2020年，我们中的一人，托尼，邀请我们中的另一人，马可，来到他在巴塞罗那附近卡斯特尔德费尔斯的 photonics 科学研究所的办公室。“我想和你讨论一个问题，”托尼开始说。“这是米格尔和我多年来一直试图解决的问题。” 马可面露好奇，于是托尼提出了问题：“标准量子理论在没有虚数的情况下能行得通吗？”
虚数，当它们自身相乘时，会产生一个负数。它们最初被哲学家勒内·笛卡尔命名为“虚数”，以区别于他已知和接受的数字（现在称为实数），实数不具有这种性质。后来，复数，即实数和虚数的和，因其在解决复杂数学问题中的实用性而得到数学家的广泛接受。然而，它们不是任何基本物理理论方程的一部分——除了量子力学。
最常见的量子理论版本依赖于复数。当我们把理论中出现的数字限制为实数时，我们就得到了一个新的物理理论：实数量子理论。在21世纪的第一个十年里，几个团队表明，这个“实数”版本的量子理论可以用来正确地模拟一大类量子实验的结果。这些发现使许多科学家相信，实数量子理论可以模拟任何量子实验。科学家们认为，选择使用复数而不是实数并不代表一种物理立场；这只是一个数学上的便利问题。
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尽管如此，这个猜想仍未得到证实。它可能是错误的吗？在托尼办公室的那次谈话之后，我们开始了为期数月的反驳实数量子理论的旅程。我们最终提出了一个量子实验，其实验结果无法通过实数量子模型来解释。我们的发现意味着虚数是标准量子理论中必不可少的成分：没有虚数，该理论将失去预测能力。这意味着什么？这是否意味着虚数以某种方式存在？这取决于人们对标准量子理论或任何物理理论的要素“存在”的观念有多认真，而不是将它们仅仅视为描述和预测实验观察结果的数学配方。
虚数的诞生
复数可以追溯到16世纪早期，当时意大利数学家安东尼奥·玛丽亚·菲奥尔向教授尼科洛·丰塔纳“塔尔塔利亚”（口吃者）发起了挑战。在当时的意大利，任何人都可以向数学教授发起“数学决斗”，如果他们赢了，他们可能会得到对手的工作。因此，数学家倾向于将他们的发现秘而不宣，只在赢得智力之战时才使用他们的定理、推论和引理。
菲奥尔的导师西皮奥内·德尔·费罗在临终前给了菲奥尔一个公式，用于求解 x3 + ax = b 形式的方程，也称为三次方程。菲奥尔凭借他导师的成就，向塔尔塔利亚提出了30个三次方程，并挑战他找出每种情况下的 x 值。
塔尔塔利亚在比赛前不久发现了这个公式，解决了这些问题并赢得了决斗。塔尔塔利亚后来向医生和科学家吉罗拉莫·卡尔达诺吐露了他的公式，卡尔达诺承诺永远不会向任何人透露。尽管他发了誓，但卡尔达诺还是想出了该公式的证明并以他的名字发表了。这个复杂的方程包含两个平方根，因此人们理解，如果根号内的数字是负数，则该方程将无解，因为没有实数自身相乘会产生负数。
在这些阴谋诡计中，第四位学者拉斐尔·蓬贝利做出了数学史上最著名的发现之一。蓬贝利发现了一些可解的三次方程，但德尔·费罗-塔尔塔利亚-卡尔达诺公式仍然需要计算负数的平方根。然后他意识到，对于所有这些例子，只要他假装存在一种新型的数字，其平方等于 −1，该公式就会给出正确的解。假设公式中的每个变量都具有 a + √−1 × b 的形式，其中 a 和 b 是“正常”数字，则乘以 √−1 的项被抵消，结果是方程的“正常”解。
来源：Jen Christiansen
在接下来的几个世纪里，数学家研究了所有 a + √−1 × b 形式的数字的性质，这些数字被称为“复数”。在17世纪，被认为是理性科学之父的笛卡尔将这些数字与几何形状中不存在的特征联系起来。因此，他将数字 i = √−1 命名为“虚数”，以区别于他所知的正常数字，他称之为“实数”。数学家今天仍然使用这个术语。
