物理学自其作为一门科学的早期起，就一直在自然界中寻找统一性。艾萨克·牛顿证明，导致苹果落下的力也使行星保持在其轨道上。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将电、磁和光结合成一个电磁理论；一个世纪后，物理学家加入了弱核力，形成了统一的“电弱”理论。阿尔伯特·爱因斯坦将空间和时间本身结合成一个单一的时空连续体。
今天，这个探索中最大的缺失环节是引力和量子力学的统一。爱因斯坦的引力理论，即他的广义相对论，描述了宇宙的诞生、行星的轨道和牛顿苹果的坠落。量子力学描述了原子和分子、电子和夸克、基本的亚原子力以及其他许多事物。然而，在两个理论都应该适用的地方——引力和量子效应都很强的地方，例如黑洞——它们似乎也是不相容的。物理学家将它们结合成量子引力理论的最佳努力已经惨败，给出的答案毫无意义，或者根本没有答案。尽管包括十几位诺贝尔奖获得者在内的几代物理学家进行了 80 年的工作，但量子引力理论仍然难以捉摸。
如果问物理学家一个太难的问题，一个常见的回答是：“问我一些更容易的问题。” 物理学通过研究捕捉复杂现实片段的简单模型向前发展。研究人员已经研究了许多这样的量子引力模型，包括在引力较弱时或在黑洞等特殊情况下适用的近似值。也许最不寻常的方法是忽略一个完整的空间维度，并研究如果我们的宇宙只有二维，引力将如何运作。（从技术上讲，物理学家将这种情况称为“（2+1）维”，意思是两个空间维度加上一个时间维度。）在这种简化的宇宙中支配引力的原理也可能适用于我们的三维宇宙，从而为我们提供一些急需的统一线索。
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降维的想法有着悠久的历史。埃德温·阿博特的 1884 年小说《平面国：多维度的浪漫故事》讲述了“正方形”的冒险经历，他是一个由三角形、正方形和其他几何图形组成的二维世界的居民。尽管阿博特本意是将其作为对维多利亚社会的讽刺评论——平面国有着严格的等级制度，线性女性处于底层，而圆形牧师阶层处于顶层——但平面国也引发了人们对不同维度几何学的兴趣激增，并且至今仍在数学家和物理学家中广受欢迎。试图理解更高维度领域的研究人员首先想象我们的三维世界对正方形会是什么样子[参见马丁·加德纳的“数学游戏”；大众科学，1980 年 7 月]。平面国也启发了物理学家研究石墨烯等真正表现得像二维空间的材料[参见安德烈·K·盖姆和菲利普·金的“碳的奇境”；大众科学，2008 年 4 月]。
最早的平面国引力研究是在 1960 年代初期进行的，结果令人失望。二维空间实际上没有足够的空间让引力场的变化传播。然而，在 1980 年代后期，随着研究人员意识到引力以意想不到的方式运作，这个课题得到了复兴。它仍然会塑造空间的整体形状，甚至创造黑洞。平面国引力一直是横向思维的案例研究，让我们能够对我们的一些推测性想法（例如所谓的全息原理和时间从永恒中涌现）进行严格的数学检验。
时间管理
当物理学家试图发展力的量子理论时，我们将相应的经典理论作为起点并以此为基础。对于引力，这意味着广义相对论。而麻烦就从这里开始。广义相对论涉及一个由 10 个方程组成的复杂系统，每个方程最多有数千项。我们无法在它们的完全普遍性中求解这些方程，因此我们在制定它们的量子版本时面临着艰巨的任务。但是，量子引力如此难以捉摸的奥秘仍然更深。
根据广义相对论，我们称之为“引力”的东西实际上是空间和时间形状的表现。地球绕太阳运行不是因为某种力拉动它，而是因为它沿着被太阳质量扭曲的时空中最直线的路径移动。统一量子力学和引力意味着以某种方式量化空间和时间本身的结构。
这听起来可能并不那么具有挑战性。然而，量子力学的基石是海森堡不确定性原理，即物理量本质上是模糊的——随机波动并且没有确定的值，除非它们被观察或经历等效过程。在量子引力理论中，空间和时间本身会波动，动摇物理学其余部分建立在其上的脚手架。在没有固定的时空作为背景的情况下，我们不知道如何描述位置、变化率或任何其他物理学的基本量。简而言之，我们不知道量子时空意味着什么。
