我仍然清楚地记得14年前的那一天，一个名叫丽莎的高个子、非常害羞的六年级学生坐在我家厨房的桌子旁，上了她的第一堂数学课。丽莎的校长推荐她参加我与几个朋友在我公寓里开始的免费课后辅导计划。虽然我向校长要求推荐数学有困难的学生，但我并没有为丽莎做好准备。
我计划通过教丽莎加分数来增强她的自信心。作为一名辅导老师，我从之前的经验中了解到，孩子们在第一次接触分数时常常会对数学产生焦虑。因为我的课程涉及乘法，所以我问丽莎她是否记不住任何乘法表，但她茫然地看着我。她不知道乘法是什么意思。甚至以一以外的数字计数的概念对她来说也很陌生。我的问题让她感到害怕，当我提到最简单的概念时，她不停地说：“我不明白。”
我不知道该如何帮助丽莎，所以我决定看看她是否可以学会按二计数，以便她最终可以乘以二。为了减轻她的恐惧，我告诉她，我确信她足够聪明，可以学会乘法。我担心我可能是在给她虚假的赞扬，但我的鼓励似乎帮助她集中注意力，她取得的进步比我预期的要大。
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我每周为丽莎辅导一次，持续了三年。在九年级时，她从数学补习班转了出来，在第二个学期，她跳了一级，进入了十年级数学班。她能够在测试中独立解决文字题和进行复杂的运算，而且我曾多次看到她自学教科书中的内容。她十年级数学的期末成绩是C+，但她提前了一年。她只用了100个小时的课程就从一年级升到了九年级，这比她在学校一年内接受的课程还要少。如果我有更多的时间来辅导她，她本可以做得更好。
在与丽莎和其他我辅导的学生一起工作的过程中，我确信孩子们学习数学的潜力远远超过他们在学校通常表现出来的水平。我将我的辅导计划注册为慈善机构，名为JUMP（少年未被发现的数学神童）数学，并开始了长达十年的探索之旅，以确定孩子们真正的数学能力，以及为什么这么多人觉得这门学科难以学习。JUMP数学现在是一个课堂课程，在加拿大有超过10万名中小学生使用。在美国，一些学区正在测试与共同核心州立标准对齐的JUMP版本。
根据我作为辅导老师，然后作为数百个课堂的志愿者的经验，我总结出了一些原则，这些原则构成了JUMP的基础，并得到了教育心理学和认知科学研究的支持。这些原则包括提供大量练习，给学生即时反馈，教授通用的数学问题解决策略，以及通过将问题分解为小的、可管理的步骤来帮助学生发现新概念。
令人惊讶的是，这些原则不仅适用于一对一的课程，也适用于整个班级。例如，在2011年儿童发展研究学会上发表的一项随机对照研究中，多伦多病童医院和多伦多大学的认知科学家特蕾西·所罗门和罗斯玛丽·坦诺克发现，在18个使用JUMP的教室中，学生在多项标准化数学测试中表现出的进步速度是另外11个接受标准教学的教室的两倍。在英格兰市中心学校进行的大型多年试点项目，以及许多其他轶事报告也表明，JUMP数学将学生的数学水平提高到比大多数标准方法更高的水平，同时显着缩小了较弱学生和较强学生之间的差距。
小发现
我相信，许多孩子在数学以及其他学科中遇到困难的根本原因是对自然学术等级制度的信念。早在幼儿园，孩子们就开始将自己与同龄人进行比较，并将一些人识别为在各个学科中“有天赋”或“聪明”。一个认为自己没有天赋的孩子通常会停止注意力集中或努力学好。这个问题在数学中比在其他学科中更有可能迅速加剧，因为当你在数学中错过一个步骤时，通常不可能理解接下来发生的事情。孩子失败的次数越多，她对自己能力的负面看法就越会得到加强，孩子学习的效率也就越低。
