两个孩子，也许和你认识的孩子很像，喜欢蛋糕和数学。因此，玛丽和杰里米决定在他们两个相同的矩形蛋糕上玩以下游戏。
杰里米将把第一个蛋糕切成两块，也许均匀地切，也许不均匀（在这种情况下，第一块会更大）。看到切好的蛋糕后，玛丽将决定选择第一块还是第二块。如果她先选，她将拿走较大的那块。如果她后选，她可以假设杰里米将拿走较大的那块。
接下来，杰里米将把第二个蛋糕切成两块（记住，如果他愿意，第二块较小的可以小到几乎消失）。如果玛丽选择拿走第一个蛋糕的第一块，那么杰里米可以拿走第二个蛋糕的第一块。如果玛丽选择拿走第一个蛋糕的第二块，那么她可以拿走第二个蛋糕的第一块。
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热身问题
假设每个孩子都力求获得尽可能多的蛋糕，杰里米的最佳策略是什么？
在您查看答案之前的提示
假设杰里米将第一个蛋糕分成 f 和 1-f 两部分，其中 f 至少为 1/2。然后，探讨如果玛丽选择拿走分数为 f 的那块，或者如果她后选而获得分数为 1-f 的那块，会产生什么后果。
热身问题答案
按照提示，玛丽这样推理：如果她拿走分数为 f 的那块，那么杰里米实际上会拿走整个第二个蛋糕（他会从第二个蛋糕上切下最小的一点碎屑，然后拿走大的第一块，只给玛丽留下碎屑）。所以，玛丽将准确地得到 f，而杰里米将得到 (1-f) + 1。如果玛丽拿走第一个蛋糕的第二块（分数为 1-f），杰里米最好的做法是将第二个蛋糕分成两半。这样玛丽得到 (1-f) + 1/2。
因为杰里米也遵循这个推理，他意识到他能做的最好的事情是使 f = (1-f) + 1/2。也就是说，2f = 1 1/2 或 f = 3/4。
如果玛丽然后拿走第一个蛋糕的第一块，那么杰里米将得到第一个蛋糕的 1/4 和整个第二个蛋糕。如果玛丽拿走第一个蛋糕的第二块，那么杰里米将得到第一个蛋糕的 3/4 和第二个蛋糕的 1/2。在这两种情况下，玛丽总共得到 3/4 个蛋糕，而杰里米得到 1 1/4 个。请注意，如果杰里米切第一个蛋糕，使得较大的分数小于 3/4，玛丽后选将获得超过第一个蛋糕的 1/4，并且仍然会获得第二个蛋糕的 1/2，从而增加她的蛋糕量超过 3/4。相比之下，如果杰里米切第一个蛋糕，使得较大的分数超过 3/4，玛丽将直接拿走较大的那块，再次增加她的蛋糕量超过 3/4。
热身问题答案结束
我之所以详细讨论热身问题，是因为一周后，一个更难的挑战出现了。厨师玛蒂娜做了三个新的相同的矩形蛋糕。杰里米和玛丽都贪婪地盯着它们。
他们决定了以下规则。同样，杰里米将切蛋糕。但这次，玛丽有两次优先选择权，而杰里米只有一次。也就是说，杰里米切第一个蛋糕。玛丽决定她想先选还是后选这个蛋糕。接下来，杰里米切第二个蛋糕；玛丽再次决定她想先选还是后选。第三个蛋糕也是如此。唯一的限制是玛丽必须允许杰里米至少一次先选。
给您的问题
1. 在这些规则下，杰里米如何最大化他获得的蛋糕量？他会得到多少？
2. 假设有 7 个蛋糕，玛丽在七个蛋糕中的六个蛋糕上拥有优先选择权（她可以选择哪些蛋糕）。杰里米还能保证优势吗？如果可以，优势有多大？
3. 有没有什么方法可以确保每个孩子获得相同数量的蛋糕？