概念化量子化时空的这些一般性障碍以几种具体方式出现。其中之一是臭名昭著的“时间问题”。时间是我们观察到的现实的基础。几乎每一个物理学理论最终都是对宇宙的某些部分随时间变化方式的描述。因此，我们物理学家最好知道“时间”是什么意思，而令人尴尬的事实是我们不知道。
对于牛顿来说，时间是绝对的——站在自然之外，影响物质但不受其影响。量子力学的通常公式接受绝对时间的这个概念。然而，相对论推翻了绝对时间。相对运动的不同观察者对时间的流逝甚至对两个事件是否同时发生存在分歧。时钟——以及任何随时间变化的东西——在强引力场中运行得更慢。时间不再仅仅是一个外部参数，现在是宇宙中的积极参与者。但是，如果没有理想的时钟坐在宇宙之外并决定变化的步伐，那么时间的流逝必定来自宇宙的内部结构[参见克雷格·卡伦德的“时间是幻觉吗？”；大众科学，2010 年 6 月]。但是如何？甚至很难知道从哪里开始。
时间问题有一个不太出名的表亲，即可观测物问题。物理学是一门经验科学；一个理论必须对可观测的量做出可验证的预测。在普通物理学中，这些量被归因于特定的位置：电场强度“在这里”或电子在“那里”被发现的概率。我们用坐标x、y和z标记“这里”或“那里”，我们的理论预测可观测物如何依赖于这些坐标的值。
然而，根据爱因斯坦的说法，空间坐标是任意的、人为的标签，最终宇宙并不关心它们。如果你不能客观地识别时空中的一个点，那么你就不能声称知道它发生了什么。犹他州立大学的查尔斯·托雷已经表明，量子引力理论可能没有纯粹的局部可观测物——也就是说，可观测物的值仅取决于时空中的一个点。因此，科学家们只剩下非局部可观测物，即其值一次取决于许多点的量。总的来说，我们甚至不知道如何定义这样的物体，更不用说用它们来描述我们观察到的世界了。
第三个问题是宇宙是如何产生的。它是凭空产生的吗？它是从母宇宙中分裂出来的吗？还是它做了完全不同的事情？每一种可能性都给量子引力理论带来了一些困难。一个相关的问题是科幻小说作家长期以来的最爱：虫洞，它形成空间甚至时间中位置之间的捷径。物理学家们认真地思考过这个想法——在过去的 20 年里，他们发表了 1000 多篇关于虫洞的期刊文章——但没有解决这种结构是否可能的问题。
最后一组问题围绕着科学界已知的最神秘的野兽：黑洞。它们可能为我们提供了解空间和时间终极本质的最佳窗口。在 1970 年代初期，斯蒂芬·霍金证明黑洞应该像炽热的煤炭一样发光——发出所谓的黑体光谱辐射。在每一个其他的物理系统中，温度都反映了微观成分的潜在行为。当我们说一个房间很热时，我们真正的意思是里面的空气分子在充满活力地运动。对于黑洞来说，“分子”一定是量子引力的。它们不是字面意义上的分子，而是一些未知的微观子结构——物理学家称之为“自由度”——必须能够改变。没有人知道它们到底是什么。
没有吸引力的模型
乍一看，平面国似乎不是寻找这些问题答案的有希望的地方。阿博特的平面国有很多定律，但其中没有引力定律。1963 年，波兰物理学家安杰伊·斯塔鲁什凯维奇通过应用广义相对论，研究出了这个定律可能是什么。他发现，平面国中的一个大质量物体会将它周围的二维空间弯曲成一个圆锥体，就像用扭曲的扁平纸片制成的派对帽一样。一个小物体经过这个圆锥体的顶点时，会发现它的路径发生偏转，就像太阳在我们宇宙中弯曲彗星的路径一样。1984 年，布兰迪斯大学的斯坦利·德塞尔、麻省理工学院的罗曼·杰基夫和荷兰乌得勒支大学的杰拉德·特·胡夫特研究出了量子粒子将如何在这样的空间中运动。
这种几何结构将比引力在我们三维宇宙中引起的复杂曲率模式简单得多。平面国将缺乏相当于牛顿引力定律的东西；相反，力的强度将取决于物体的速度，并且两个静止的物体不会相互吸引。这种简单性很有吸引力。这表明量化斯塔鲁什凯维奇的理论将比量化三维的完全成熟的广义相对论更容易。不幸的是，该理论太简单了：没有什么可以量化的了。二维空间没有空间容纳爱因斯坦理论的一个重要元素：引力波。