事实证明，复数是一个非常棒的工具，不仅可以用来解方程，还可以简化经典物理学——20世纪之前发展起来的物理学——的数学。经典理解的光就是一个例子。将光描述为旋转的复数电场和磁场比描述为振荡的实数电场和磁场更容易，尽管实际上不存在虚数电场。同样，如果假装电流具有复数值，则描述电子电路行为的方程更容易求解，引力波也是如此。
来源：Jen Christiansen
在20世纪之前，所有这些复数运算都被简单地视为一种数学技巧。最终，任何经典理论的基本要素——温度、粒子位置、场等等——都对应于实数、向量或函数。量子力学是一种在20世纪早期引入的物理理论，旨在理解微观世界，它将从根本上挑战这种状况。
薛定谔和他的方程
在标准量子理论中，物理系统的状态由复数向量（具有大小和方向的量）表示，称为波函数。物理性质，如粒子的速度或位置，对应于复数表，称为算符。从一开始，这种对复数的深度依赖就违背了物理理论必须用实数量级来表述的根深蒂固的信念。薛定谔方程的作者埃尔温·薛定谔是最早表达物理学界普遍不满的人之一。在1926年6月6日写给物理学家亨德里克·洛伦兹的信中，薛定谔写道：“这里令人不快，而且确实直接反对的是复数的使用。Ψ [波函数] 肯定从根本上是一个实函数。”
起初，薛定谔的不安似乎很容易解决：他重写了波函数，用两个实向量代替了单个复数向量。薛定谔坚持认为这个版本是“真实”的理论，而虚数仅仅是为了方便。从那以后的几年里，物理学家们找到了其他基于实数重写量子力学的方法。但这些替代方案都从未流行起来。标准的量子理论，凭借其复数，有一个方便的规则，可以很容易地表示由许多独立部分组成的量子系统的波函数——这是其他版本所缺乏的特性。
那么，如果我们将波函数限制为实数并且保留用于组合多部分系统的常用量子规则，会发生什么？乍一看，没什么大不了的。当我们要求波函数和算符具有实数项时，我们最终得到了物理学家通常所说的“实数量子理论”。这个理论类似于标准量子理论：如果我们生活在一个实数量子世界中，我们仍然可以进行量子计算，通过交换量子粒子互相发送秘密消息，以及将亚原子系统的物理状态远程传送到洲际距离。
所有这些应用都基于量子理论的反直觉特征，例如叠加、纠缠和不确定性原理，这些也是实数量子理论的一部分。由于这种公式包含了这些著名的量子特征，物理学家长期以来一直认为，在量子理论中使用复数基本上是一个方便的问题，而实数量子理论与标准量子理论一样有效。然而，在2020年秋季的那个早晨，在马可的办公室里，我们开始怀疑这一点。
来源：Jen Christiansen
证伪实数量子理论
在设计一个实验来反驳实数量子理论时，我们不能对科学家可能使用的实验装置做任何假设，因为任何实数量子理论的支持者总是可以挑战它们。例如，假设我们制造了一种旨在测量光子偏振的装置。反对者可能会辩称，虽然我们认为我们测量的是偏振，但我们的仪器实际上探测的是一些其他属性——例如，光子的轨道角动量。我们无法知道我们的工具是否像我们认为的那样工作。然而，在不对实验装置做任何假设的情况下证伪物理理论听起来是不可能的。当没有确定性可以依赖时，我们如何证明任何事情？幸运的是，有一个历史先例。
尽管阿尔伯特·爱因斯坦是量子理论的创始人之一，但他从未相信我们的世界像该理论所暗示的那样违反直觉。他认为，尽管量子理论做出了准确的预测，但它一定是更深层次理论的简化版本，在该理论中，其明显的悖论式特质将得到解决。例如，爱因斯坦拒绝相信海森堡不确定性原理——它限制了对粒子位置和速度的了解程度——是根本性的。相反，他推测，他那个时代的实验学家由于技术限制而无法制备具有明确定义的位置和速度的粒子。爱因斯坦假设，未来的“经典”理论（一种基本粒子的物理状态可以完全确定且不基于概率的理论）将解释所有量子实验的结果。
