让我们假设大多数数学读者会认为理所当然的事情：存在数学对象，例如数字和函数，并且存在关于这些对象的客观事实，例如 3 < 5 和素数集是无限的。在这种观点下，真理是平庸的。“3 < 5”为真，因为对象 3 和 5 处于小于关系中，正如“鲍勃比爱丽丝矮”为真，因为鲍勃和爱丽丝处于矮于关系中一样。
为什么要费心假设这一点？存在合理的替代方案。我们说：“主教斜着走”是真的，我们说：“夏洛克·福尔摩斯住在贝克街 221B 号”是真的。然而，使它们成真的原因，在一个案例中是约定俗成的规则，在另一个案例中是文学虚构。在我理所当然地接受的观点中，数学中的真理与通常在物理学中理解的真理没有什么不同。当一个命题正确地告诉我们事物客观上是什么样子时，它就是真的。我希望大多数读者仍然与我同在，尽管到目前为止数学形而上学很平庸。有趣的点在后面。
我们为什么相信 3 < 5 并且存在无限多个素数？大多数人会说这是一个简单的问题，答案显而易见：证明。这里有一个更难的问题：证明是数学中唯一合法的证据吗？许多人会说——事实上，他们会大喊——是的，证明且唯有证明是数学证据的来源。证明既是必要的也是充分的。他们可能会补充说，当我们有证明时，我们就知道一个定理是真的，或者当我们缺乏证明时，我们就不知道它是真的——要么全有要么全无。
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片刻的反思表明这是完全错误的。证明必须从某个地方开始。存在公理、公设或第一原则，它们本身无法在不乞求论题的情况下得到证明。那么，在算术的情况下，起点，例如皮亚诺公理 (PA)，从何而来？无处。通常它们只是被陈述，然后定理证明才由此而来。如果我们从标准集合论开始，我们确实可以推导出 PA。但这只会将我们的问题推后——集合论的公理从何而来？与其追逐无限倒退，不如专注于 PA。对于我们的问题：PA 公理从何而来？有三种相互竞争的答案。
PA 的公理是自明的。柏拉图主义者喜欢这种假设。
PA 的公理是具有正确结果的猜想。它们暗示了我们独立相信的事物，并且它们系统化了大量的成果。这与对自然科学的普遍态度相似。我们相信量子力学的原理，因为它们组织经验并做出各种各样的可检验的预测，而这些预测已被证明是正确的。
PA 的公理是任意的，就像国际象棋的规则一样。我们通过经验了解到哪些规则玩起来最有趣。没有一个是客观真实的。
由于第三个提出的答案忽略了真理的观念，我们将忽略它。对该问题的第一个和第二个回答各有优点。但也有担忧。对于自明的观点，经验主义哲学家声称我们可以用正常的眼睛看到，但不能用“心灵之眼”看到，甚至不能用比喻的方式看到。他们坚持认为，数学知识不能通过直觉或任何其他非经验方法获得，因此他们将“自明”抛出窗外。相比之下，柏拉图主义者欣然接受这一点，并断言我们有认知能力来掌握关于（某些）抽象实体的事实。自明性源于这种直觉。
PA 从何而来？对这个问题的第二个回答要求 PA 公理的一些结果是显而易见的，这使我们回到第一个答案，即我们必须通过直觉知道其中一些结果。第一个和第二个答案都可能是正确的，正如哥德尔所相信的那样（哥德尔 1947/1964）。然而，这两个相互竞争的观点中哪一个正确并不重要；结果是并非所有事物都可以被证明。必须有一个未经证实的起点。顺便说一句，我们不必对我们的起点确定无疑。我们仅仅是在谈论合理的信念，就像我们在其他领域，比如物理学中一样。我们在生活的其他任何地方都无法期望确定性，那么为什么要在数学中要求确定性呢？
在这一点上，我们可以承认我们的大量无知，并退回到一个较弱的主张：我们不知道任何定理 T 本身是真的，但我们知道 PA → T，而对此的证据确实是一个证明。我想这可以挽救所有数学证据仅仅是证明的观点，但这要以近乎荒谬为代价。有人真的对 2 + 3 = 5 持不可知论态度，并且只愿意同意 PA → 2 + 3 = 5 吗？
