1984年一个星期六的早晨，当时肯·小野还在读高中，他在巴尔的摩打开了家里的邮箱，发现一个薄如宣纸的信封，上面贴满了色彩鲜艳的邮票。信封是寄给他父亲的，他是一位性格内向的日本数学家。当小野把邮件递给他时，小野的父亲从他一直在上面乱写方程的黄色法律用纸上抬起头，放下了他的圆珠笔。他小心翼翼地撬开封口，展开了里面的信。
“尊敬的先生，”信的开头写道。“据我所知……您为纪念我已故丈夫的雕塑做出了贡献……我为这件事感到高兴。” 信末署名“S. 贾纳基·安玛尔”，红墨水印的信头表明她是“（已故）斯里尼瓦萨·拉马努金（数学天才）”的遗孀。
那是年轻的小野第一次听说传奇人物拉马努金。这位来自印度的自学成才的数学天才，大约在一个世纪前提出了“似乎难以置信”的神秘主张，他的英国合作者戈弗雷·哈罗德（“G. H.”）·哈代曾写道。然而，他的工作启发了全新的数学领域，并暗示了一些理论，这些理论在几个案例中为他们的发明者赢得了菲尔兹奖——数学界的诺贝尔奖。
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当小野学习成为一名数学家时——他现在是埃默里大学数论教授——他从来没有理由过多关注拉马努金。据他所知，“数学天才”并没有为小野在数论、模形式——因其非凡的对称性而备受推崇的抽象二维对象——方面的专长留下新的见解。
1998年，当小野29岁时，拉马努金以重要的方式重新出现在他的生活中。在编纂这位天才著作的选集时，伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家布鲁斯·C·伯恩特发现了一份基本上被忽视的手稿。由于该论文涉及模形式，伯恩特给小野发了一份数字扫描件，认为他或许能够解读一些奇怪的主张。
在文本的三分之二处，小野停了下来。拉马努金用整洁的小学生字体写下了六个大胆的数学陈述，即使它们触及了他的专业领域，在小野看来也完全是匪夷所思的。
小野惊呆了。他确信这些陈述是错误的。“我看了看它们，然后说，‘不可能。这简直是胡说八道。’”
他的第一反应是试图证明拉马努金是错的。
不可或缺的一部分
拉马努金是如何想到他写下的许多数学的，这仍然是一个谜。他用一本过时的英语辅导书自学，并在20多岁时，当他担任政府职员时，开始在给英国数学家的信中传播他的想法。他收到了一封回信。这封信来自哈代，当时是一位崭露头角的教授，他邀请拉马努金来剑桥与他一起工作。在国外仅仅三年后，拉马努金在第一次世界大战的食物短缺期间病倒了。他骨瘦如柴，发着高烧，返回印度，并于1920年去世。享年32岁。
除了37篇已发表的论文外，拉马努金还留下了一个小型图书馆，里面有信件、部分完成的手稿和三个皮革装订的笔记本。哈代和其他人检查了这些资料，发现他重新发现了经典定理——关于数字如何运作的规则——这些定理最初是由各自领域的顶尖数学家记录下来的。拉马努金还注意到更多其他人没有看到的模式。一位受过训练的数学家会知道用证明来支持每一项发现，这是一系列逻辑论证，可以使她的同事或他的同事信服其真实性。但拉马努金并没有费心。他一页又一页地写满了定理和计算的冗长列表，这些定理和计算是他自己在脑海中或在黑板上算出来的，很少停下来解释他是如何得出这些结论的。仅这三个笔记本就包含了3000多个关于数字本质的结论，自拉马努金去世以来，数学家们一直在努力证明或证伪这些结论。
伯恩特在20世纪70年代开始挖掘拉马努金的档案。二十多年后，他仍然在做这件事，当时他看到了那份手稿，其中有六个引人注目的陈述——小野决心证明这些陈述是错误的。它们在模形式和所谓的分割数之间建立了联系，分割数是一系列整数（即整数），代表了将较小的整数加起来得到你开始的整数的所有方法。分割数来自分割函数，分割函数像任何函数一样，描述了两个事物之间的关系：它接受给定的输入 x 并输出相应的输出 f(x)。分割函数 p(n) 计算正整数的组合，这些组合的和为给定的整数 n。例如，p(4) 是 5：1 + 1 + 1 + 1、1 + 1 + 2、2 + 2、1 + 3 和 4。
