素数难题困扰数学家一个多世纪

当我在为一个孩子的生日寻找礼物时，一本数学书落入我的手中。当作者为孩子们撰写关于抽象科学主题的文章时，我总是感到着迷，无论是关于阿尔伯特·爱因斯坦的理论、玛丽·居里的生平、技术还是太空旅行。但这本书很特别。它完全是关于素数——特别是孪生素数。丹麦作家扬·埃格斯堡一直致力于向孩子们介绍数论中最棘手的未解问题之一，即使是最聪明的人也一次又一次地未能解决这个问题，时间超过 100 多年：孪生素数猜想。

正如数学中经常出现的情况一样，这个猜想属于那些容易理解但又异常难以证明的范畴。孪生素数是数轴上距离为 2 的两个素数；也就是说，如果你忽略偶数，它们是直接连续的。例如 3 和 5、5 和 7 以及 17 和 19。你可以在小数字中找到很多孪生素数，但是你沿着数轴向上走得越远，它们就变得越稀有。

鉴于素数在大数中越来越稀有，这并不奇怪。然而，自古代以来，人们就知道存在无限多个素数，而孪生素数猜想也指出存在无限多个孪生素数。这意味着无论考虑的值有多大，在奇数中总会有直接连续的素数。

支持科学新闻

如果您喜欢这篇文章，请考虑支持我们屡获殊荣的新闻报道，方式是 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保未来能够继续讲述关于塑造我们当今世界的发现和想法的具有影响力的故事。

诚然，为孩子们翻译这些概念并非易事（这就是为什么我如此尊敬埃格斯堡和他的儿童读物）。素数（2、3、5、7、11、13...）就像自然数的基石。它们只能被 1 和自身整除。所有其他自然数都可以分解为它们的素数因数，这使得素数成为数学世界的基本构建块。

来自古代的证明

数学拥有无限数量的素数构建块。欧几里得在 2000 多年前用一个简单的思想实验证明了这一点。假设只有有限数量的素数，其中最大的是 p。在这种情况下，可以将最多到 p 的所有素数相乘。

在这种情况下，你可以将最多到 p 的所有素数彼此相乘，然后加 1：2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1。结果不能被任何现有的素数整除。这意味着数字 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1 要么是素数，要么有一个不出现在原始 2、3,..., p 素数中的素数因子。因此，任何有限的素数列表永远不可能完整；总是可以构建额外的素数。由此可见，素数有无限多个。

然而，并非所有关于素数的谜团都已解开。特别是它们在数轴上的分布仍然是一个谜。尽管我们知道素数在大数中出现得越来越少，但无法确切地指定它们的分布方式。

原则上，一个素数和下一个素数之间的平均距离是值 ln(p)。对于小数字 p = 19，这对应于 ln(19) ≈ 3。对于大素数 2,147,483,647，距离约为 22。对于巨大的值 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,468,627,329,593,117,727,031,923,199,444,138,200,403,559,860,852,242,739,162,502,265,229,285,668,889,329,486,246,501,015,346,579,337,652,707,239,409,519,978,766,587,351,943,831,270,835,393,219,031,728,127（也是一个素数），距离约为 420。

正如这些例子所示，素数之间的平均距离随着 p 的大小而增加。而这一事实使得孪生素数（它们之间具有最小可能的距离，除了 2 和 3 之外）对数论学家来说如此有趣。随着素数之间的平均距离增加，可能在某个点之后就不再有孪生素数了。然而，大多数专家认为不然。他们推断，为什么在数轴上应该存在一个特定的点，从该点开始突然不再出现孪生素数？是什么让这个点如此特别？数论学家假设，即使这些孪生素数变得越来越稀有，你最终总会遇到另一对。

迄今为止的计算机计算似乎支持这种观点。迄今为止发现的最大一对孪生素数是：2,996,863,034,895 x 2^1,290,000 + 1 和 2,996,863,034,895 x 2^1,290,000 – 1，这两个数字都有 388,342 位数字。然而，计算机辅助搜索永远无法证明存在无限多个孪生素数。需要更强大的策略。

