1847年，加布里埃尔·拉梅证明了费马最后定理。或者他是这么认为的。拉梅是一位法国数学家，他做出了许多重要的发现。在那年三月，他感觉到自己可能取得了最大的成就：一个优雅的证明，解决了困扰最聪明头脑 200 多年的问题。
他的方法一直隐藏在显眼之处。费马最后定理指出，如果 n 大于 2，则方程 an+ bn= cn 没有正整数解，这已被证明是棘手的。拉梅意识到，如果他只是扩展他的数制以包含一些奇异的值，他就可以证明这个定理。
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向旧数字添加（或“附加”）新值并不难做到——有一个直接的数学方法可以将 5 的平方根作为 2 和 3 之间的正常数字合并，例如，之后您可以像往常一样继续进行算术运算。您所要做的就是将新数制中的每个值写成 a + b√5，其中 a 和 b 是整数。这似乎是一种笨拙的数字书写方式，但它可以作为创建与旧数制功能相同的新数制的连贯基础。数学家将这个新系统称为数“环”；他们可以根据他们选择合并的新值创建无限多种数环。
当然，在不产生意外后果的情况下，很难修改像数制这样复杂的东西。当拉梅开始附加这些有趣的数字时，起初一切看起来都很棒。但后来其他数学家指出，这种新获得的灵活性是以高昂的代价为代价的：新的数制缺乏唯一的素因数分解，即一个数（例如 12）可以唯一地表示为素数的乘积：2 x 2 x 3。这违反了传统算术的一个基石原则。
唯一素因数分解确保数制中的每个数都可以完全以一种方式从素数构建出来。在包含 √-5 的数环中（在实践中，数学家经常使用使用负数平方根的数制），重复性悄然出现：6 既是 2 x 3 又是 (1 + √-5) x (1 – √-5)。所有这四个因子在新数环中都是素数，这使得 6 具有双重存在，当您试图在数学上确定事物时，这是行不通的。
“在代数课上，当我们第一次教授唯一素因数分解有时不成立时，学生们会倒吸一口凉气，他们会说，‘哦，我的天哪，发生了什么事？’ 我们总是理所当然地认为一切都可以唯一地分解为素数，”曼朱尔·巴尔加瓦说，他是普林斯顿大学教授，也是数学界的最高荣誉菲尔兹奖的获得者。
唯一素因数分解是从基本构建块构建数制的一种方法。没有它，证明可能会漏洞百出。将根与常规数字混合使用作为对费马最后定理的攻击失败了，但正如数学中经常发生的那样，它失败的方式具有启发性。它开启了一个称为代数数论的独立研究领域。
今天，数学家们积极致力于研究数制的“类数”。在它们最粗略的形式中，它们是对数制在唯一素因数分解测试中失败程度的评级，具体取决于混合了哪些根：类数为“1”的数制具有唯一素因数分解；类数为“2”的系统稍微错过了唯一素因数分解；类数为“7”的系统则错过了更多。
从表面上看，您会期望类数是随机分布的——类数 5 的出现频率与类数 6 相同，或者一半的类数是偶数。但事实并非如此，目前对该主题的研究旨在了解原因。今天，数学家们正在围绕类数的基础结构进行研究，并逐渐接近于确定长期猜想值的真相。这是一项努力，它产生了关于数字行为方式的见解，远远超出了对任何一个问题的证明。
理想对称性
在拉梅给出他失败的证明的同时，德国数学家恩斯特·库默尔开发了一种用他称之为“理想数”的方法来修复素因数分解损失的方法。它们在任何传统意义上都不是数字。相反，它们是集合论中庞大的结构，执行类似数字的功能。
例如，最简单的理想是给定整数的所有倍数的无限集合——5、10、15、20 等等。理想可以添加到已经扩展的数环中，以恢复唯一因数分解。它们允许数学家将相互竞争的素因数分解协调为一组素因子。