分割函数和它生成的数字似乎很简单，但几个世纪以来，理论家们一直在努力寻找这些数字之间的模式，以便他们能够预测它们、计算它们或将它们与其他函数和定理联系起来。拉马努金做出了最早的真正突破之一。他和哈代一起设计了一种快速逼近分割数的方法。为了检验他们近似值的准确性，他们邀请了一位退休的英国炮兵和计算奇才珀西·亚历山大·麦克马洪（又名麦克马洪少校）手工计算出前200个分割数。事实证明，拉马努金和哈代的近似值非常精确。更重要的是，研究麦克马洪的列表使拉马努金得出了他最著名的观察结果之一。麦克马洪将 p(n) 的值从 n = 0 开始，排列成五列。拉马努金注意到，最后一列中的每个条目——也就是说，从 p(4) 开始的每第五个分割数——都可以被 5 整除，并且他证明了这种模式会永远持续下去。这是一个令人震惊的启示。请记住，分割是关于加数字。没有人想到它们可能具有涉及除法的性质。
拉马努金看到还有更多像这样的模式。例如，他证明了从 p(5) 开始的每第七个分割数都可以被 7 整除。同样，从 p(6) 开始的每第 11 个分割数都可以被 11 整除。神秘的是，“拉马努金同余”就此止步。“对于涉及除这些质数以外的任何模数，似乎都没有同样简单的性质，”拉马努金在 1919 年的一篇论文中写道，他指的是质数 5、7 和 11。
在他去世后，数学家们想知道分割是否可能有一些不太简单的性质，他们试图找到这些性质。然而，到20世纪90年代末，他们还没有挖掘出超过少数几个涉及看似随机的质数和质数幂的额外同余，包括 29、17
3 和 236。他们开始怀疑这样的模式是不可预测的——而且非常非常罕见。
然而，在研究了拉马努金手稿中那些早已过时的六个陈述后，小野震惊地意识到，这些怀疑可能非常非常错误。数学家们长期以来一直认为分割数只与模形式的一小部分子集有关。令小野困惑的是，拉马努金的六个陈述以一种无人预料到的深刻方式将这两个领域联系起来。
由于拉马努金没有记录证明，小野无法直接识别这位天才思想过程中的错误。因此，他决定将一些数字代入拉马努金在陈述中包含的公式，希望这些例子可能会揭示一些缺陷。然而，这些公式每次都有效。“天哪！”小野对自己说。他意识到拉马努金一定是正确的，“因为除非你知道那个公式为什么总是正确的，否则你不可能有足够的创造力来编造出这样的东西，并且让它100次都是真的。” 然后他闭上眼睛，认真思考拉马努金理解了什么，而其他人没有理解。
小野知道模形式“到处都是同余”——拉马努金在分割数中发现了一些实例的那些相同的可除性模式。当小野思考这六个陈述时，他突然想到，如果他将分割函数视为伪装的模形式，他就可以证明它们是正确的。
另一个想法紧随其后：他意识到，他大声笑了起来，他开发的关于模形式的理论可以成为强大的工具，不仅可以验证拉马努金的天才，还可以挖掘关于分割函数的更深层次的秘密，只需做一些调整。“这有点像得到了一架精美的新望远镜，”小野回忆道。“一旦你有了它，如果你开始扫描太空——在这个太空里，星星是分割数——你会看到那里有很多很多的星系。”
通过这种方式，小野能够证明分割同余根本不罕见。数学家们一直认为，除了 5、7 和 11 之外，几乎没有其他同余。但事实上，正如小野发现的那样，有无限多个。
小野的同行们称赞这一发现具有突破性。然而，他并不满意。即使他可以证明分割同余无处不在，他也无法告诉你去哪里找到它们。如果你按顺序排列分割数，你可能想知道同余出现的频率。如果你看到了一个，你能预测什么时候会看到下一个吗？小野一无所知。
当一个问题难倒小野时，他拒绝痴迷地在脑海中咀嚼它，直到它像旧口香糖一样没有弹性。相反，他把它和其他未解决的问题一起存档在脑海中，直到它重新浮出水面。关于如何预测分割同余的问题沉寂了五年，直到博士后研究员扎卡里·A·肯特在2010年春天来到埃默里大学。这个问题只是在一天谈话中突然出现，很快他们就一直在谈论它——在他们的办公室里，在咖啡馆里，以及在亚特兰大北部树林中的一次长途跋涉中。
他们一点一点地在脑海中构建了一个迷宫般的上层建筑，可以将分割数整齐地排列在其中。他们使用一种理论装置发现了这种组织，数学家称之为算子。他们选择的特定算子取任意质数（比如 13），选择该质数的幂（13
2, 133 等等），并将它们除以分割数。令人难以置信的是，它吐出的数字遵循分形结构——它们在不同的尺度上以几乎相同的模式重复，就像雪花的枝杈一样。这个结果表明，分割数不仅仅是一个随机的数字序列，其中偶然散布着对称性。相反，小野说，这些数字具有“美丽的内在结构”，这使得它们可预测，并且更令人着迷。
