素数之间存在深刻联系的证明被声称

来自Nature 杂志

通常平静的数学界因一项声称数论中最重要的问题之一已被解决的消息而沸腾。

日本京都大学的数学家望月新一发布了一份500页的abc猜想证明，该猜想提出了整数之间的关系——一个“丢番图”问题。

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abc猜想由David Masser和Joseph Oesterle于1985年独立提出，可能不如费马最后定理那样为更广泛的世界所熟知，但在某些方面它更重要。“如果abc猜想被证明为真，它将一举解决许多著名的丢番图问题，包括费马最后定理，”纽约哥伦比亚大学的数学家多里安·戈德菲尔德说。“如果望月新一的证明是正确的，那将是二十一世纪数学最令人震惊的成就之一。”

与费马定理类似，abc猜想指的是a+b=c形式的方程。它涉及无平方数概念：即不能被任何数的平方整除的数。15和17是无平方数，但16和18——分别能被4²和3²整除——不是。

数字n的“无平方”部分，sqp(n)，是可以由n的质因数相乘形成的最大无平方数。例如，sqp(18)=2×3=6。

如果您理解了这一点，那么您应该就理解abc猜想了。它关系到三个整数 axbxc 或 abc 的乘积的一个性质——更具体地说，是这个乘积的无平方部分，它涉及到它们不同的质因数。它指出，对于整数 a+b=c，对于任何大于 1 的 r 值，sqp(abc)^r/c 的比率总是具有某个大于零的最小值。例如，如果 a=3 且 b=125，因此 c=128，那么 sqp(abc)=30 且 sqp(abc)²/c = 900/128。在这种情况下，当 r=2 时，sqp(abc)^r/c 几乎总是大于 1，并且总是大于零。

深刻联系
事实证明，这个猜想概括了许多其他丢番图问题，包括费马最后定理（该定理指出，如果 n>2，则 aⁿ+bⁿ=cⁿ 没有整数解）。像许多丢番图问题一样，这都与素数之间的关系有关。加利福尼亚州斯坦福大学的布赖恩·康拉德表示，“它编码了 a、b 和 a+b 的质因数之间的深刻联系”。

许多数学家花费了大量精力试图证明这个猜想。2007年，法国数学家吕西安·斯皮罗，他1978年的工作首先促成了abc猜想的提出，声称已经证明了它，但很快就被发现是有缺陷的。

与斯皮罗一样，也像1994年证明费马最后定理的英国数学家安德鲁·怀尔斯一样，望月新一使用椭圆曲线理论——由y²=x³+ax+b这类代数关系生成的平滑曲线——来解决这个问题。

然而，望月新一的工作与先前努力的关系就到此为止了。他开发了极少数其他数学家完全理解的技术，并调用了新的数学“对象”——类似于更熟悉的例子（如几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵）的抽象实体。“在这一点上，他可能是唯一一个知道所有内容的人，”戈德菲尔德说。

康拉德说，这项工作“使用了大量的见解，这些见解需要很长时间才能被学术界消化”。该证明分布在四篇长论文^1–4中，每篇论文都基于早期的长论文。“理解一个冗长而复杂的证明可能需要大量的时间投入，因此其他人这样做的意愿不仅取决于公告的重要性，还取决于作者的过往记录，”康拉德解释说。

望月新一的过往记录无疑使这项努力值得付出。“他过去已经证明了极其深刻的定理，并且他的写作非常透彻，这提供了很大的信心，”康拉德说。他补充说，回报将不仅仅是验证这一说法。“令人兴奋的方面不仅在于猜想现在可能已被解决，而且他必须引入的技术和见解应该是非常强大的工具，可以用来解决未来数论中的问题。”

本文经《自然》杂志许可转载。这篇文章最初发表于2012年9月10日。