我们现在知道爱因斯坦的直觉是错误的，因为所有这样的经典理论都已被证伪。1964年，约翰·S·贝尔表明，一些量子效应无法用任何经典理论来建模。他设想了一种实验类型，现在称为贝尔测试，涉及两位实验学家，艾丽丝和鲍勃，他们在独立的实验室工作。第三个地点的某人向他们每个人发送一个粒子，他们独立地测量这些粒子。贝尔证明，在任何具有明确定义的属性的经典理论（爱因斯坦希望胜出的那种理论）中，这些测量的结果都服从某些条件，称为贝尔不等式。然后贝尔证明，在某些艾丽丝和鲍勃测量纠缠量子态的设置中，这些条件被违反了。重要的性质是贝尔不等式适用于人们可以想到的所有经典理论，无论多么复杂。因此，它们的违反反驳了所有此类理论。
此后，在实验室进行的各种贝尔测试测量到的结果正如量子理论所预测的那样。2015年，在荷兰代尔夫特、奥地利维也纳和科罗拉多州博尔德进行的贝尔实验最终做到了这一点，同时弥合了以前实验留下的所有漏洞。这些结果并没有告诉我们我们的世界是量子的；相反，它们证明，与爱因斯坦相反，它不能由经典物理学统治。
我们能否设计一个类似于贝尔实验的实验，也能排除基于实数的量子理论？为了实现这一壮举，我们需要设想一个标准量子理论实验，其实验结果无法用实数量子理论的数学来解释。我们计划首先设计一个思想实验——一个思想实验——我们希望物理学家随后在实验室中进行。我们认为，如果能够做到这一点，这个测试应该能够说服即使是最持怀疑态度的支持者，世界也不是用实数量子理论来描述的。
我们的第一个也是最简单的想法是尝试升级贝尔的原始实验，以便也证伪实数量子理论。不幸的是，2008年和2009年发表的两项独立研究——一项由卡罗利·帕尔和塔玛斯·韦尔泰西进行，另一项由马修·麦卡格、米歇尔·莫斯卡和尼古拉斯·吉辛进行——发现这行不通。研究人员能够证明，实数量子理论可以像标准量子理论一样好地预测任何可能的贝尔测试的测量结果。由于他们的研究，大多数科学家得出结论，实数量子理论是不可反驳的。但我们和我们的合著者证明这个结论是错误的。
设计实验
在我们卡斯特尔德费尔斯对话后的两个月内，我们的小项目聚集了八位理论物理学家，他们都位于那里或日内瓦或维也纳。虽然我们不能亲自见面，但我们交换了电子邮件，每周多次举行在线讨论。正是通过长时间的独自散步和密集的 Zoom 会议相结合，在2020年11月的一个快乐的日子里，我们提出了一个标准量子实验，实数量子理论无法对其进行建模。我们的关键想法是放弃标准的贝尔场景，在贝尔场景中，单个源将粒子分发给几个独立的参与者，并考虑具有多个独立源的设置。我们观察到，在这种物理学家称之为量子网络的场景中，帕尔-韦尔泰西-麦卡格-莫斯卡-吉辛方法无法重现复数量子理论预测的实验结果。这是一个有希望的开始，但这还不够：类似于贝尔对经典理论所取得的成就，我们需要排除任何形式的实数量子理论的存在，无论多么聪明或复杂，都能够解释量子网络实验的结果。为此，我们需要在量子网络中设计一个具体的思想实验，并证明标准量子理论的预测不可能用实数量子理论来建模。
最初我们考虑了涉及六位实验学家和四个来源的复杂网络。然而，最后，我们决定采用一个更简单的量子实验，其中包括三位独立的实验人员，分别称为艾丽丝、鲍勃和查理，以及两个独立的粒子源。第一个源发出两个光粒子（光子），一个给艾丽丝，一个给鲍勃；第二个源向鲍勃和查理发送光子。接下来，艾丽丝和查理选择一个方向来测量他们粒子的偏振，结果可能是“向上”或“向下”。与此同时，鲍勃测量他的两个粒子。当我们一遍又一遍地这样做时，我们可以建立一套统计数据，显示测量结果的相关性有多频繁。这些统计数据取决于艾丽丝和查理选择的方向。