这种对等级制度的信念导致孩子在数学方面的成功差异大于实际能力差距。良好的教学可以打破数学中的等级制度，这意味着孩子目前的成绩水平不一定决定她在数学方面的长期成功。
在过去的15年中，北美大多数学校都采用了一些发现式或探究式数学课程，在这些课程中，学生应该自己弄清楚概念，而不是被明确地教导。基于发现的课程往往较少关注可以通过遵循一般规则、程序或公式（例如“找到一个长五米、宽四米的矩形的周长”）来解决的问题，而更多关注基于现实世界示例的复杂问题，这些问题可以用多种方式解决，并且有多个解决方案（“使用六块正方形瓷砖，制作一个周长最小的庭院模型”）。学生不是记忆事实和学习标准算法（如长除法），而是主要通过探索概念和开发自己的计算方法来学习数学，主要是通过使用具体材料的动手活动。
虽然我同意发现式教学法的许多目标和方法，但越来越多的研究表明，它的一些要素存在明显的缺点。例如，为了使数学更相关或更吸引人，教师通常会选择插图密集或涉及使用具有吸引力特征的具体材料的教科书，但这些细节实际上会阻碍学习。例如，在2013年，俄亥俄州立大学的心理学家康斯坦斯·卡明斯基和弗拉基米尔·斯洛茨基教两组小学生阅读条形图，使用了两种不同类型的图表：一种有堆叠的鞋子或鲜花的图片，另一种更抽象的图表有实心条。当图表的比例改变以反映物体数量的倍数时，使用条形图学习的学生更擅长阅读图表。使用图片教学的学生往往会因数物体而分心，因此没有看图表上的比例。
数学教学方法不仅应避免用无关材料分散学生的注意力，还应避免一次性给学生提供过多的信息。发现式教学法可能会给工作记忆带来巨大的负担，工作记忆是我们解决数学问题时大量使用的临时心理草稿纸。人类的工作记忆非常有限。平均而言，它一次可以容纳大约七个数字的等量信息，如果问题需要大量新知识，复杂问题的需求很容易超过这个限制。
根据荷兰开放大学心理学家保罗·基尔希纳及其同事在2006年发表的一篇文章，由于这种沉重的认知负荷，基于纯粹发现的课程效果不如教师通过提供反馈、演示示例和提供其他指导来帮助学生驾驭问题复杂性的课程。关键是学生要有剩余的心理容量来进行推断、整合知识和重组信息。“过去半个世纪收集的经验证据始终表明，最少指导的教学不如那些强烈强调学习过程指导的教学方法有效和高效，”基尔希纳及其合著者写道。在2011年对164项基于发现的学习研究进行的荟萃分析（定量回顾）中，纽约市立大学心理学家路易斯·阿尔菲耶里及其同事得出结论：“无辅助的发现对学习者没有益处，而反馈、工作示例、支架和引出的解释确实有益处。”
微探究
考虑到这些数据，我们在设计JUMP时加入了额外的例子、活动和练习等支持。基于一种称为引导发现或微探究的方法，JUMP课程要求学生在教师的指导下推导出概念并解决问题，以便几乎所有学生都能成功。更重要的是，教师的指导与某些极大地帮助数学学习的原则密切相关。
其中之一是支架式教学，这意味着将学习分解为若干部分，并提供相关的例子和练习，以帮助学生攻克每个部分。在支架式课程中，概念以逻辑顺序引入，一个想法自然而然地引出下一个想法。例如，如果你问六年级学生这个问题：“如果一个城镇的女孩与男孩的比例是4比5，那么女孩占几分之几？”许多人会回答五分之四，或80%。正确的答案是九分之四，这需要理解分母必须代表所有孩子，而不仅仅是男孩。
在关于比率和百分比的支架式JUMP课程中，第一个问题要求学生在诸如“有3个女孩和10个孩子”和“有6个男孩和5个女孩”之类的陈述后，写下班级中女孩、男孩和孩子的数量。下一个问题要求做同样的事情，但学生还必须写下女孩和男孩的比例。稍后，当学生在各种问题中找到女孩或男孩的比例时，他们必须说他们给出的是部分和整体，两个部分，还是“错误”的部分和整体。这一系列任务阻止学生通过简单地将一个数字放在另一个数字之上而不考虑数字的含义来形成分数。通过这种方法，可以通过一系列小步骤来教授甚至最大的想法。