现在证明本身呢？即使我们在任何证明中都没有犯过错误，我们仍然可能大错特错。怎么会这样？不要在意计算错误，这些错误几乎不值得一提，因为它们是完全无趣的错误。也许我们错了，因为我们改变了一个重要的概念。在数字之后，数学中第二个最重要的概念可能是函数。考虑它的历史。两个世纪前，人们对函数的普遍理解导致了所有函数都是连续的定理。这个定理的证明没有任何问题。当然，今天我们会拒绝这个定理，因为我们现在认为函数是两个集合之间的任意关联。这允许像狄利克雷函数f(x)这样完全不连续的实体，它等于 0 或 1，具体取决于 x 是有理数还是无理数。无论证明在逻辑上多么无可挑剔，都无法使定理免于概念上的改变。当定义被调整时，最严格构建的建筑也会坍塌，而定义被调整是因为人们有了更好的想法。不用说，我们永远无法确定地说我们最终得到了概念的正确定义。数学的未来虽然非常稳定，但将永远是岌岌可危的。
数学理性不仅仅基于证明，无论我们认为证明是什么。数学家们想知道要研究哪些问题，或者给他们的学生布置哪些问题，以及哪些技术最有可能成功。他们坐在拨款委员会中，评估各种提案的合理性，并资助他们认为有足够希望的提案。作为一个成就的整体，数学可能完全依赖于证明（正如已经论证的那样，这非常值得怀疑），但作为一项活动，数学在很大程度上依赖于直觉、合理性和猜想。大多数数学家认为黎曼猜想为真，而 P ≠ NP 为假。他们对自己的信念有充分的理由，但他们没有证明。重要的是他们有充分的理由，因为这就是指导如此多研究并决定资源去向的原因。另一种选择是凭一时兴起做出选择。
现在我们有三个不同的理由认为证明（正如通常理解的那样）只是数学发展故事的一部分。首先，证明需要一个未经证实的起点。其次，我们可能正在证明关于错误概念的事物。第三，一个所谓定理的某些证据指导了可能导致证明的研究，但该证据本身并不是该定理的证明。我们应该如何理解这一点？
蒂莫西·高尔斯在不同的地方对数学哲学进行了有趣而广泛的写作。他对证据的看法被概括为一个适合保险杠贴纸的口号：证明 = 解释 + 保证。
高尔斯本人和那些讨论过他工作的人都专注于“解释”，这在数学和哲学中是一个非常有趣和重要的概念。证明提供了定理为真的证据，但一些证明也产生了对正在发生的事情的洞察力。当高尔斯讨论解释时，他试图理解这种现象。然而，我将采取不同的方法：我将专注于“保证”，高尔斯和其他人认为这是表明定理肯定为真的证据。关于存在无限多个素数的正确证明是对这一事实的保证。正如通常设想的证明一样，我们不能要求比这种保证更好的东西了。这是黄金标准。自然科学没有希望与之匹敌。
然而，还有另一种“保证”的含义在普遍使用。一个新的烤面包机带有保证。这并不是承诺它会完美运行。相反，这仅仅是承诺它会工作或者会被修理或者被更换或者我们的钱将被退还。这种替代意义上的保证可能有助于理解数学活动。考虑到这一点，让我跳到主要论点：证明 = 解释 + 保证（在烤面包机的意义上）。
为了使这一点合理，我们需要一个重要的假设：数学是自我纠正的。我们不假设自然科学是不会犯错的，但我们假设当我们犯错时，我们最终会发现并纠正我们过去的错误，并在这样做时，我们继续取得进步。简而言之，进步不是单调的。我不想掩盖这个假设的重要性。国际象棋规则会不时更改，但在任何意义上它都没有朝着真理的方向进步，尽管它可能在更有趣、更具挑战性等方面取得进步。我假设当前的集合概念比导致悖论的概念更好，并且当前的函数概念比早期版本更好，而不仅仅是品味或时尚的变化。
