两位数学家在质数中发现了一种奇怪的模式——表明这些数字的分布并不像理论家经常假设的那样随机。
“我们告诉过的每个人最终都会编写自己的计算机程序来亲自验证这一点，”加州斯坦福大学的数学家坎南·桑达拉拉扬说，他与同事罗伯特·莱姆克·奥利弗在一篇提交给 arXiv 预印本服务器的论文中报告了这一发现，论文于 3 月 11 日提交。“这真是一个惊喜，”他说。
数学家们说，彼此靠近的质数倾向于避免重复它们的最后一位数字：也就是说，以 1 结尾的质数比人们从随机序列中预期的更不可能紧随其后的是另一个以 1 结尾的质数。“当我看到这些数字时，我就能看出这是真的，”英国牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德说。“这是一个非常好的结果。”
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尽管质数在许多应用中使用，例如密码学，但就桑达拉拉扬和莱姆克·奥利弗所知，这种“反同性”偏差没有实际用途，甚至对数论也没有更广泛的意义。但是，对于数学家来说，这既奇怪又令人着迷。
并非如此随机
一个明确的规则决定了什么构成质数：它是一个不能被 1 和自身以外的任何数整除的整数。但是质数的出现没有可辨别的模式。除了显而易见的——在数字 2 和 5 之后，质数不能是偶数或以 5 结尾——似乎几乎没有结构可以帮助预测下一个质数将在哪里出现。
因此，数论家发现将质数视为“伪随机”序列很有用，就好像它是由随机数生成器创建的一样。
但是，如果序列是真正随机的，那么最后一位数字为 1 的质数之后，应该有四分之一的时间是另一个以 1 结尾的质数。这是因为在数字 5 之后，质数的最后一位数字只有四种可能性——1、3、7 和 9。根据 19 世纪末左右证明的一个定理，这些数字在所有质数中平均分布，这是我们理解质数分布的大部分基础的结果之一。（另一个是质数定理，它量化了随着数字变大，质数变得多么稀有。）
相反，莱姆克·奥利弗和桑达拉拉扬发现，在前十亿个质数中，以 1 结尾的质数之后约有 18% 的时间是另一个以 1 结尾的质数，约 30% 的时间是 3 或 7，22% 的时间是 9。当他们从以 3、7 或 9 结尾的质数开始时，他们发现了类似的结果：变化，但重复的最后一位数字最不常见。偏差持续存在，但随着数字变大而缓慢减小。
k 元组猜想
数学家们能够证明，如果一个被广泛接受但未经验证的陈述（称为哈代-李特尔伍德 k-元组猜想）是正确的，那么他们看到的模式对所有质数都成立。这比质数均匀分布的基本假设更精确地描述了质数对、三元组和更大的质数簇的分布。
其背后的想法是，存在一些不可能出现的质数配置，这使得其他簇更有可能出现。例如，连续的数字不能同时为质数——其中一个总是偶数。因此，如果数字 n 是质数，那么 n + 2 为质数的可能性比随机机会表明的略高。 k-元组猜想在一个适用于所有类型质数簇的通用陈述中量化了这一观察结果。通过研究这个猜想，研究人员展示了它如何暗示重复的最后一位数字比随机机会表明的更罕见。
乍一看，这似乎是因为 10 的倍数（20、30、100 等）质数之间的间隙不受欢迎。但这一发现变得更加普遍——甚至更加奇怪。质数的最后一位数字是它除以 10 时的余数。但数学家们发现，反同性偏差适用于任何除数。以 6 为例。所有质数除以 6 时，余数都为 1 或 5（否则，它们可以被 2 或 3 整除），并且这两个余数在所有质数中平均分布。但研究人员发现，当除以 6 时余数为 1 的质数更可能紧随其后的是余数为 5 的质数，而不是另一个余数为 1 的质数。因此，从以 6 为中心的角度来看，6 的倍数的间隙似乎不受欢迎。
矛盾的是，检查每个可能的除数都会让人觉得几乎所有的间隙都不受欢迎，这表明必须有一种比简单地计算受欢迎和不受欢迎的间隙更微妙的解释在起作用。“这完全是一件奇怪的事情，”桑达拉拉扬说。
神秘现象
研究人员已经检查了高达数万亿的质数，但他们认为他们必须调用 k-元组猜想来证明该模式持续存在。“我不知道如何在不假设它的情况下可能提出正确的猜想，”莱姆克·奥利弗说。
如果不假设诸如 k-元组猜想和备受研究的黎曼猜想等未经证实的陈述，数学家对质数分布的理解就会枯竭。“我们知道的非常少，令人尴尬，”莱姆克·奥利弗说。例如，在不假设 k-元组猜想的情况下，数学家已经证明最后一位数字对 1-1、3-3、7-7 和 9-9 无限频繁地出现，但他们无法证明其他对也出现。“具有讽刺意味的是，根据我们的工作，其他对应该更常见，”莱姆克·奥利弗说。
他和桑达拉拉扬觉得他们要深入理解这种现象还有很长的路要走。每个人都有一个心爱的理论，但没有一个真正令人满意。“它仍然让我们感到困惑，”桑达拉拉扬说。
本文经许可转载，并于 2016年3月14日首次发表。