此类课程旨在预测潜在的混淆或知识 gaps。再举一个不同的例子，如果五年级学生被要求在方格纸上画出所有可能的边长为整数且周长为12厘米的矩形，许多人会从画出下图所示的图形开始。
在第一种情况下，学生将周长与面积混淆了；在第二种情况下，孩子在完成矩形之前用完了分配的周长。为了让学生为绘画练习做好准备，老师可以画出矩形的一条边，并给学生时间练习完成绘画，直到他们理解周长是如何环绕图形的。老师还可以讨论一个生成所有答案的系统——例如，从宽度为1的矩形开始，然后是宽度为2的矩形，依此类推。
尽管试图防止此类混淆，学生仍然会犯很多错误，那些重复错误的学生会开始怀疑自己的能力，并对数学能否让他们理解失去希望。出于这个原因，JUMP数学课程计划指示教师提供即时反馈和持续评估。在每个JUMP课程中，课程包含一系列问题、练习和挑战，老师会选择性地批改和讨论学生完成的作业，以便在学生继续前进之前发现并纠正错误和误解，而不是在一周后进行测试，那时可能为时已晚，无法帮助那些落后的学生。
JUMP的另一个基本要素是为孩子们提供解决数学问题的通用工具。许多成年人都在努力解决以下基本问题：“一个人排在第5152位，另一个人排在第2238位。他们之间有多少人？”大多数人会通过减法来找到答案，但如果你问他们如何知道自己的答案是正确的，他们通常无法说出来。我知道这种方法会给出错误的答案，但这并不是因为我生来就具有看穿它的能力。作为一名数学家，我学习了解决问题的基本策略，包括这个策略：创建一个更简单的问题版本并解决它。在这种情况下，我会想象五个人排队，并问排在第四位的人和排在第二位的人之间有多少人。显然，一个人。从那个更简单的场景中，我立即发现减去位置会得到一个高出一个的答案。
熟能生巧……
我曾经辅导过一个患有严重注意力缺陷障碍的学生，他在四年级时还没有学会任何乘法口诀。我告诉他我要给他一个挑战：我会教他如何在脑海中将大数加倍。我写了
我用手遮住了数字的百万部分以外的所有部分，并让他读出他能看到的内容。他说，“两百三十四”，然后说“百万”。我缩回手，露出千位部分，他说，“一百二十二千”。当我露出数字的其余部分时，他说，“一百四十一”。正如我所希望的那样，这个男孩对读出这个巨大的数字感到兴奋，并要求读更多的数字。然而，我真正的目标是激励他进行乘法运算。所以我列出了二倍表的前四个条目，并向他展示了如何通过将每个数字加倍并将结果写在数字下来将一个大数加倍。当他高兴地将数字加倍时，这个男孩记住了这个列表，很快就不再需要它了。他在几分钟内练习并学会了二倍表的一部分，而他自己并没有意识到。
虽然一些教育理论家通过称之为“死记硬背”使练习看起来不必要或有害，但孩子们需要练习才能成为专家。因此，教育中真正的挑战是使练习变得有趣。如果教师像我在大数字课程中所做的那样，将学习变成一个具有不同级别和曲折的游戏，学生们就会乐于长时间练习。
