物理学从其作为科学的早期开始，就一直在自然界中寻找统一性。艾萨克·牛顿证明，导致苹果落地的力也使行星保持在轨道上。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将电、磁和光结合成一个单一的电磁理论；一个世纪后，物理学家加入了弱核力，形成了统一的“电弱”理论。阿尔伯特·爱因斯坦将空间和时间本身结合成一个单一的时空连续体。
今天，这一探索中最大的缺失环节是引力与量子力学的统一。爱因斯坦的引力理论，即他的广义相对论，描述了宇宙的诞生、行星的轨道以及牛顿苹果的坠落。量子力学描述了原子和分子、电子和夸克、基本亚原子力以及其他许多事物。然而，在应该同时应用这两种理论的地方——引力和量子效应都很强的地方，例如黑洞——它们似乎也不相容。
物理学家们为创建一个单一的、统一的理论来解释量子现象和引力所做的最大努力都惨遭失败，给出的答案要么毫无意义，要么根本没有答案。尽管包括十几位诺贝尔奖获得者在内的物理学家们努力了 80 年，量子引力理论仍然难以捉摸。
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向物理学家提出过于困难的问题，常见的回答是：“问我一些简单的问题。” 物理学通过研究捕捉复杂现实片段的简单模型向前发展。研究人员已经研究了许多这样的量子引力模型，包括在引力较弱时或在黑洞等特殊情况下应用的近似值。
也许最不寻常的方法是忽略一个完整的空间维度，并研究如果我们的宇宙只有二维，引力将如何运作。（从技术上讲，物理学家将这种情况称为“（2+1）维”，意味着两个空间维度加上一个时间维度。）在这种简化的宇宙中支配引力的原理也可能适用于我们的三维宇宙，从而为我们提供一些急需的统一线索。
降维的想法有着杰出的历史。埃德温·阿勃特的 1884 年小说《平面国：多维罗曼史》讲述了“正方形”的冒险经历，“正方形”是一个由三角形、正方形和其他几何图形组成的二维世界的居民。尽管阿勃特旨在将其作为对维多利亚社会的讽刺评论——平面国有着严格的等级制度，线性女性处于最底层，圆形牧师阶层处于最顶层——平面国也引发了人们对不同维度几何学的兴趣激增，并且至今仍然在数学家和物理学家中广受欢迎。
试图理解更高维度领域的研究人员首先想象我们的三维世界在正方形看来会是什么样子[参见“数学游戏”，作者：马丁·加德纳；《大众科学》，1980 年 7 月]。平面国也启发了物理学家研究石墨烯等真正表现得像二维空间的材料[参见“碳仙境”，作者：安德烈·K·盖姆和菲利普·金；《大众科学》，2008 年 4 月]。
20 世纪 60 年代初对平面国引力的首次研究令人失望。二维空间实际上没有足够的空间让引力场的变化传播。然而，在 20 世纪 80 年代后期，随着研究人员意识到引力以意想不到的方式运作，该主题迎来了复兴。它仍然会塑造空间的整体形状，甚至创造黑洞。
平面国引力一直是横向思维的案例研究，让我们能够对我们的一些推测性想法（例如所谓的全息原理和时间从无时间性中涌现）进行严格的数学检验。
时间管理
当物理学家寻求发展力的量子理论时，我们将相应的经典理论作为起点并以此为基础。对于引力而言，这意味着广义相对论，而麻烦由此开始。广义相对论涉及一个由 10 个方程组成的复杂系统，每个方程最多包含数千项。我们无法完全普遍地求解这些方程，因此我们在制定其量子版本时面临着艰巨的任务。但是，量子引力如此难以捉摸的奥秘仍然更深。
根据广义相对论，我们称之为“引力”的东西实际上是空间和时间形状的表现。地球绕太阳运行不是因为某种力在拉扯它，而是因为它沿着被太阳质量扭曲的时空中最直的路徑移动。统一量子力学和引力意味着以某种方式量化空间和时间本身的结构。
这听起来可能并不那么具有挑战性。然而，量子力学的基石是海森堡不确定性原理，即物理量本质上是模糊的——随机波动并且没有确定的值，除非它们被观察或经历等效过程。在量子引力理论中，空间和时间本身会波动，从而动摇了物理学其余部分建立的基础。在没有固定的时空作为背景的情况下，我们不知道如何描述位置、变化率或任何其他基本物理量。简而言之，我们不知道量子时空是什么意思。
