编者注：这篇文章最初发表于2004年3月刊，现重新发布，以突出诺贝尔奖获得者在《大众科学》上发表文章的悠久历史。
大多数美国和法国公民——实际上，是全世界民主国家的公民——很少花时间思考他们的投票制度。这种关注通常留给政治和选举分析家。但在过去几年中，这两个国家的大部分人口都感到非常困惑。法国人民想知道，一位完全脱离政治主流的政治家是如何在2002年总统选举中进入最后两名候选人决选的。在美国，许多选民质疑为什么最受欢迎的候选人在2000年选举中落败。
我们将把关于悬而未决的选票、蝴蝶选票、选举团和美国最高法院的讨论留给政治评论员。但基于我们自己和同事的研究，我们可以解决一个更根本的问题：哪些类型的制度，无论是选举国家领导人还是学生会主席，最能真正代表选民的意愿？我们认为，一种特定的制度在这方面将是最好的——而且在美国、法国和无数其他国家实施起来将是简单而实用的。
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排名的重要性
在大多数国家的总统选举制度中，选民只选择自己最喜欢的候选人，而不是对所有候选人进行排名。如果只有两名候选人竞争，这种限制没有区别。但是，如果有三名或更多候选人，这可能会非常重要。2002年法国总统选举就是一个例子。在第一轮投票中，选民可以投票给九名候选人中的一位，其中最 prominent 的是高卢党的现任总统雅克·希拉克、社会党领导人利昂内尔·若斯潘和国民阵线候选人让-玛丽·勒庞。规则规定，如果没有候选人获得绝对多数票，得票最多的两名候选人将进入决选。希拉克名列第一（获得19.9%的选票）。然而，真正的意外在于第二名：极右翼分子勒庞位居第二（获得16.9%的选票），而与希拉克一起被普遍看好进入决选的若斯潘则位居第三（获得16.2%的选票）。在第二轮投票中，希拉克轻松击败勒庞。
尽管若斯潘排名第三，但大多数现有证据表明，在一对一的对抗中，他本可以轻松击败勒庞。甚至有可能，如果他进入第二轮，他本可以击败希拉克。然而，由于法国选举制度只允许选民提交他们的首选，因此无法考虑到如此重要的信息。此外，它还允许像勒庞这样的极端候选人——这些候选人实际上没有获胜的机会——对结果产生显著影响。
2000年美国总统大选也暴露了类似的缺陷。为了最清楚地说明这一点，我们将假设选举程序比实际情况更简单。我们将只考虑四位主要候选人，并且我们将假设普选票和选举团票之间没有区别。（人们对选举团有很多抱怨，但即使它被普选票取代，严重的问题仍然存在。）我们还将假设只有四种选民：那些宁愿选择拉尔夫·纳德而不是阿尔·戈尔，戈尔而不是乔治·W·布什，布什而不是帕特·布坎南（“纳德”选民）；那些排名为戈尔、布什、纳德、布坎南（“戈尔”选民）；那些排名为布什、布坎南、戈尔、纳德（“布什”选民）；以及那些排名为布坎南、布什、戈尔、纳德（“布坎南”选民）。具体来说，假设2%的选民是纳德选民，49%是戈尔选民，48%是布什选民，1%是布坎南选民。如果选民每人选择一位候选人，戈尔将获得49%，布什将获得48%的总票数（实际百分比分别为48.4%和47.9%）。鉴于没有候选人获得多数票（即超过50%），应如何确定获胜者？戈尔获得多数票（票数最多，但不足50%），因此也许他应该获胜。