接下来，我们需要证明观察到的统计数据无法被任何实数量子系统预测。为了做到这一点，我们依赖于一个称为自测试的强大概念，该概念允许科学家同时验证测量设备和它正在测量的系统。这是什么意思？想想一个测量仪器——例如，一个体重秤。为了保证它的准确性，您需要用一个经过认证的重量的质量来测试它。但是如何认证这个质量呢？您必须使用另一个秤，它本身也需要认证，依此类推。在经典物理学中，这个过程没有尽头。令人惊讶的是，在量子理论中，可以同时认证被测系统和测量设备，就好像秤和测试质量正在相互检查校准一样。
考虑到自测试，我们的不可能证明工作原理如下。我们构思了一个实验，其中，对于鲍勃的任何结果，艾丽丝和查理的测量统计数据自测试了他们共享的量子态。换句话说，一个人的统计数据证实了另一个人的量子性质，反之亦然。我们发现，与实数量子理论兼容的设备的唯一描述必须恰好是帕尔-韦尔泰西-麦卡格-莫斯卡-吉辛版本，我们已经知道该版本不适用于量子网络。因此，我们得出了我们希望得到的矛盾：实数量子理论可以被证伪。
我们还发现，只要艾丽丝、鲍勃和查理观察到的任何真实世界测量统计数据都足够接近我们理想的思想实验的统计数据，它们就不能用实数量子系统重现。逻辑非常类似于贝尔定理：我们最终推导出了实数量子理论的贝尔不等式，并证明了复数量子理论可以违反它，即使在存在噪声和缺陷的情况下也是如此。这种对噪声的容许性使我们的结果在实践中可测试。没有实验学家能够完全控制他们的实验室；他们能期望的最好结果是制备近似于他们目标的量子态，并进行近似于他们预期进行的测量，这将使他们能够生成近似于预测的相同测量统计数据。好消息是，在我们的证明中，证伪实数量子理论所需的实验精度虽然要求很高，但在当前技术的范围内。当我们公布我们的结果时，我们希望这只是时间问题，总会有人在某个地方实现我们的愿景。
这件事发生得很快。在我们公开我们的发现仅仅两个月后，上海的一个实验小组报告说，他们使用超导量子比特——由量子粒子制成的计算机比特——实现了我们的思想实验。大约在同一时间，深圳的一个小组也联系我们，讨论使用光学系统进行我们的思想实验。几个月后，我们读到了另一个光学版本的实验，也是在上海进行的。在每种情况下，实验人员都观察到了实数量子理论无法解释的测量结果之间的相关性。虽然仍有一些实验漏洞需要处理，但总而言之，这三个实验使实数量子假设非常难以维持。
量子未来
我们现在知道经典理论和实数量子理论都无法解释某些现象，那么接下来会发生什么？如果未来提出量子理论的替代版本作为标准理论的替代方案，我们可以使用类似的技术来尝试排除它们。我们能否更进一步，证伪标准量子理论本身？
如果我们这样做了，鉴于我们目前缺乏替代方案，我们将没有任何微观世界的理论。但物理学家并不相信标准量子理论是正确的。原因之一是它似乎与我们的另一个理论——广义相对论——相冲突，广义相对论用于描述引力。科学家们正在寻找一种新的、更深层次的理论，可以调和这两种理论，甚至可能取代标准量子理论。如果我们能够证伪量子理论，我们或许能够指出通往更深层次理论的道路。
与此同时，一些研究人员正在试图证明，除了量子理论之外，没有其他理论可以做到这一点。我们的合著者之一米里亚姆·韦伦曼与罗杰·科尔贝克合作，认为有可能通过合适的类贝尔实验来排除所有替代物理理论。如果这是真的，那么这些实验将表明，量子力学确实是唯一与实验观察结果相容的物理理论。这种可能性让我们不寒而栗：我们真的可以希望证明量子理论是如此特殊吗？
编者注（4/6/23）：在发布后，修订了“什么是虚数？”框，以更正有理数如何包含整数的描述。这篇文章此前于3月24日进行了修订，在开篇插图中添加了标题，以更正两个方程式。