放，依此类推）。
李型群，以19世纪数学家索富斯·李的名字命名，开始变得更加复杂。它们与称为无限李群的事物有关。无限群包括空间本身的旋转，这些旋转不会改变体积。例如，有无数种旋转甜甜圈的方法，而不会改变甜甜圈本身。这些无限群的有限类似物是李型群——换句话说，李型群中的甜甜圈只允许有限次数的旋转。大多数有限单群都属于这个家族。无限李群和李型群都不限于我们平庸的三维空间。准备好讨论在15维空间中出现的对称性了吗？那就看看这些群吧。
散在群 构成了离群值的家族。它们包括26个不整齐地排列在其他家族中的离群值。（想象一下，如果元素周期表有一列“不良分子”。）这些散在群中最大的一个，被称为“怪物”，拥有超过1053个元素，并且可以在196,883维度中忠实地表示。*它是令人困惑和怪异的，没有人真正知道它意味着什么，但思考它却令人神往。“我怀有一种偷偷的希望，一种没有任何事实或任何证据支持的希望，”物理学家弗里曼·戴森在1983年写道，“在二十一世纪的某个时候，物理学家将偶然发现怪物群，以某种意想不到的方式构建到宇宙的结构中。”——S. O.
*编者注（2015年6月19日）：由于格式错误，描述被称为“怪物”的有限单群中元素数量的数字1053，最初在本故事的在线版本中显示为1053。