考虑更简单的电磁学情况。电场和磁场是由电荷和电流产生的。正如麦克斯韦所证明的那样，这些场可以从它们的源头分离出来，并像光波一样自由移动。在麦克斯韦理论的量子版本中，波变成了光子，即光的量子。同样，广义相对论的引力场可以从它们的源头分离出来，变成自由传播的引力波，物理学家普遍认为，量子引力理论将包含被称为引力子的粒子，它们会进行传播。
光波有一个极化：它的电场在垂直于其运动方向的方向上振荡。引力波也有一个极化，但模式更复杂：场不是在一个方向上振荡，而是在垂直于其运动方向的两个方向上振荡。平面国没有空间容纳这种行为。一旦运动方向固定，就只剩下一个垂直方向。引力波及其量子对应物引力子根本无法挤压到二维空间中。
尽管偶尔会有一些兴趣的火花，但斯塔鲁什凯维奇的发现还是被搁置了。然后在 1989 年，新泽西州普林斯顿高等研究院的爱德华·威滕介入了。威滕被广泛认为是世界领先的数学物理学家，他一直在研究一类特殊的场，在这些场中，波不会自由传播。当他意识到二维引力符合这一类时，他添加了关键的缺失成分：拓扑学。
甜甜圈世界
威滕指出的是，即使引力不能以波的形式传播，它仍然可以对空间的整体形状产生巨大的影响。当平面国只是一个平面时，这种影响不会出现；它需要更复杂的拓扑结构。当冰雕融化时，细节变得柔和，但某些特征（如孔洞）往往会持续存在。拓扑学描述了这些特征。如果一个曲面可以平滑地变形为另一个曲面，而无需切割、撕裂或粘合，则两个曲面具有相同的拓扑结构。例如，半球和圆盘共享相同的拓扑结构：通过拉动半球的周长来拉伸半球会产生一个圆盘。球体具有另一种拓扑结构：要将其变成半球或圆盘，您需要剪掉一块。像甜甜圈表面一样的环面，具有又一种拓扑结构。咖啡杯的表面具有与环面相同的拓扑结构：把手看起来像一个环面，杯子的其余部分可以平滑而无需切割或撕裂——因此，数学家们开玩笑说，拓扑学家无法区分甜甜圈和咖啡杯。
尽管环面看起来是弯曲的，但当您考虑它们的内部几何形状而不是从外部看到的形状时，它们实际上可以是平坦的。使环面成为环面的事实是，您可以沿两个不同的方向绕它做一个完整的环：穿过孔或绕着边缘。任何玩过 1980 年代视频游戏的人都会熟悉此功能，在游戏中，战斗人员从屏幕右侧退出后会从左侧重新进入。屏幕是平坦的：它遵循平面几何规则，例如平行线永不相交的事实。然而，拓扑结构是环形的。
事实上，存在无限多的此类环面——都是平坦的，但都不同，用一个称为模数的参数标记。环形宇宙中的引力所做的是导致模数随时间演变。环面从大爆炸时的一条线开始，并随着宇宙的膨胀而展开，呈现出越来越方形的几何形状。从威滕的结果开始，我证明了这个过程可以被量子化，将经典引力理论转变为量子引力理论。平面国中的量子引力不是引力子的理论，而是形状变化的环面的理论。这种观点标志着量子理论作为非常小的理论的通常图景的转变。事实上，二维量子引力是将整个宇宙作为一个单一物体的理论。这种洞察力为我们提供了一个足够丰富的模型来探索量子引力的一些基本概念问题。
寻找时间
例如，平面国引力演示了时间如何可能从根本上永恒的现实中涌现出来。在该理论的一种公式中，整个宇宙由一个单一的量子波函数描述，类似于物理学家通常用来描述粒子和原子的数学工具。这个波函数不依赖于时间，因为它已经在一个包中包含了所有时间，过去、现在和未来。不知何故，这个“永恒的”波函数产生了我们在世界中观察到的变化。诀窍是记住爱因斯坦的名言，即时间是时钟测量的东西。时间不是站在宇宙之外；它是由一个与宇宙其余部分相关的子系统决定的，就像挂钟与地球的自转相关一样。
该理论提供了许多不同的时钟选项，我们的选择定义了我们所说的“时间”的含义。正方形可以通过使用卫星中的原子钟读数来定义时间，就像 GPS 中的那些一样。他可以用从大爆炸延伸出来的曲线的长度、他膨胀的宇宙的大小或其膨胀引起的红移量来标记时间。一旦他做出了这样的选择，所有其他的物理可观测物都随着时钟时间而变化。例如，环面宇宙的模数与其大小相关，正方形将其感知为一个随时间演变的宇宙。因此，该理论从一个永恒的宇宙中引导出时间。这些想法并不新鲜，但甜甜圈世界的量子引力最终为我们提供了一个环境，我们可以在其中进行数学运算并检查图景是否不仅仅看起来漂亮，而且确实有效。一些时间的定义具有耐人寻味的结果，例如暗示空间可能会起皱。