概念化量子化时空的这些一般性障碍以几种具体方式显现出来。其中之一是臭名昭著的“时间问题”。时间是我们观察到的现实的基础。几乎所有的物理学理论最终都是对宇宙的某个部分随时间变化方式的描述。因此，我们物理学家最好知道“时间”是什么意思，而令人尴尬的真相是我们不知道。
对于牛顿来说，时间是绝对的——站在自然之外，影响物质但不被物质影响。通常的量子力学公式接受这种绝对时间的观念。然而，相对论推翻了绝对时间。相对运动中的不同观察者对于时间的流逝，甚至对于两个事件是否同时发生，都存在分歧。时钟——以及任何随时间变化的事物——在强引力场中运行得更慢。时间不再仅仅是一个外部参数，现在已成为宇宙的积极参与者。但是，如果宇宙之外没有理想的时钟来决定变化的节奏，那么时间的流逝必定来自宇宙的内部结构[参见“时间是幻觉吗？”，作者：克雷格·卡伦德；《大众科学：时间问题》，2014 年 10 月]。但如何实现呢？甚至很难知道从哪里开始。
时间问题有一个不太出名的表亲，即可观测物问题。物理学是一门经验科学；理论必须对可观测的量做出可验证的预测。在普通物理学中，这些量被归因于特定位置：“此处”的电场强度或“彼处”找到电子的概率。我们用坐标x、y和z标记“此处”或“彼处”，我们的理论预测可观测物如何取决于这些坐标的值。
然而，根据爱因斯坦的说法，空间坐标是任意的、人为的标签，最终宇宙并不关心它们。如果您无法客观地识别时空中的一个点，那么您就无法声称知道在该点发生了什么。犹他州立大学的查尔斯·托雷已经证明，量子引力理论不可能有纯粹的局部可观测物——即可观测物的值仅取决于时空中的一个点。因此，科学家们只能使用非局部可观测物，即可观测物的值取决于多个点。总的来说，我们甚至不知道如何定义这样的对象，更不用说用它们来描述我们观察到的世界了。
第三个问题是宇宙是如何产生的。它是凭空产生的吗？它是从母宇宙中分裂出来的吗？还是它做了完全不同的事情？每一种可能性都给量子引力理论带来了一些困难。一个相关的问题是科幻小说作家们长期以来最喜欢的话题：虫洞，它形成了空间甚至时间中位置之间的捷径。物理学家们认真地思考过这个想法——在过去的 20 年里，他们撰写了 1000 多篇关于虫洞的期刊文章——但尚未解决这种结构是否可能存在的问题。
最后一组问题围绕着科学界已知的最神秘的野兽：黑洞。它们可能为我们提供了解空间和时间终极本质的最佳窗口。在 20 世纪 70 年代初期，斯蒂芬·霍金证明黑洞应该像热煤一样发光——发出所谓的黑体光谱辐射。在所有其他物理系统中，温度都反映了微观成分的潜在行为。当我们说房间很热时，我们真正的意思是里面空气的分子在剧烈运动。对于黑洞来说，“分子”一定是量子引力的。它们不是字面意义上的分子，而是一些未知的微观亚结构——物理学家称之为“自由度”——必须能够改变。没有人知道它们到底是什么。
没有吸引力的模型
乍一看，平面国似乎不是寻找这些问题答案的有希望的地方。阿勃特的平面国有很多定律，但其中并没有引力定律。1963 年，波兰物理学家安德烈·斯塔鲁什凯维奇通过应用广义相对论计算出了该定律可能是什么。他发现，平面国中的一个大质量物体会将周围的二维空间弯曲成一个锥体，就像用一张扁平的纸扭成的派对帽一样。一个经过这个锥体顶点的小物体会发现它的路径发生了偏转，就像太阳弯曲了我们宇宙中彗星的路径一样。1984 年，布兰迪斯大学的斯坦利·德泽尔、麻省理工学院的罗曼·杰克夫和荷兰乌得勒支大学的杰拉德·特·胡夫特计算出了量子粒子将如何在这样的空间中移动。
这种几何结构将比引力在我们四维时空中引起的复杂曲率模式简单得多。平面国将缺乏等同于牛顿引力定律的东西；相反，力的强度将取决于物体的速度，静止的两个物体不会相互吸引。这种简单性很吸引人。这表明量化斯塔鲁什凯维奇的理论将比量化三维中的完整广义相对论更容易。不幸的是，该理论过于简单：没有什么可以量化的了。二维空间没有空间容纳爱因斯坦理论的一个重要元素：引力波。
考虑更简单的电磁情况。电场和磁场是由电荷和电流产生的。正如麦克斯韦所证明的那样，这些场可以从其源头分离出来，并像光波一样自由移动。在麦克斯韦理论的量子版本中，波变成了光子，即光的量子。同样，广义相对论的引力场可以从其源头分离出来，变成自由传播的引力波，物理学家普遍认为，量子引力理论将包含称为引力子的粒子来完成传播。
