1978年6月，在法国国家科学研究中心的一次会议上，数学家们带着极大的怀疑态度参加了罗杰·阿佩里的讲座。演讲的题目是“关于 ζ(3) 的无理性”，这在专家中引起了不小的轰动。
zeta 函数 ζ(3) 的值已经是一个悬而未决的问题 200 多年了。才华横溢的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉曾试图解决这个问题，但未能成功。现在，一位相对默默无闻且当时已年过六旬的法国数学家阿佩里声称已经解开了这个世纪难题。许多听众对此表示怀疑。
阿佩里的讲座并没有改善他们的看法。他用法语演讲，偶尔开玩笑，并省略了与证明相关的关键解释。例如，一开始，他就写下了一个房间里没有人知道的方程，但这个方程构成了他证明的核心。当被问及这个方程从何而来时，据说阿佩里回答说，“它们在我的花园里生长”，据说这导致许多听众站起来离开了房间。
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但一位与会者拥有一台电子计算器——在当时是一种罕见的设备——并且通过一个简短的程序，检查了阿佩里的方程，发现它是正确的。这样一来，阿佩里再次引起了房间里的注意。“阿佩里令人难以置信的证明似乎是奇迹和神秘的混合体，”出席讲座的数学家阿尔弗雷德·范德波顿写道。
专家们花了几个星期的时间才理解和检查证明的细节。阿佩里并没有真正让他们的任务变得更容易：例如，在一次会议上，他开始谈论法语的状况，而不是专注于数学。但在大约两个月后，情况变得明朗起来，阿佩里成功地完成了欧拉 200 年前未能完成的事情。他能够证明 ζ(3) 是一个无理数。
与素数的联系
zeta 函数的历史可以追溯到很久以前。1644 年，意大利数学家皮耶特罗·门戈利想知道，如果将所有平方数的倒数加起来会发生什么：1 + 1⁄4 + 1⁄9 + ... 然而，他无法计算出结果。其他专家也未能完成这项任务，包括瑞士巴塞尔著名的伯努利科学家家族。事实上，又过了 90 年，另一位来自该市的居民，当时 27 岁的欧拉，才找到了所谓的 巴塞尔问题 的解决方案：欧拉计算出无限和为 π2⁄6。
但欧拉决定专注于手头更普遍的问题。他对一整类问题感兴趣，包括寻找立方数、四次方数等等的倒数之和。为此，欧拉引入了所谓的 zeta 函数 ζ(s)，其中包含一个无限求和
巴塞尔问题只是众多 zeta 函数之一，对应于值 ζ(2)。欧拉想为 zeta 函数的所有值找到一个解。事实上，他成功地计算出了偶数值 s = 2k 的结果。在这种情况下，
其中 p 和 q 是整数，因此答案始终是无理数。
然而，欧拉无法阐明当 s 是奇数时结果如何变化。他能够计算出结果的前几位小数，但无法计算出精确的数值。他无法确定奇数的 zeta 函数是否也取无理数值，或者结果是否可以表示为分数。
在随后的几年和几十年里，zeta 函数受到了极大的关注——并与当今 数学中最大的谜团 之一交织在一起。在 19 世纪，德国数学家伯恩哈德·黎曼不仅评估了自然数 s 的 zeta 函数，还评估了复数的 zeta 函数：可以包含负数平方根的实数值。1859 年，这种改变使他能够表达后来被称为著名的黎曼猜想的内容。有了它，原则上可以确定素数沿数轴的分布。由于理解素数不仅对数论至关重要，而且还应用于密码学等领域，密码学依赖于生成素数以进行安全加密，因此围绕这个谜团的风险很高。任何能够解决黎曼猜想的人都有望赢得一百万美元的奖金。
尽管 zeta 函数受到了如此多的关注，但没有人成功确定 ζ(3) 的确切值——更不用说找到一个普遍有效的公式来表示 zeta 函数的所有奇数值，就像欧拉成功地表示偶数值一样。当 ζ(3) 在 20 世纪物理学中出现时，事情变得特别有趣。
物理学中的黎曼 Zeta 函数
在 20 世纪初，物理学家发现了量子力学：一种颠覆了先前对自然理解的激进理论。在这里，粒子和波之间的界限变得模糊；某些值，例如能量，仅以比特和片段（量子化）的形式出现，并且自然规律的公式包含不基于测量误差而是来自数学本身的不确定性。
在 20 世纪 40 年代，研究人员成功地提出了电磁学的量子理论。除其他外，它规定真空永远不是真正空虚的。相反，它可以包含短暂的粒子-反粒子对的真正焰火表演，物质似乎是从虚空中创造出来的，但立即再次湮灭。
如果您想描述电动力学过程，例如两个电子的散射，则必须考虑粒子不断爆发的影响。这是因为瞬态粒子-反粒子对可以使电子偏离其轨迹。事实证明，如果您想描述这种效应，就会出现一个立方倒数的无限和，ζ(3)。
对于物理计算，知道 ζ(3) 的数值到小数点后几位就足够了。但数学家想更多地了解这个数字。
阿佩里的证明
阿佩里能够确定 ζ(3) 是无理数，很像偶数值的 zeta 函数。他的证明基于先前未知的 ζ(3) 的级数表示——他据称声称在自己的花园中找到的奇怪方程
通过这个表达式，他能够使用德国数学家古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷在 19 世纪推导出的无理性条件。它指出，如果存在无限多个具有不同部分的整数 p 和 q，则数字 χ 是无理数，因此满足以下不等式
这里 c 和 δ 表示常数值。虽然公式看起来很复杂，但它基本上意味着 χ 可以很容易地用分数近似，但没有与 χ 对应的分数。阿佩里成功地推导出了 ζ(3) 的这个不等式。从那时起，情况就很清楚了：ζ(3) 是无理数。
为了纪念这位法国数学家的工作，ζ(3) 的值现在以他的名字命名，被称为阿佩里常数。然而，这并没有回答与之相关的所有问题。专家们仍然希望获得 ζ(3) 的明确数值，该数值可以使用已知常数来表示，例如 ζ(2) = π2/6 的情况。但我们今天离这个梦想还很遥远。
本文最初发表于《Spektrum der Wissenschaft》，经许可转载。