小野、肯特和他们的合作者、耶鲁大学的阿曼达·福尔瑟姆花了几个月的时间才解决了他们新理论中的所有缺陷。但最终，他们能够证明分割同余以可计算的方式出现。它们存在于每个质数和每个质数幂。然而，超过 11 之后，模式变得更加复杂，这可能就是拉马努金从未研究出它们的原因。
小野和他的合作者在2011年在埃默里大学专门召开的研讨会上展示了他们的发现。之后，祝贺信息涌入了小野的收件箱。“这是一个戏剧性和令人惊讶的发现，”宾夕法尼亚州立大学的分割专家乔治·E·安德鲁斯说。“我认为即使是拉马努金也无法梦想得到它。”
美丽的答案
调查拉马努金的见解使小野获得了其他启示，这些启示有一天可能会在数学以外的领域发挥作用。通过将拉马努金的先见之明与现代数学相结合，小野和他的同事们设计了强大的计算工具。除了促进纯数学的理解之外，这些工具还可以为更好地加密计算机数据和研究黑洞铺平道路。
小野与德国达姆施塔特工业大学的扬·布鲁尼耶合作，构建了一个用于快速准确计算大分割数的公式——拉马努金从未获得的圣杯。小野称这个计算器为“预言机”。他说，除了计算分割数之外，它还可以用于研究某些类型的椭圆曲线——看起来有点像甜甜圈表面的几何对象。
密码学家使用椭圆曲线来创建用于加密计算机数据的算法。这些方案的成功取决于它们生成及时解决不了的数学难题的能力。例如，一种名为 RSA 的通用算法依赖于分解两个非常大的质数的乘积的难度。较新的方法使用椭圆曲线上的点，这些点的关系更难辨别。如果预言机或相关发现能够揭示其他更难以捉摸的联系，密码学家可能会利用这些知识来设计更强大的加密系统。
小野的工作还揭示了拉马努金数学遗产中最伟大的谜团之一。在去世前三个月，拉马努金因发烧和疼痛卧床不起，匆匆给英国的哈代写了最后一封信。“我非常抱歉，至今没有给您写过一封信，”他写道。“我最近发现了一些非常有趣的函数，我称之为‘伪’西塔函数……它们像普通的西塔函数一样优美地进入数学领域。”
西塔函数本质上是模形式。拉马努金推测，有可能描述新的函数——伪西塔函数——它们看起来一点也不像模形式，但在称为奇点的特殊输入处表现相似。接近这些点时，函数的输出会膨胀到无穷大。例如，考虑函数 f(x) = 1/x，它在 x = 0 处有一个奇点。当输入 x 越来越接近 0 时，输出 f(x) 会无限增大。模形式有无数个这样的奇点。拉马努金直觉地认为，对于每个这样的函数，都存在一个伪西塔函数，它不仅具有相同的奇点，而且在这些点产生的输出也以几乎完全相同的速率趋于无穷大。
直到 2002 年，一位荷兰数学家桑德·茨韦格斯才正式定义了伪西塔函数，他使用了拉马努金去世几十年后形成的观点。然而，数学家们仍然无法解释拉马努金关于这些函数在其奇点处模仿模形式的断言。
小野和布鲁尼耶的预言机背后的机制最终解决了这个难题。小野与福尔瑟姆和斯坦福大学的罗伯特·罗兹一起，使用它推导出了用于计算伪西塔函数在接近奇点时的输出的公式。事实上，他们发现拉马努金的猜想是正确的：这些输出非常像模形式中相应奇点附近的输出。例如，在一种情况下，数学家们发现它们之间的差异非常接近于 4，在这个无限数字的宇宙中，这是一个令人惊讶的整洁且几乎可以忽略不计的差异。
物理学家最近开始使用伪西塔函数来研究黑洞的一种叫做熵的性质——熵是衡量系统接近能量平衡完美状态的程度的指标。一些科学家认为，类似于小野公式的公式可能使他们能够更精确地探测这种现象。
小野告诫我们，不应该对他的工作的潜在应用抱有太大的期望。像许多理论家一样，他认为，实际用途并不是使这些发现伟大的原因。他认为，伟大的发现之所以伟大，就像一幅画或一首奏鸣曲之所以伟大一样。安德鲁斯同意道：“肯的定理不会为我们提供无限量的绿色能源，也不会治愈癌症或任何类似的东西。” 数学发现通常在几十年后才在科学技术中发挥重要作用。预测这些作用是什么，即使不是不可能的，也是很困难的。
小野仍然可以回忆起第一次看到拉马努金的同余被写出来时的那种欣喜，他父亲稳健的手在黄色的法律用纸上书写着陌生的符号。“为什么只有三个？”他记得问。“没人知道，”他父亲告诉他。
当他讲述这个故事时，小野正坐在佐治亚州的家庭餐厅里。他身后的墙上挂着一张拉马努金青铜半身像的装裱照片，这张半身像是用小野的父亲和世界各地数百名其他数学家和科学家的25美元捐款为他的遗孀委托制作的。“我做梦也没想到有一天我会说，‘你知道吗，爸爸？那些同余不是唯一的——远远不止这些。’”