光波具有偏振：其电场在垂直于其运动方向的方向上振荡。引力波也具有偏振，但模式更复杂：场不是在一个方向上振荡，而是在垂直于其运动方向的两个方向上振荡。平面国没有空间容纳这种行为。一旦运动方向固定，就只剩下一个垂直方向。引力波及其量子对应物引力子根本无法挤进仅仅两个空间维度。
尽管偶尔会引起人们的兴趣，但斯塔鲁什凯维奇的发现还是被搁置了。然后，在 1989 年，新泽西州普林斯顿高等研究院的爱德华·威滕介入了。威滕被广泛认为是世界领先的数学物理学家，他一直在研究一类特殊的场，在这些场中，波不会自由传播。当他意识到二维引力属于这一类时，他添加了至关重要的缺失成分：拓扑学。
甜甜圈国
威滕指出，即使引力不能以波的形式传播，它仍然可以对空间的整体形状产生巨大的影响。当平面国只是一个平面时，这种效应不会出现；它需要更复杂的拓扑结构。当冰雕融化时，细节变得柔和，但某些特征（例如孔洞）往往会持续存在。拓扑学描述了这些特征。
如果一个表面可以通过平滑变形变成另一个表面，而无需切割、撕裂或粘合，则这两个表面具有相同的拓扑结构。例如，半球和圆盘具有相同的拓扑结构：通过拉动半球的周长来拉伸半球可以得到一个圆盘。球体具有另一种拓扑结构：要将其变成半球或圆盘，您需要剪掉一块。圆环面（如甜甜圈的表面）具有另一种拓扑结构。咖啡杯的表面与圆环面具有相同的拓扑结构：把手看起来像一个圆环面，而杯子的其余部分可以平滑而无需切割或撕裂——因此有了老数学家的笑话，拓扑学家无法区分甜甜圈和咖啡杯。
尽管圆环面看起来是弯曲的，但当您考虑它们的内部几何结构而不是从外部看到的形状时，它们实际上可以是平坦的。使圆环面成为圆环面的事实是，您可以在两个不同的方向上绕其完整地循环：穿过孔或绕过边缘。任何玩过 20 世纪 80 年代视频游戏的人都会熟悉此功能，在这些游戏中，战斗人员从屏幕右侧退出后会从左侧重新进入。屏幕是平坦的：它遵守平面几何规则，例如平行线永不相交的事实。然而，拓扑结构是环形的。
事实上，存在无限个这样的圆环面——所有圆环面都是平坦的但又各不相同，用一个称为模数的参数标记。圆环面宇宙中的引力所做的是导致模数随时间演变。圆环面从大爆炸时的一条线开始，并在宇宙膨胀时打开，呈现出越来越方形的几何形状。
从威滕的结果开始，我证明了这个过程可以被量子化——并且这样做会将经典的引力理论变成量子理论。平面国中的量子引力不是引力子的理论，而是形状变化的圆环面的理论。这种观点与通常的量子理论作为非常小的理论的图景有所不同。事实上，二维量子引力是将整个宇宙视为一个单一对象的理论。这种洞察力为我们提供了足够丰富的模型来探索量子引力的一些基本概念问题。
寻找时间
例如，平面国引力证明了时间如何可能从根本上无时间的现实中涌现出来。在该理论的一种表述中，整个宇宙由一个单一的量子波函数描述，类似于物理学家通常用来描述原子和亚原子粒子的数学工具。这个波函数不依赖于时间，因为它已经将所有时间——过去、现在和未来——包含在一个包中。不知何故，这个“无时间”的波函数产生了我们在世界中观察到的变化。诀窍是记住爱因斯坦的格言，即时间就是时钟所测量的东西。时间不是站在宇宙之外；它是由与宇宙其余部分相关的子系统决定的，就像挂钟与地球的自转相关一样。
该理论提供了许多不同的时钟选项，我们的选择定义了我们所说的“时间”。在甜甜圈国，正方形可以通过使用卫星中的原子钟读数来定义时间，就像 GPS 中的原子钟一样。他可以用从大爆炸延伸出来的曲线长度、他膨胀的宇宙的大小或其膨胀引起的红移量来标记时间。一旦他做出了这样的选择，所有其他物理可观测物都会随时钟时间而变化。例如，圆环面宇宙的模数与其大小相关，正方形将此感知为随时间演变的宇宙。因此，该理论从无时间的宇宙中引导出时间。这些想法并不新鲜，但甜甜圈国中的量子引力最终为我们提供了一个环境，我们可以在其中进行数学运算并检查图景是否不仅看起来漂亮而且确实有效。一些时间的定义具有有趣的后果，例如暗示空间可能会起皱。