另一方面，《美国宪法》规定，在没有获得多数选举人票的情况下，应由众议院决定获胜者。在2000年共和党占多数的情况下，众议院大概会支持布什。显然，让美国选民仅提名他们最喜欢的候选人并不能产生明显正确的结果。与法国选举一样，这种歧义可以通过让选民提交完整排名来解决。即使戈尔只占选民的49%，排名也表明，明显的多数——戈尔和纳德选民加起来占51%——更喜欢戈尔而不是布什或布坎南。因此，根据一种称为真正多数规则（或简单多数规则）的选举制度，戈尔是获胜者，在该制度中，选民提交所有候选人的排名，获胜者是在基于这些排名的正面交锋竞争中击败每个对手的人。
排名也可以用于其他选举制度。例如，考虑“等级顺序投票”——一种经常用于选举委员会官员的程序，并且已被提议用来解决美国和法国总统选举制度中固有的问题。如果有四名候选人竞选，每位选民将四分分配给他或她最喜欢的候选人，三分分配给第二喜欢的候选人，两分分配给第三喜欢的候选人，一分分配给最不喜欢的候选人。获胜者是总分最高的候选人。该方法似乎是由18世纪法国工程师让-查尔斯·博尔达发明的，有时被称为博尔达计数法。想象一下，美国选举中有1亿人投票。根据我们之前的假设，我们知道其中4900万人会将戈尔排在第一位。因此，戈尔将获得1.96亿分——即4900万乘以4分——来自戈尔选民。纳德选民将他排在第二位，因此他从他们那里获得600万分。最后，布什和布坎南选民将他排在第三位，额外获得9800万分。他的总分是3亿分。如果我们对其他人进行相应的计算，我们会发现纳德获得1.55亿分，布坎南获得1.99亿分。引人注目的是，布什获得3.46亿分，即使大多数选民更喜欢戈尔。只有2%的选民将布什的排名低于第二名，这足以让他通过等级顺序投票当选。
因此，真正的多数规则和等级顺序投票导致的结果截然不同。考虑到这种鲜明的对比，可能很难说哪种方法更擅长捕捉选民观点的本质。但我们建议这样做。我们可以根据一些任何选举方法都应满足的基本原则来评估这两种制度——以及任何其他制度。斯坦福大学的肯尼斯·J·阿罗在1951年的一部专著中提出了这种投票理论的公理化方法，这部著作深刻地塑造了投票文献。
大多数投票分析师都会同意，任何好的选举方法都应该满足几个公理。其中之一是共识原则，通常以意大利社会学家维尔弗雷多·帕累托的名字命名为帕累托原则。它指出，如果每个人都同意候选人A比B更好，那么B就不会当选。然而，这个公理无助于区分真正的多数规则和等级顺序投票，因为这两种方法都满足它——也就是说，两者最终都会让B失败。此外，该原则并不经常适用：在我们的美国选举例子中，没有任何一位候选人比另一位更受一致偏好。
另一个重要的公理认为，所有选民都应受到平等对待——“一人一票”或平等对待原则。投票理论家称其为匿名性原则：你是谁不应决定你对选举的影响。真正的多数规则和等级顺序投票也都满足匿名性。
然而，第三个标准确实区分了两者。中立性，顾名思义，这个公理有两个组成部分。第一个是对称性，这意味着选举规则不应偏袒一位候选人而不是另一位候选人。第二个要求是，选民在候选人A和B之间的选择不应取决于他们对第三位候选人C的看法。在我们的美国例子中，如果布什选民的排名变为布什、戈尔、布坎南、纳德（而不是布什、布坎南、戈尔、纳德），会发生什么？从真正多数规则的角度来看，没有什么重要的变化：多数人仍然更喜欢戈尔而不是布什。但是看看等级顺序投票下会发生什么：戈尔现在获得3.48亿分，而布什的总分仍然是3.46亿分。现在戈尔获胜而不是布什。
显然，等级顺序投票可能会违反中立性。选民对戈尔和布坎南（一位没有当选机会的候选人）之间的偏好，决定了布什和戈尔之间的选择——以及选举结果。相比之下，真正的多数规则始终满足中立性。最后这个断言可能会让那些记得在实际选举中，关于投票给纳德是否会影响布什和戈尔之间的竞争的讨论比比皆是的读者感到困惑。事实上，事后看来，纳德——或许在佛罗里达州臭名昭著的蝴蝶选票甚至布坎南的帮助下——可能已经吸走了足够的戈尔选票，从而将选举结果倾斜向布什。但这种影响之所以可能，仅仅是因为美国选举制度实际上不是真正的多数规则，而是其独特的制度。