JUMP数学课程计划还包括额外的“拓展”问题，使中小学教师能够为所有学生提供大致相同的课程，而不会让较强的学生感到无聊或拖他们的后腿。通常，教师会尝试通过给较快的学生提出引入新概念、技能和词汇的问题来挑战他们。因此，学生需要老师的帮助，从而剥夺了班级其他学生的老师注意力。在JUMP课程中，教师会布置一组难度逐渐增加的奖励问题，孩子们可以自己完成这些问题，因为它们不会引入新的技能或概念。然而，他们感觉自己正在克服一系列有趣的挑战，类似于在视频游戏中发生的情况。例如，如果老师要求四年级学生说出序列“63、67、71、75……”的规则，那么对于那些答案显而易见的学生，可以给他们奖励问题，例如“这个序列中有一个错误；你能纠正错误吗？”（学生们喜欢这个。）或者“找出序列 3、_、_、18……中缺失的数字”或者“说出序列 1、4、7、10……中小于 100 的奇数有多少个。”
这些问题有助于更高级的学生更深入地理解课程。此外，当最初较慢的年轻人看到他们可以应付这项工作时，他们会加快速度，以便他们也可以获得奖励问题。事实上，忠实地遵循JUMP课程计划的教师可以显着缩小较弱学生和较强学生之间的差距。
例如，在2007年秋季，多伦多梅宾学校的五年级教师玛丽·简·莫罗给她的学生进行了一项名为数学能力测试的标准化评估。班级平均成绩为54%，分数范围很广，其中包括一名学生的成绩仅为9%。五分之一的学生被认定为有学习障碍。然后，莫罗放弃了她通常的做法，这意味着将她能找到的最佳材料组合成课程，并遵循JUMP课程计划。经过一年的JUMP课程，班级平均成绩上升到98%，最低分数为95%。经过两年的JUMP课程，她的18名学生中有17人报名参加了毕达哥拉斯数学竞赛，这是一项针对六年级学生的著名竞赛，其中14人获得了杰出奖（另外三人紧随其后）。
这个案例并非孤立。2006年，兰贝斯（英格兰最贫困的行政区之一）的数学顾问尼基·阿杜巴招募教师在六年级开始时对159名低于年级水平一年的学生使用JUMP。几乎所有学生都有学习障碍或行为问题，很少有人有望通过全国数学考试。一年后，其中69%的人在数学方面进步了大约两年，60%的人通过了考试。阿杜巴报告说，连续四年对数百名不同年级的学生都取得了类似的结果。在另一个案例中，不列颠哥伦比亚省北部的穆海姆小学多年来在省数学考试中一直排在学区倒数10%。自从校长五年前引入JUMP数学以来，该学校一直保持在前 10%的行列。
增强自信心
JUMP中使用的基本学习策略都不是激进的，甚至在教育界也不是新的。但是JUMP严格地应用了这些策略，密切关注步骤的顺序和大小、提供的复习量以及提问方法等细节。如果说JUMP有什么新意，那就是指导其发展的假设，包括几乎所有学生都可以在数学方面取得比学校要求的更高的成就的观点。JUMP认为，相信自己能力的孩子可以像享受艺术或运动一样享受做数学的乐趣。克服挑战和锻炼思维是很有趣的，发现或理解美丽、有用或新颖的事物也可能是令人兴奋的。
学生通过在数学方面取得成功而获得的自信心可能会对他们生活的其他方面产生影响。因为数学应该很难，所以当孩子们认为自己有能力学习数学时，他们往往会认为自己可以学习任何东西。在兰贝斯，一位老师报告说，有行为问题的学生会训斥在数学课上行为不端的其他学生，因为他们非常投入到课程中。另一位老师写道，她的学生已经变得“大胆、独立的解决问题者”。我曾经教兰贝斯的11岁儿童阅读二进制代码，即代表计算机数字的0和1字符串。学生们似乎认为自己是小小的密码破译者，并要求更长的代码。在我去学校的第三天，当老师和我走进教室时，孩子们欢呼起来。
孩子们喜欢解谜、看图案和建立联系。他们的好奇心只会因失败而减弱。在过去的十年中，认知科学家和教育家已经开始揭示我们大脑最佳学习方式的机制，并且他们已经收集了证据，证明绝大多数学生可以在数学等学科中脱颖而出并热爱学习。我们这个时代最重要的一个问题是，我们是否会根据这些证据，按照孩子们的非凡潜力来教育他们。