理想可以分为不同的类。您需要添加到数环中以恢复唯一因数分解的理想类的数量就是该环的“类数”。
致谢： 露西·瑞丁-伊坎达 量子杂志
类数的研究至少可以追溯到 19 世纪早期的卡尔·弗里德里希·高斯。作为该领域进展艰难的标志，他的许多成果仍然是最先进的。在他的贡献中，高斯推测有无限多个正平方根可以附加到整数上而不会失去唯一因数分解——对此的证明仍然是类数中最令人垂涎的结果（并且据传这足以让库尔特·哥德尔感到沮丧，以至于他放弃了数论而转向逻辑）。高斯还推测，只有九个负平方根可以保留素因数分解。√-163 是最后一个。
今天，对类数的研究仍然受到高斯的启发，但其中大部分发生在 1970 年代后期由数学家 亨利·科恩（波尔多大学数学荣誉教授）和 亨德里克·伦斯特拉（他最近从荷兰莱顿大学退休）建立的背景下。他们共同制定了科恩-伦斯特拉启发式方法，这是一系列关于特定类型的类数应该出现频率的预测。例如，启发式方法预测，在附加负数平方根的情况下，43% 的类数可被 3 整除。
“这很有趣，因为它告诉您类数的行为方式出乎意料。如果您去查看电话号码列表或其他内容，那么一般来说，其中三分之一应该可以被 3 整除，”阿克谢·文卡特什说，他是斯坦福大学的数学家。
高斯不得不手动计算类数。到科恩和伦斯特拉做出他们的预测时，计算机使得快速计算数十亿个不同数环的类数成为可能。因此，有充分的实验证据支持科恩-伦斯特拉启发式方法。然而，有信心地知道某事与证明它完全不同。
“可能在其他科学领域，您已经完成了。然而，在数学中，这仅仅是开始。现在我们想确定，”梅兰妮·伍德说，她是威斯康星大学麦迪逊分校的数学家。
类数不是随机分布的事实表明表面之下正在发生一些有趣的事情。记住，类数告诉我们关于给定数环的一些信息：恢复唯一因数分解所需的理想类的数量。这些理想类形成了该数环的“类群”。群具有各种有趣的结构属性，这些属性仅从知道它们包含的元素数量来看并不明显，就像知道家庭中的人数并不能告诉您关于这些人之间关系的信息一样。
为了理解类数为何如此分布，数学家需要研究产生类数的类群的结构。特别是，他们对一个群与另一个群中的对称量感兴趣，他们理解对称性较多的群的出现频率将成比例地低于对称性较少的群。
为了了解某物的对称量与其出现频率之间的关系，请考虑一个几何示例。从排列成三角形的三个点开始。（这些点类似于群的元素，但它们在任何真正的数学意义上都不是群。）现在考虑连接这些点的所有可能方式，这些点是数学关系的替代。有八种可能的配置
一个有三条线，构成一个三角形。
三个有两条线，构成一个“张开的下巴”形状。
三个有一条线，连接两个点。
一个没有线。
三角形有六个对称性，出现一次。张开的下巴形状有两个对称性，出现三次。或者，换句话说，三角形的对称性是张开的下巴的三倍，出现频率是张开的下巴的三分之一。这种关系——某物的对称性越多，它出现的频率就越低——在整个数学中都成立。这是真的，因为某物的对称性越少，它出现的可能性就越大。考虑一下，有无限多个没有对称性的二维形状，但只有一个具有无限对称线的形状——圆形。
“这不仅仅是一个粗略的 [相关性]，它是精确和准确的：如果一个东西的对称性是另一个东西的三倍，那么它出现的频率就是另一个东西的三分之一，”伍德说。
对于群的构造方式，某物的对称性与其出现频率之间的关系也是如此。在上面的示例中，关系由点之间绘制的线定义。在一个群中，关系是通过群的元素可以相加的方式建立的。