至于可观测物问题，甜甜圈国为我们提供了一组客观可测量的量——即模数。扭曲之处在于，这些量是非局域的：它们不位于特定位置，而是描述整个空间的结构。正方形测量的任何东西最终都是这些非局域量的代理。2008 年，现在在德国埃尔朗根-纽伦堡大学的凯瑟琳·梅斯伯格展示了这些模数如何与真实宇宙学测量（例如光束的时间延迟和红移）相关。我已经展示了它们如何与物体的运动相关。
平面国引力为虫洞爱好者带来了好消息：至少该理论的一种表述允许空间拓扑结构发生变化。正方形今晚可以在球体国睡觉，明天在甜甜圈国醒来，这相当于在宇宙的两个遥远角落之间创建了一个捷径。在该理论的某些版本中，我们可以描述宇宙从虚无中创造出来的过程，这是拓扑结构的终极变化。
空间的边缘
由于平面国中的引力受到阻碍，因此该领域的专家（包括我）过去普遍认为二维黑洞是不可能的。但是，在 1992 年，三位物理学家——现在的智利圣地亚哥天主教大学的马克西莫·巴尼亚多斯，以及克劳迪奥·邦斯特（当时的克劳迪奥·泰特尔博伊姆）和豪尔赫·扎内利，他们都在智利瓦尔迪维亚科学研究中心——震惊了世界，或者至少是我们的小角落，他们表明只要宇宙具有某种类型的暗能量，该理论就允许存在黑洞。
所谓的 BTZ 黑洞非常像我们自己宇宙中的真实黑洞。它由在其自身重量下坍缩的物质形成，周围环绕着一个事件视界，这是一个单向屏障，任何东西都无法从中逃脱。对于留在外部的观察者来说，事件视界看起来像是宇宙的边缘：任何穿过视界的物体都与我们完全隔绝。根据霍金的计算，正方形应该看到它以取决于其质量和自旋的温度发光。
该结果提出了一个难题。由于缺乏引力波或引力子，平面国引力也应该缺乏可以解释黑洞温度的引力自由度。然而，它们还是偷偷溜进来了。原因是事件视界本身提供了一些额外的结构，而空二维空间缺乏这些结构。视界存在于某个位置，这在数学上用一些额外的量增强了原始理论。摆动视界的振动提供了自由度。值得注意的是，我们发现它们完全重现了霍金的结果。
由于自由度是视界的特征，因此在某种意义上，它们位于平面国本身的边缘。因此，它们是对量子引力本质的一个引人入胜的提议——全息原理的具体体现。该原理表明，维度可能是一个可替代的概念。正如全息图在平面二维胶片上捕获三维图像一样，许多物理学家推测，d维世界的物理学可以被d–1 维中更简单的理论完全捕获。在弦理论中——统一广义相对论和量子力学的一项主要努力——这个想法在 20 世纪 90 年代后期导致了一种创建量子引力理论的新方法[参见胡安·马尔达西纳的“引力的幻觉”；《大众科学报告》，2007 年 4 月]。
平面国引力提供了一个简化的场景来测试该方法。2007 年，威滕和现在的麦吉尔大学的亚历山大·马洛尼再次让物理学界感到惊讶，他们认为全息预测似乎在最简单的二维引力形式中失败了。他们发现，该理论似乎预测了黑洞不可能的热力学性质。这个意想不到的结果表明，引力是一种比我们之前怀疑的还要微妙的现象，而回应是平面国研究的又一次浪潮。
也许引力本身根本没有意义，而必须与其他类型的力和粒子合作才能发挥作用。也许爱因斯坦的理论需要修改。也许我们需要找到一种方法来恢复一些局部自由度。也许全息原理并不总是成立。或者，也许空间（如时间一样）不是宇宙的基本组成部分。无论答案是什么，平面国引力都为我们指明了一个我们可能不会采取的方向。
尽管我们无法制造真正的二维黑洞，但我们或许能够通过实验来检验平面国模型的一些预测。世界各地的几个实验室正在研究黑洞的二维类似物。例如，流速快于声速的流体会产生声速事件视界，声波无法从中逃脱。实验人员还通过使用局限于表面的电磁波构建了二维黑洞。这些类似物也应该以与黑洞大致相同的方式表现出量子辉光[参见约翰·马特森的“霍金可能是对的”；《大众科学》，2010 年 12 月]。
平面国中的量子引力最初是物理学家的游乐场，是一个探索真实世界量子引力思想的简单环境。它已经教会了我们关于时间、可观测物和拓扑学的宝贵经验，这些经验正在被应用到真实的三维引力中。该模型以其丰富性让我们感到惊讶：拓扑学出乎意料的重要作用、其非凡的黑洞、其奇怪的全息特性。也许很快我们就能完全理解成为生活在平面世界中的正方形是什么感觉。