我喜欢在空闲时间跑步。我不是一个特别快的慢跑者，但我认为我可以跟上乌龟的速度。然而，根据公元前 450 年左右的古希腊学者芝诺的说法，我和乌龟之间比赛的结果远非显而易见——假设我给了行动缓慢的爬行动物一个运动性的领先优势。当然，芝诺知道人类可以轻易地超越乌龟。但他想指出，从数学的角度来看，这不一定是显而易见的。芝诺描述的思想实验如下：假设我挑战一只乌龟进行 100 米赛跑。我给这只动物一米的领先优势（不多；毕竟，我想赢）。在这种情况下，芝诺断定，我永远无法超越乌龟。
即使这听起来完全荒谬，芝诺的推理也是合理的。如果我等到乌龟跑完一米才开始追赶，那么当我跑完一米时，这只动物也向前移动了，比如说 20 厘米。当我到达这个点，跑完 1.2 米时，乌龟又向前移动了，即四厘米。诸如此类，永无止境：每次我到达乌龟之前所在的位置时，它都会继续前进。这就是为什么这只动物总是领先于我——我不可能赢得比赛。
在芝诺最初的思想实验中，他让乌龟与希腊最快的英雄阿基里斯比赛，让这种惊讶更加强烈，因此这种情况通常被称为阿基里斯悖论。无论如何，在我们现实感知到的——人们超越乌龟——和理论描述所暗示的之间存在矛盾。
支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保有关塑造我们当今世界的发现和想法的具有影响力的故事的未来。
芝诺的思考甚至更进一步。因为任何类型的运动都可以在无限多的时间点被观察到，所以一般的变化也成为了一个问题。芝诺悖论——包括阿基里斯悖论和其他悖论，例如飞矢不动悖论——指出，从数学的角度来看，世界在一定程度上应该保持静止。这些论点让专家们忙碌了数千年——虽然他们后来达成了一些数学上的解决方案，但由于神秘的量子物理世界，它们再次变得重要起来。
不同类型的无穷
古希腊哲学家亚里士多德将芝诺悖论视为支持他的观点，即空间和时间不能被无限地分割成小的部分。因此，阿基里斯最终会到达离乌龟的最小距离，然后超越它。但另一位伟大的希腊思想家阿基米德认为，在这种情况下，必须区分不同的无穷：一方面是无限大的范畴，另一方面是有限连续统。
第一类包括，例如，自然数集（1, 2, 3, 4,...），它是向上无限的：没有最大的自然数。数轴上的一个区间，例如一厘米，属于有界连续统的范畴。虽然这个区间具有有限的长度，但它由无限多个点组成。阿基米德观察到，我需要越来越少的时间来覆盖比赛中将我与乌龟分开的不断缩小的距离。
阿基米德是正确的，尽管他无法证明这一断言。事实上，直到芝诺的思想实验 2000 多年后，微积分数学领域的出现才找到了科学的解决方案。当时艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发展的方法使得最终证明阿基米德的想法成为可能。虽然你可以将一个长度分成无限多个较小的区间，但这并不意味着遍历它们需要无限长的时间。
换句话说，在无限多的时刻乌龟领先于我，但这些时刻的总和是有限的——实际上非常短。
我超越乌龟的时刻
这个证明可以使用当今可用的数学工具快速计算出来。让我们假设我给乌龟一米的领先优势，然后开始以大约每小时 12 公里的速度奔跑。为了简单起见，让乌龟比我慢五倍——即使实际上动物的速度要慢得多。当我跑完一米时，乌龟又向前移动了 20 厘米；当我到达那里时，它又跑了四厘米，依此类推。当我追上乌龟时，我跑过的距离 S 因此是：S = 1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + .... 这个总和由无限多个越来越小的被加数组成。
如果没有微积分，就没有办法评估这样的总和。然而，牛顿和莱布尼茨创造了处理越来越小的量的工具：所谓的无穷小量。事实证明，上面提到的无限和产生一个有限的结果。这可以通过从总和的一部分中排除因子 1⁄5 来看出：S = 1 + 1⁄5 x (1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + ...)。
由于总和是无限长的，括号中的表达式完全对应于值 S。这给了我们以下等式：S = 1 + ⅕S。解 S 得出 S = 5⁄4 = 1.25。
换句话说，在 1.25 米之后，乌龟和我并驾齐驱——然后我超越了它。虽然在无限多的时刻乌龟领先于我，但我只需要有限的时间就可以超越它。如果我真的以每小时 12 公里的速度奔跑，那么我只需不到 0.375 秒就可以跑完 1.25 米。
量子世界的芝诺悖论
因此，从 17 世纪开始，芝诺悖论得到了解决。借助微积分，数学家们找到了一种描述变量事物的方法。从科学的角度来看，古代的矛盾似乎得到了解决——直到量子物理学的出现。
根据量子力学理论，量子物体，例如电子或分子，在被观察时不能改变或移动。它们表现得像一个患有严重舞台恐惧症的演员，在观众穿透性的目光下，仿佛僵住了。
量子物体通常会随着时间的推移改变其状态：它们可以从一种能量状态变为另一种能量状态，或者从一个地方移动到另一个地方。但是，如果你不断地测量这些粒子，它们改变状态的可能性就会越来越小。它们仍然被困在原来的状态。
物理学家实际上能够在实验中观察到这种行为：如果他们足够频繁地对量子系统进行测量，其时间演化就会受到抑制。换句话说，系统保持在其状态而没有改变。这种所谓的量子芝诺效应现在被用于商业磁力计中。这是因为量子系统可以非常精确地测量磁场，并保持其期望的状态。现在也假设量子芝诺效应可能在鸟类的磁感应中发挥作用。
因此，即使在希腊哲学家提出思想实验 2500 年后，芝诺悖论仍然让专家们着迷。虽然从数学的角度来看，运动问题已经得到解决，但这些悖论仍然引发了关于我们现实的问题。我们世界的基本组成部分如何运动和变化？测量究竟是什么？观察对于量子系统意味着什么？让我们看看是否还需要几千年才能回答这些问题。
本文最初发表于《科学光谱》杂志，并经许可转载。