要成为一个群，这些加法关系必须满足某些公理。类群的元素必须遵守加法的结合律和交换律，并且必须包含一个零元素，使得零加上任何其他元素都不会改变该元素。整数在某种意义上是原始群，因为它们满足所有这些公理。但某些有限集（如类群）也满足这些公理，从而在本质上创建了微型数制。
知道一个群有，比如说，四个元素，并不能告诉您关于这四个元素如何相互关联的所有信息。考虑两个群——称它们为群 1 和群 2——每个群都有四个元素。这两个群的不同之处在于这些元素之间的加法关系。下表显示了在每个群中将一个元素添加到另一个元素时会发生什么。
在这种情况下，群的“对称性”发生在任何可能以保留群的加法结构的方式重新排列群的元素的地方。对于群 2，存在两个这样的对称性：“恒等”对称性（其中您不更改任何元素的位置）和交换 x 和 z 的对称性。（因为 x + x = y 且 z + z = y，x 和 z 是可互换的。）
群 1 具有更多的对称性。元素 a、b 和 c 都是可互换的，因为 a + a = 0、b + b = 0 和 c + c = 0。鉴于此，重新排列这三个元素的每种方式都是群的对称性（或“自同构”）。如果您完成所有组合，您会看到总共有六个对称性。综上所述，群 1 的对称性是群 2 的三倍。因此，您会期望找到群 2 的频率是群 1 的三倍，这与排列的出现频率与其对称性数量成反比的规则一致。这个定律对于具有四个简单元素（如群 1 和群 2）的群以及其他更复杂的理想群都是成立的。
当数学家面对类数时，他们想知道它所代表的底层群的结构。如果他们可以建立底层群的结构，并确定给定结构的群出现的频率，他们就可以将该信息带回表面，并用它来了解给定类数应该多久出现一次。
如果您开始检查群结构及其对称性，那么“突然它会告诉您类数的分布应该是什么样的，”巴尔加瓦说。
测试结构的新方法
上面的两个群（相对）容易解析。理想群更难确定；绘制它们的加法表并不容易。相反，数学家有探测群、测试其结构的方法，即使他们不能完全看到整个群。特别是，他们测试群中每个元素与零的距离。
回想一下，每个群都有一个零元素，当添加到任何其他数字时，该数字保持不变。为了研究类群的结构，数学家试图感受给定类群中有多少元素具有他们所谓的“n-扭转”，这意味着当您添加 n 个元素的副本时，您最终会得到群的零。例如，如果 x + x = 0，则元素是 2-扭转，如果 x + x + x = 0，则元素是 3-扭转，如果 x + x + x + x = 0，则元素是 4-扭转，依此类推。
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使上面两个群之间的差异清晰化的一种方法是考虑它们有多少元素是 2-扭转的。在群 1 中，所有四个元素都是 2-扭转的，这从对角线上的零行可以明显看出：0 + 0 = 0、a + a = 0、b + b = 0、c + c = 0。在群 2 中，只有 0 和 y 是 2-扭转的。群中不同类型的扭转量是对群的整体结构的精确反映。
“如果两个群中 n-扭转元素的数量对于所有 n 都相同，那么它们就是同一个群。调查有多少 n-扭转元素是一个简单的策略，它可以探测群，并且如果您了解关于扭转的所有信息，就足以恢复群，”巴尔加瓦说。
今天，关于科恩-伦斯特拉启发式方法的许多工作都与确定类群中有多少元素具有不同类型的扭转有关。关于扭转的科恩-伦斯特拉预测非常容易陈述。例如，如果您附加负数的平方根，那么它们的类群中应该有多少理想具有 3-扭转？科恩-伦斯特拉预测每个数环平均应该有两个 3-扭转元素。应该有多少具有 5-扭转？7-扭转？11-扭转？对于每个素数，答案再次是二。
