想象一下，您正在为六位客人举办一个小聚会，但不清楚谁认识谁，谁不认识谁。 事实证明，必然至少有三个人彼此完全陌生，或者至少有三个人已经是朋友。（我们并非假设您的朋友不喜欢彼此。）因此，总是会至少有一组三个人，他们彼此都认识或完全不认识。
乍一看，这听起来可能并不太令人惊讶，但您越思考这个问题，它就越有趣。 六个人彼此之间有 15 个联系。 因此，您可能会问，A 如何与 B 相关？ A 如何与 C 相关？ B 认识 C 吗？ 这些联系可以有两个值之一：朋友或陌生人。 这意味着，仅有六位客人，就已经有 215 (32,768) 种不同的方式让聚会参与者彼此联系。 而数学主张，在每一种可能的分组中，总是有一个三人组，其中所有人都彼此认识，或者都是完全的陌生人。 逐个案例地查找三人组似乎相当麻烦。
事实上，弄清楚这一点属于拉姆齐理论的范畴，该理论以英国数学家弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey，1903-1930）的名字命名，他于 26 岁时不幸英年早逝。 然而，在他短暂的一生中，他成功地发展了一个数学分支，该分支处理识别混乱中的某种秩序。 其目的是在令人困惑的排列中识别重复出现的模式，就像我们聚会参与者的情况一样。 可以从数学的角度提出问题：您必须邀请多少位客人，才能至少有一组三个人彼此都认识，或者至少有一组三个人完全陌生？
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整个事情可以用图形或图表来解决，这些图形或图表是点（也称为节点）和边（连接点的线）的网络。 每个人都象征着一个节点。 六位客人可以围成一个圆圈排列。 现在每个点都已连接。 这就产生了 15 条边。 根据两个人是否彼此认识，它们被涂成红色（表示熟人）或蓝色（表示陌生人）。 现在声明：无论您如何为边着色，您总是会得到一个单色三角形——一个全蓝色或全红色的图形。
现在拉姆齐理论提出的附加声明：对于刚才提到的六位客人，无论您如何为边着色，您总是会得到至少一个单色三角形——一个全蓝色或全红色的图形。 如果您尝试一下，您会看到这样的三角形总是会出现。
当然，没有人愿意浏览 32,768 种可能性。 这样做也不会回答拉姆齐提出的一个问题，即六是否是不可避免地形成这样一个三角形的最小客人人数。 您可以尝试通过更改邀请人数来解决这个问题。 如果您找到以某种方式着色的三角形，使得根本没有出现单色三角形，那么您就找到了相反的证据。 如果您只邀请三位客人，其中两个人可能之前见过面。 因此，在这种情况下，没有三个人是彼此都认识或彼此陌生的——因此没有单色三角形。
对于四个人来说，也很容易找到没有一组三个人彼此不认识或彼此是朋友的情况。
即使有五位客人，也至少有一种朋友-陌生人连接的配置，而没有相同颜色的三角形。 因此，要回答拉姆齐关于最小的聚会参与者群体的问题，他们的关系总是可以用至少一个单色三角形来描绘，这个数字必须大于五。 但要大多少呢？
当我们达到六个人时会发生什么？ 您现在必须尝试为图表的边着色，而不创建单色三角形。为此，您可以首先挑选出一个人 A，并检查他们与其余客人的关系可能是什么。 假设 A 是聚会的女主人。 在受邀者中，她有多少朋友？ 有六种不同的方式将她与五位客人联系起来：例如，她可能没有朋友，在这种情况下，五位受邀者都对她来说是陌生人。 或者她可能有一位朋友，在这种情况下，有四位陌生人。 此图表显示了六位聚会参与者可能与女主人联系的各种方式。
女主人（A）至少与三个人是朋友——或者至少有三个人对她来说是陌生的。 在图表中，可以通过她总是至少有三条相同颜色的边来看出这一点。 使用一个具体的例子，可以假设，在表中显示的配置之一中，女主人有三条红色边，这意味着她认识其他三位客人。 现在您可以尝试为剩余的连接着色，以避免在 32,768 种可能的着色组合中出现红色三角形。
因此，您必须确保任何两个认识女主人的客人彼此不认识——他们之间必须有蓝色连接。 但是，如果您将所有这些边都标记为蓝色，您将得到一个蓝色三角形！ 也就是说，如果所有节点都必须连接，则无法避免六点图中的单色三角形。 而且您可以在所有点都连接的任何更大的图中找到这样的三角形。 这意味着，只要您邀请超过五位客人，就总会有一组三个人彼此都认识或彼此都不认识。
当然，数学家不会满足于单一的结果。 相反，他们试图概括问题。 因此，为了推导出拉姆齐数的一般情况，他们会问：“R 需要多少个最少节点才能总是找到红色 m-团或蓝色 n-团。 n-团表示一组彼此全部连接的 n 个点。 结果数 R(m,n) 称为拉姆齐数。 令人惊讶的是，已知的拉姆齐数非常少。 我们刚刚证明了 R(3,3) = 6。 也可以证明 R(4,4) = 18。 这意味着，如果您邀请 18 位客人参加聚会，则总会有一组四个人彼此都认识或彼此都不认识。
然而，几十年来，R(5,5) 有多大一直不清楚。 换句话说，您必须邀请多少位客人才能总是有一个五人组，他们要么都是熟人，要么都是陌生人？ 专家们已经能够缩小结果范围：我们现在知道 R(5,5) 落在小于或等于 43 个节点的下限和小于或等于 48个节点的上限的范围内。似乎我们可以简单地使用计算机来遍历具有 43 个节点的图的所有可能的着色，看看是否存在一个不包含五个相同颜色组的图。 但事实上，这项任务超出了任何可用的计算能力！
一个具有 43 个节点且全部连接的图有 903 条边。 这些边可以是红色（朋友）或蓝色（陌生人）。 这就是 2903 种可能性，四舍五入约为 10272 。 这是一个 1 后面跟着 272 个零，这是难以想象的巨大数字。 为了理解它有多大，可以这样想：目前假设我们的宇宙由大约 1082 个原子组成。
假设每个原子都是一台计算机器，它每秒可以执行与目前最强大的超级计算机一样多的计算次数：每秒一百万兆（1018）步计算。 假设每个原子每秒可以搜索一百万兆个图，以查找五个一组的图——并且粒子会在 138 亿年前的大爆炸之后立即开始这样做。 那么到目前为止，他们将有 13.8 x 109 x 365.25 x 24 x 3,600 ≈ 4.35 x 1017 秒的时间来完成这项任务。 也就是说，宇宙中的所有原子到目前为止已经检查了大约 4.35 x 10117 个图——仅占剩余要处理的一小部分。
因此，数学家们正在寻找更聪明的解决方案来解决这个问题。 然而，到目前为止，他们还没有找到任何解决方案。
本文最初发表于 Spektrum der Wissenschaft ，经许可转载。