在我们以这种方式看待证明之后，我们可以开始更友善地看待数学内部的其他形式的证据。这是我的替代方案：证明（证据）是烤面包机意义上的保证，而不是高尔斯意义上的保证。证明是一个好的赌注，但它并没有给我们确定性。如果它失败了，我们可以（最终）修复它、更换它或撤回它。最后一种相当于退还您的钱并承认产品完全有缺陷。
证明（证据、保证）可以来自多种来源。
当然，推导，这是每个人都认可的
图表、图片、思想实验
计算机证明
统计分析
物理类比
证明可能会失去其“保证”状态，或者至少使其保证减弱。这可能发生在各种情况下。
发现反例。定理将被撤回（您将获得退款）。
发现连贯的替代方案（例如，非欧几里得几何）破坏了先前接受的自明公理的地位。
概念上的改变（更改函数的定义，您就会破坏所有函数都是连续的定理。）
物理学的新发现破坏了先前接受的类比。
在计算机证明中使用的软件中发现错误。
一些例子将说明并可能有助于说明情况。
这是一个众所周知的结果的图片证明。
定理：1 + 2 + 3 + … + n = n2/2 + n/2。
证明是下图
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我将其留给读者来弄清楚它是如何工作的。请注意，即使图表是特殊情况 n = 5，在我们掌握证明后，我们也会看到它适用于所有 n。我发现这个图片证明与数学归纳法的证明一样具有说服力。
我不会费心进行计算机证明。它们是众所周知的，从四色定理的证明开始。即使那些不喜欢计算机证明的整个想法的人也会承认计算机生成的有价值的数据。例如，我们现在知道哥德巴赫猜想成立，直到 4 x 1018。
孪生素数猜想说：存在无限多个数 p，使得 p 和 p + 2 都是素数。对此没有标准证明，但有一个简单且相当令人信服的论证来证明其正确性。素数的分布似乎是随机的，并且有无限多个素数。因此我们应该期望它们一次又一次地出现，间隔任意距离，包括间隔两个数字。因此，存在无限多个孪生素数。当然，这个证明只是烤面包机意义上的保证。
物理类比有很多种。鸽巢原理说，如果 n + 1 只鸽子分布在 n 个鸽巢中，那么一个巢中至少有两只鸽子。它可以从集合论中推导出来，但没有人会说在看到这样的证明后他们的信心增加了。物理类比完全令人信服。还有更复杂的例子，例如镜像对称性。物理学家发现了物理上等价的弦理论，可以用彼此镜像的卡拉比-丘流形来建模。数学家最初持怀疑态度，但已被说服接受这种镜像对称性的存在。
这些问题并不新鲜。当四色定理在 1970 年代被证明时，数学家、哲学家和计算机科学家之间进行了大量的激烈讨论。几年前，数学家和理论物理学家之间就合法方法进行了另一次激烈的讨论。（参见 Jaffe 和 Quinn 1993，Atiyah 等人 1994 和 Thurston 1994。）这些交流将数学的某些部分视为理所当然，然后讨论如何从那里继续下去。计算机证明或物理类比是数学证据的合法形式吗？这些都是有趣的问题，远未解决。他们忽略甚至认为是理所当然的是起点本身，即未经证实的公理和第一原则，它们是标准证明（即推导）的出发点。一旦我们意识到第一原则或公理不能以完全确定的意义得到保证，那么我们必须承认它们只能以烤面包机意义上的保证得到保证。当我们意识到这一点时，我们必须进一步承认，想要高尔斯式的保证、适用于易错公理的万无一失的证明技术是没有道理的。简而言之，一切都像烤面包机一样。
我想以一个坦白来结束。我对我所到达的地方感到有些不安。我计划得少了，但在我们承认初始公理或其他第一原则的易错性，并且我们也承认中心定义可以有不断演变的历史之后，就很难踩刹车了。所有其余的都自然而然地随之而来，我承认，这可能会令人不安。但它也可能是解放性的。
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