多数规则与法国选举 让我们看看2002年法国选举在真正的多数规则下会发生什么——为了简单起见，我们将在下文中将其称为多数规则。想象一下，希拉克、若斯潘和勒庞是唯一的候选人，选民分为三组。第一组中的每个人，占选民的30%，排名为若斯潘、希拉克、勒庞。在第二组中，占选民的36%，排名为希拉克、若斯潘、勒庞。在剩下的34%中，选民将勒庞排在若斯潘之前，若斯潘排在希拉克之前。希拉克和勒庞——分别获得36%和34%的选票——将进入决选，希拉克将在决选中轻松获胜，因为66%的选民更喜欢他而不是勒庞。
在另一种称为即时决选投票（IRV）的制度下，也会产生相同的结果，IRV在爱尔兰和澳大利亚实行，并且像等级顺序投票一样，已被倡导作为法国和美国制度的替代方案。在IRV中，简而言之，选举官员使用排名来依次淘汰排名最低的候选人（并将他们的百分比纳入选民的下一个排名选择），直到只剩下两名候选人。
但法国和IRV制度与多数规则相冲突。如果你检查选民排名的配置，你会发现若斯潘实际上拥有巨大的多数：64%的选民更喜欢他而不是希拉克，66%的选民更喜欢他而不是勒庞。多数规则规定若斯潘应该以压倒性优势获胜。
回想一下，在多数规则下，选民可以发表政治声明，而不会损害任何有当选机会的候选人的机会。一个更喜欢若斯潘而不是希拉克，并且知道勒庞没有获胜机会，但希望将他排在第一位以示抗议的人，可以这样做，而不用担心将若斯潘淘汰出局。（当然，除非在极不可能发生的情况下，大多数其他选民也做出同样的姿态。）关于更喜欢戈尔而不是布什，但希望象征性地支持纳德的选民，也可以提出类似的观点。然而，尽管有这些优点，多数规则还是有一个缺陷。它可能违反另一个广为接受的投票原则：传递性。传递性要求，如果候选人A被选为优于B，并且B被选为优于C，那么A应该被选为优于C。现在，忽略布坎南，假设35%的选民更喜欢戈尔优于布什优于纳德，33%的人将布什排名高于纳德高于戈尔，32%的人选择纳德高于戈尔高于布什。67%的选民将戈尔排名高于布什，68%的人将布什排名高于纳德，65%的人将纳德排名高于戈尔。换句话说，无论选择哪位候选人，至少有65%的选民更喜欢其他人！在这种情况下，多数规则不会产生获胜者。
这种可能性，称为孔多塞悖论，是18世纪后期由玛丽-让-安托万-尼古拉·德卡里塔，即孔多塞侯爵，博尔达的同事和主要批评者发现的。这三种排名——戈尔优于布什优于纳德、布什优于纳德优于戈尔和纳德优于戈尔优于布什——统称为孔多塞循环。我们对多数规则和等级顺序投票的比较似乎导致了僵局：多数规则满足我们列表中的每一个原则，除了传递性，而等级顺序投票满足所有原则，除了中立性。这个难题导致我们考虑是否存在其他选举制度可以满足所有原则。阿罗著名的不可能定理说没有。它认为，任何选举方法有时都必须违反至少一项原则[参见道格拉斯·H·布莱尔和罗伯特·A·波拉克撰写的“理性集体选择”；《大众科学》，1983年8月]。
超越不可能 但阿罗定理过于消极。它要求选举方法必须满足给定的公理，无论选民的排名结果如何。然而，有些排名非常不可能。特别是，孔多塞悖论——多数规则的克星——在实践中可能并不总是一个严重的问题。毕竟，选民的排名不是凭空产生的。它们通常源于意识形态。
