如果抛掷两枚公平的硬币，一枚十分硬币和一枚一分硬币，并且你被告知十分硬币正面朝上，那么一分硬币也正面朝上的可能性是多少？ 显然是 1/2。
另一方面，如果你被告知抛掷了两枚硬币，并且至少有一枚是正面朝上，那么另一枚也是正面朝上的几率只有 1/3。
这似乎是悖论。但是有一个简单的方法来理解它。首先考虑在你了解任何抛掷结果之前概率。将十分硬币正面朝上表示为 Dh；十分硬币反面朝上表示为 Dt；一分硬币同理：Ph 和 Pt。
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最初有四种可能性
Dh Ph
Dh Pt
Dt Ph
Dt Pt
最初，所有四种可能性都具有相同的概率。 如果你被告知至少有一个是正面朝上，那么你剩下这些可能性
Dh Ph
Dh Pt
Dt Ph
所有这些可能性都是等概率的。 在这三种情况中，只有一种情况是两个都是正面朝上。 因此，另一枚硬币更可能是反面朝上。
但是在预订去拉斯维加斯的旅行之前，请注意，如果不是被告知一枚硬币正面朝上，而是被告知十分硬币正面朝上，那么剩下两种可能性
Dh Ph
Dh Pt
——并且每种可能性都具有相同的概率。 知道十分硬币的结果并不能帮助你猜测一分硬币的结果。
揭开这种表面上的悖论的关键在于描述最初的可能性集合（“最初”指的是在你收到任何额外信息之前），然后根据这些额外信息排除可能性。
这里有一个听起来不同的问题，这种方法也适用。 抽屉里有四只袜子：两只红色和两只蓝色。 它们摸起来感觉都一样。 如果你不看就选两只，它们是相同颜色的几率是多少？
为了理解这一点，最好给每只袜子贴上标签：红色袜子为 Ra 和 Rb，蓝色袜子为 Ba 和 Bb。 我们最终并不关心我们得到哪只红袜子或哪只蓝袜子，但这使我们能够精确地列出概率。 所以，我们可以得到（从左到右）
Ra Rb
Ra Ba
Ra Bb
Rb Ra
Rb Ba
Rb Bb
Ba Bb
Ba Rb
Ba Ra
Bb Ba
Bb Ra
Bb Rb
所有这些都是等概率的，但这十二种选择中只有四个会产生期望的结果。
我们也可以用更抽象的方式来处理这个问题。 我的第一只袜子是红色的概率是 1/2，在这种情况下，我的下一只袜子是红色的可能性是 1/3，因为剩下的三只袜子中只有一只红色的。 所以两只都是红色的概率是 1/6。 同样，两只都是蓝色的概率是 1/6。 将这些加起来（因为它们是互斥的），我们得到 1/3。
这是给你的第一个问题
1. 假设我告诉你第一只袜子是蓝色的。 那么你得到一双袜子的机会是多少？ 假设我告诉你至少有一只袜子是蓝色的。 那么得到一双袜子的机会是多少？
如果袜子不够吸引人，让我们回到一个赌博场景。
有五个不透明的盒子。 其中两个装有 10,000 美元，其余的装有相同重量的绿色纸。 所以，从外面看，它们是无法区分的。 你被允许选择一个盒子，并且想要一个装有 10,000 美元的盒子。 你的对手知道哪些盒子有钱。
这是游戏规则。 你指向一个盒子。 你的对手必须打开另外两个没有钱的盒子。 现在有三个未打开的盒子，包括你最初指向的那个。 现在你可以选择更换你的选择。
2. 你要更换还是不更换？ 计算概率看看。
3. 假设你的对手只打开一个没有钱的盒子。 在这种情况下你要更换吗？ 同样简单的方法也适用。
4. 哦，是的，假设在一个男孩和女孩出生数量大致相等的社会中，以下问题应该很容易。 如果你知道一个家庭有两个孩子，你看到一个孩子在外面玩，而且这个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的几率是多少？