1611年，德国数学家约翰内斯·开普勒对堆叠橙子或其他球体以最小化它们之间空间的最密集方式提出了猜想。 似乎没有什么能比得上标准水果摊的摆放方式，但他无法确凿地证明这一点。四百年后，匹兹堡大学数学家托马斯·黑尔斯最终证明了杂货商一直都是对的。但是，如何最紧密地堆积球体的问题并不局限于我们微不足道的三维空间——数学家们还可以想象任意维数的假想空间中的这个问题。
今年三月，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡娅，柏林数学学院和柏林洪堡大学的博士后研究员，解决了八维空间中的球体堆积问题。接下来的一周，她和几位合作者将她的技术扩展到二十四维空间。在看似任意的八维和二十四维空间中解决这个问题，突显了球体堆积的基本怪异之处，这个问题现在只在一维、二维、三维、八维和二十四维空间中得到解决。这一突破让研究人员看到了希望，即基于她的技术可能是解决更高维度球体堆积问题的可行方法。“这才是理解球体堆积的开始，而不是结束，”微软研究院的数学家亨利·科恩说，他是维亚佐夫斯卡娅二十四维案例的合作者之一。
尽管几乎不可能可视化八维空间，但数学家们可以通过类比低维空间来轻松处理八维、二十四维或数千维空间。在三维空间中，点使用三个坐标标记——长度、宽度和高度，或 x、y、z——因此在八维空间中，点使用八个坐标标记。
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在三维空间中，球体是三维空间中所有点到中心点等距的点的集合。在八维空间中，它是八维空间中所有点到中心点等距的点的集合。在任何维度中，球体堆积问题是如何排列大小相等的球体，使它们之间的空隙尽可能小。
尽管数学家们似乎应该按顺序解决更高维度的问题——在解决三维问题之后，研究人员可以基于他们的工作来解决四维问题，然后再解决五维问题——但维亚佐夫斯卡娅跳过四维到七维并解决了八维球体堆积问题，以及 24 维是紧随其后的维度，这绝非偶然。“我喜欢球体堆积问题的一部分原因是每个维度都有其自身的特性，”科恩说，他研究球体堆积多年。“有些维度比其他维度表现得更好。”
在二维空间中，球体——或者在这种情况下是圆形——堆积很容易，因为相同大小的圆形可以紧密地组合在一起。每个圆形都可以被正好六个其他圆形包围，并且没有回旋余地。在三维空间中，没有这种超紧密的堆积。事实上，直到八维空间才出现另一种配置，称为 E8 晶格堆积，其中一切都锁定到位。在 24 维空间中，一种称为李奇晶格的堆积模式具有类似的特性。正是这些模式使这些维度如此易于攻克。
科恩和哈佛大学数学家诺姆·埃尔基斯在 2003 年发表的一篇论文中描述了一种新技术，用于查找许多不同维度中堆积密度的界限。他们的方法不是直接考虑堆积，而是考虑辅助函数——具有特殊属性的公式。他们认为，如果他们能找到合适的函数，他们的方法可以扩展到完全解决八维和二十四维的球体堆积问题，但这些函数让研究人员苦苦寻觅了十多年。维亚佐夫斯卡娅说，她几乎放弃了希望，但后来找到了一个最初看起来不相关但与科恩和埃尔基斯的工作完美契合的函数。“对我来说，这是所有事情都发生改变的时刻，我明白这个问题真的可以解决，”维亚佐夫斯卡娅说。
“许多其他人花了很长时间寻找使这种方法奏效所需的函数，但没有人对如何找到它有任何可靠的线索，”黑尔斯说，他对此深有体会。除了解决三维空间中的球体堆积问题外，他还研究过其他维度的问题，并花时间自己寻找该函数。“我认为当玛丽娜·维亚佐夫斯卡娅宣布这一发现时，我们都非常震惊。”
科恩说，对于像球体堆积这样的问题，解决方案可能会引起两种反应：尴尬，因为答案事后看来似乎如此明显；或者敬畏，因为这项工作确实是新颖的。维亚佐夫斯卡娅的解决方案属于后者。“她的定义乍一看有点特别。你为什么要这样做？但这可以通过她巧妙的转换来证明是合理的，”他说。“能够看到它并感到钦佩而不是遗憾，这真是太好了。”
如何将球体最紧密地堆积到更高维空间的问题，可能看起来像是只有数学家才会喜欢的那种问题。然而，事实证明，它远非不切实际。高维球体堆积构成了纠错码的基础，这些纠错码帮助我们在蜂窝网络、光纤电缆和其他信息在传输过程中可能丢失或更改的地方传输数据。这些应用将数据片段视为高维空间中的点。
尽管维亚佐夫斯卡娅的方法不太可能解决其他维度的球体堆积问题，至少在没有另一个重大突破的情况下不太可能，但它们可能有助于研究人员改进他们对球体在高维空间中可以堆积多紧密的估计。这些进步不如完全解决问题那么引人注目，但可能代表了数据传输风险很高的高维空间中的重大改进。