一个意想不到的惊喜

一位鲜为人知的数学家在 2013 年交付了这一成果。张益唐此前在极少数专家中是家喻户晓的名字——但随后他发表了一篇论文，在数论界引起了轰动。他未能证明孪生素数猜想，但证明了一些接近它的东西，这比自 19 世纪提出孪生素数猜想以来任何人取得的进展都更大。

张益唐证明，存在无限多对 (p, p + N) 类型的素数对，它们之间的距离 N 小于 7000 万。如果他能够证明他的结果适用于 N = 2，孪生素数猜想就会得到证明。相反，张益唐证明，在所有距离小于 7000 万的素数对中，至少存在一种配对 (p, p + N) 会无限频繁地出现。

这个证明是一个巨大的进步，因为数学家不仅对孪生素数感兴趣，而且对其他类型的素数对也感兴趣，例如距离为 4 的素数对（例如 3 和 7 或 19 和 23），即所谓的表亲素数，或距离为 6 的素数对（例如 5 和 11 或 11 和 17），即所谓的性感素数。总的来说，尚不清楚这些配对中的任何一种是否存在无限多个。

张益唐使用数学家称之为素数筛法的方法取得了这一惊人的成果。这些结构可以想象成一个真正的筛子：你把所有的自然数都倒进去，然后过滤掉所有不是素数的值。这个想法以古希腊学者和数学家埃拉托斯特尼的名字命名，尽管关于它的第一个已知的书面记录来自他生活之后的几个世纪。它涉及一个自然数列表，其中删除每个偶数值（除了 2），然后删除所有 3 的倍数、5 的倍数等等，这样最后只剩下素数。

尽管埃拉托斯特尼筛法是精确的，但从数学的角度来看，它很难应用于具体问题。在大多数情况下，使用这种方法来证明关于素数的一般陈述似乎是无望的。因此，张益唐转向了另一种筛法，这种筛法只筛选出具有大素数因子的数字。尽管这种筛法不如其他筛法有效，但它允许足够的灵活性来进行广泛的证明。张益唐多年来一直单枪匹马地研究孪生素数猜想——数论实际上并不是他的研究领域的一部分。

这种坚持得到了回报：张益唐证明，至少存在一种距离小于 7000 万的素数对，它会无限频繁地出现。而下一个突破也很快到来。

来自世界各地的数论学家蜂拥而至张益唐的成果，并试图改进它。建立了一个联合项目，许多专家加入进来。通过优化张益唐的方法，他们能够减小素数对之间最大距离 N，以尽可能接近 2。在几个月内，他们证明，至少存在一种最大距离为 4,680 的素数对，它会无限频繁地出现。大约在同一时间，两位菲尔兹奖章获得者，陶哲轩和詹姆斯·梅纳德，独立开发了一种改进的筛法，使他们能够将结果缩小到 246，这是迄今为止的未被打破的记录。

具体而言，这意味着如果你查看所有距离介于 N = 2 和 N = 246 之间的素数对 (p, p + N)，那么至少存在这样一对会无限频繁地出现。然而，筛法无法推广到将结果推低至 N = 2。

尽管如此，这些结果标志着在一个让许多专家感到困惑的领域取得了意想不到的进展。梅纳德在 Numberphile YouTube 视频中明确地指出：“这是关于素数有趣且令人沮丧的事情之一：通常很清楚正确的答案应该是什么……。游戏始终试图排除素数之间存在某种非常奇怪的阴谋，这将意味着它们的行为方式与我们认为它们应该表现的方式截然不同。”

当然，埃格斯堡不可能在他的关于这个主题的儿童读物中包含所有这些细节。尽管如此，他还是设法写了一本书，以一种有趣的方式传达了一些数学概念。

我买了这本书，并在孩子的生日那天送给了他——而且。他的父母后来告诉我，他非常喜欢这本书。然而，正如我后来发现的那样，这与其说是数学内容的结果，不如说是一只青蛙在第一页放了个响屁的事实。

本文最初发表于《Spektrum der Wissenschaft》，并经许可转载。