这种恒定性令人惊讶，因为从幼稚的角度来看，您会期望具有给定扭转的元素的数量随着类群大小的增长而增长。然而，即使类群的大小各不相同，科恩-伦斯特拉启发式方法也预测，比如说，具有 3-扭转的元素的数量平均而言将保持不变。
“有趣的是，这个预测与素数无关，”巴尔加瓦说。“这是一个了不起的预测。”
这是一个了不起的预测，已经在无数次计算机运行中得到了统计证实，但仍然难以证明。
降低界限
科恩-伦斯特拉启发式方法，以及科恩和雅克·马丁内特在 1987 年的进一步扩展，已经存在了 40 多年。然而，您可以用一张便利贴总结关于它们的进展。仅证明了两种情况：一种是哈罗德·达文波特和汉斯·海尔布朗在 1971 年证明的，另一种是巴尔加瓦在 2005 年证明的。否则，“几乎没有证明任何东西，”巴尔加瓦说。
由于启发式方法的证明很难获得，数学家们采取了更适度的目标。他们希望证明给定素数的 n-扭转元素的平均数量是预期的，但在此之前，他们至少会满足于对该数量设置上限。这称为建立上限，数学家在这方面取得了逐步进展。
当您将负数的平方根附加到您的数制时，类数与平方根的大小成比例增长。如果您附加 –13 的平方根，您可以预期类群的大小最多约为 13 的平方根个元素。编写任何数字 n 的平方根的另一种方法是 n0.5，并且该数字——指数中的 0.5——是数学家在尝试确定上限时开始的地方。如果整个类群包含 n0.5 个元素，那么您从一开始就知道，3-扭转的元素不能超过 n0.5 个，因为那将是每个元素。因此，n0.5 被认为是类群中 n-扭转的平凡界限。
数学家通常使用几种通用方法之一来降低这些界限。一种方法称为“筛法”，您可以将其比作“淘洗” n-扭转元素，就像探矿者淘洗黄金一样。另外两种方法涉及复杂的变换，通过这些变换，具有 n-扭转的元素可以被计数为区域或曲线上的格点。
莉莲·皮尔斯是杜克大学的数学家，她是第一个打破平凡界限的人，当时她在 2006 年证明，特定数环中 3-扭转元素的数量最多为 n0.49。与平凡界限相比，这是一个小的改进，但它开启了一条其他数学家追随的道路。大约在同一时间，文卡特什和哥廷根大学的哈拉尔德·赫尔夫戈特独立地将界限降低到 n0.44，第二年，文卡特什和威斯康星大学麦迪逊分校的乔丹·艾伦伯格将界限进一步降低，降至 n0.33。这些预计不是最佳界限，但它们确实推动了该领域的发展。“从我的角度来看，首先证明任何东西都更重要，”文卡特什说。
该领域最新的最新结果来自巴尔加瓦和五位合著者：阿鲁尔·尚卡尔、高志谷、弗兰克·索恩、雅各布·齐默曼和赵永强。今年一月，他们在科学预印本网站 arxiv.org 上发布了一篇论文，将三次和四次数字环中 2-扭转的界限降低到 n0.28。在同一篇论文中，他们还证明了他们可以打破任何次数的数环的 2-扭转的平凡界限。
“这只是一点点节省，但它首次在无限多种情况下削弱了平凡界限，”皮尔斯说。
即使是这一点点节省也已经带来了数学红利。巴尔加瓦及其合作者使用的方法已被证明可用于限制特定类别的多项式方程（称为椭圆曲线）的解的数量，这与类数似乎位于许多不同数学领域的交叉点的方式一致。而且，虽然距离这种情况发生还有很长的路要走，但类数方面的进展最终可能会赎回它们所描述的数环的最初目的。
“仅仅通过研究这些类数，永远无法获得费马最后定理的证明，”巴尔加瓦说。“如果我们完全理解类群的总体行为方式，那么似乎可以想象这种证明可以适用于 FLT 和许多其他方程。这很难说，因为我们还有很长的路要走。”
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