至于可观测物问题，甜甜圈世界为我们提供了一组客观可测量的量——即模数。曲折之处在于，这些量是非局域的：它们不位于特定位置，而是描述整个空间的结构。正方形测量的任何东西最终都是这些非局域量的代理。2008 年，现在在德国埃尔兰根-纽伦堡大学的凯瑟琳·梅斯伯格展示了这些模数如何与真实宇宙学测量相关，例如光束的时间延迟和红移。我已经展示了它们如何与物体的运动相关。
平面国引力为虫洞爱好者带来了好消息：该理论的至少一种公式允许空间拓扑结构发生变化。正方形今晚可以在球体国睡觉，明天在甜甜圈国醒来，这相当于在宇宙的两个遥远角落之间创建了一个捷径。在该理论的某些版本中，我们可以描述宇宙从虚无中产生的过程，这是拓扑结构的终极变化。
在空间的边缘
由于平面世界中的引力受到阻碍，因此在专家领域（包括我）中，二维黑洞是不可能的，这曾经是常识。然而，在 1992 年，三位物理学家——现在在智利圣地亚哥的宗座天主教大学的马西莫·巴纳多斯，以及克劳迪奥·本斯特（当时的克劳迪奥·泰特尔博伊姆）和豪尔赫·扎内利，他们都在智利瓦尔迪维亚的科学研究中心——震惊了世界，或者至少是我们的小角落，他们表明，只要宇宙具有某种类型的暗能量，该理论就允许黑洞存在。
所谓的 BTZ 黑洞非常像我们自己宇宙中的真实黑洞。它是由物质在自身重量下坍缩形成的，周围环绕着一个事件视界，这是一个单向屏障，任何东西都无法从中逃脱。对于留在外部的观察者来说，事件视界看起来像是宇宙的边缘：任何穿过视界的物体都会完全与我们隔离。根据霍金的计算，正方形应该看到它以取决于其质量和自旋的温度发光。
这个结果提出了一个难题。平面国引力缺乏引力波或引力子，也应该缺乏可以解释黑洞温度的引力自由度。然而，它们还是偷偷溜进来了。原因是事件视界本身提供了一些额外的结构，而空二维空间缺乏这种结构。视界存在于某个位置，这在数学上用一些额外的量来增强了原始理论。摆动视界的振动提供了自由度。值得注意的是，我们发现它们完全再现了霍金的结果。
由于自由度是视界的特征，因此在某种意义上，它们位于平面世界本身的边缘。因此，它们是对量子引力的一个引人入胜的提议——全息原理的具体实现。该原理表明维度可能是一个可替代的概念。正如全息图在扁平的二维胶片上捕获三维图像一样，许多物理学家推测，d 维世界的物理学可以被 d-1 维度中更简单的理论完全捕获。在弦理论——统一广义相对论和量子力学的主要努力——中，这个想法在 1990 年代后期导致了一种创建量子引力理论的新方法[参见胡安·马尔达西那的“引力的幻觉”；大众科学，2005 年 11 月]。
平面国引力提供了一个简化的场景来测试这种方法。仅仅四年多前，威滕和亚历山大·马洛尼（现在在麦吉尔大学）再次震惊了物理学界，他们提出全息预测似乎在最简单的二维引力形式中失败了。他们发现，该理论似乎预测了黑洞不可能的热力学性质。这个意想不到的结果表明，引力是一种比我们怀疑的更微妙的现象，而回应是平面国研究的新高潮。也许引力本身根本就没有意义，而必须与其他类型的力和粒子合作才能发挥作用。也许爱因斯坦的理论需要修改。也许我们需要找到一种方法来放回一些局部自由度。也许全息原理并非总是成立。也许空间，就像时间一样，不是宇宙的基本成分。无论答案是什么，平面国引力都将我们指向了一个我们可能没有采取的方向。
尽管我们无法制造真正的二维黑洞，但我们或许能够在实验上检验平面国模型的一些预测。世界各地的几个实验室正在研究黑洞的二维类似物。例如，流速快于声速的流体产生声速事件视界，声波无法从中逃脱。实验人员还使用限制在表面上的电磁波构建了二维黑洞[参见上面的方框]。这样的类似物也应该表现出与黑洞非常相似的量子辉光[参见约翰·马特森的“霍金可能是对的”；大众科学，2010 年 12 月]。
平面世界的量子引力最初是物理学家的游乐场，一个探索关于现实世界量子引力的想法的简单环境。它已经教会了我们关于时间、可观测物和拓扑结构的宝贵经验，这些经验正在被应用到真正的三维引力中。该模型以其丰富性让我们感到惊讶：拓扑结构出乎意料地重要作用、其非凡的黑洞、其奇怪的全息特性。也许很快我们就会完全理解成为生活在平面世界中的正方形是什么感觉。