为了了解意识形态对多数规则的影响，请考虑每位候选人在从政治左翼到右翼的谱系中的位置。如果我们从左向右移动，我们大概会按纳德、戈尔、布什、布坎南的顺序遇到2000年总统候选人。如果意识形态驱动选民的观点，那么任何将纳德排名高于戈尔的选民都可能将戈尔排名高于布什，布什排名高于布坎南。同样，任何将布什排名高于戈尔的选民都可以预期将戈尔排名高于纳德。我们不会期望找到排名为布什、纳德、戈尔、布坎南的选民。
在20世纪40年代发表的一篇开创性论文中，北威尔士大学学院已故的邓肯·布莱克表明，如果选民的排名以上述方式受到意识形态驱动——或者至少非意识形态选民不太多的情况下——多数规则将满足传递性。这一发现使政治学领域的大量工作成为可能，因为通过假设选民对候选人的意识形态排名，研究人员可以绕过孔多塞悖论，并对多数规则的结果做出明确的预测。
当然，选民可能并不总是符合如此整洁的左右谱系。但其他情况也确保了传递性。再举一个例子，再次看看法国选举。尽管希拉克和若斯潘领导着两个主要政党，但公平地说，他们并没有激发太多热情。正是极端候选人勒庞激起了人们的反感或热情：证据表明，绝大多数选民将他在三位主要候选人中排名第三或第一；很少有人将他排名第二。人们可以争论这种两极分化对法国是好是坏。但这无疑对多数规则有利。如果选民都同意三位候选人中的一位没有排名第二，则传递性得到保证。这个特性，称为价值限制，是哈佛大学的阿马蒂亚·森于1966年提出的。
在我们关于投票的研究中，我们说，如果投票制度在特定类别的排名中有效，则当所有选民的排名都属于该类别时，它就满足这四个公理。例如，当所有排名都受意识形态驱动时，多数规则就有效。当所有排名都“价值受限”时，它也有效。事实上，我们发现，每当任何投票制度有效时，多数规则也有效。此外，多数规则在某些其他制度无效的情况下也有效。我们称之为多数支配定理。为了说明这一点，我们将想象戈尔、布什和纳德之间的三方竞争。假设每位选民实际上都将候选人排名为戈尔、布什、纳德或布什、戈尔、纳德。
当选民的排名属于这个双元素类别时，等级顺序投票满足了它的克星：中立性原则（因为选民对纳德的看法不会影响布什或戈尔是否赢得等级顺序选举）。然而，多数规则在这里也有效，因为它满足了它的克星，传递性。但是，如果情况变得稍微复杂一些，等级顺序投票就不再有效。如果我们添加第三个排名——戈尔、纳德、布什——多数规则仍然是传递性的。这三个排名在一起并不构成孔多塞循环。然而，等级顺序投票不再满足中立性。假设51%的人将布什排名高于戈尔高于纳德。如果剩下的49%的人将戈尔排名高于纳德高于布什，戈尔将获胜。然而，如果其余的人排名为戈尔、布什、纳德，那么布什将获胜——即使这49%的人在任何一种情况下对戈尔和布什的排名都相同。
多数规则有时仍然不能很好地工作，正如孔多塞悖论所表明的那样，尽管不如其他投票规则那么频繁。在这些情况下，必须对其进行修改以确定获胜者。有很多方法可以做到这一点。也许最简单的修改如下：如果没有人获得对所有对手的多数票，那么在那些在正面交锋比较中击败对手最多的候选人中，选择等级顺序得分最高的人作为获胜者。
改进未来的选举
大多数国家选拔总统的方式是有缺陷的。2000年美国和2002年法国总统选举都受到了——也许是决定性地——没有实际获胜机会的候选人的影响。这些候选人之所以能够施加影响，是因为在每种情况下，只计算选民排名最高的候选人。
我们认为，当出现两个以上的选择时，选民应该提交候选人排名，并且我们所讨论的多数规则应该决定获胜者。这种方法不会是完美的；没有完美的方法。但正如多数支配定理所表明的那样，与其他任何制度相比，它将更接近于准确地代表选民的意愿。
这篇文章最初以“最公平的投票”为标题发表