莫比乌斯带是奇特的数学对象。要构建这些单面表面之一，取一条纸带，扭转一次，然后将两端粘在一起。制作这些精美的东西非常简单，即使是幼儿也能做到，但这些形状的特性却足够复杂，能够引起数学家们持久的兴趣。
1858 年，莫比乌斯带的发现归功于两位德国数学家——奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯和约翰·贝内迪克特·李斯廷——尽管证据表明，数学巨匠卡尔·弗里德里希·高斯当时也意识到了这些形状，石溪大学的数学家莫伊拉·查斯说。无论谁先想到它们，直到最近，研究人员仍然被一个看似简单的问题所困扰：制作莫比乌斯带所需的最短纸条是什么？具体来说，对于“嵌入”而不是“浸入”的平滑莫比乌斯带，这个问题尚未解决，这意味着它们“不会相互渗透”或自相交，布朗大学的数学家理查德·埃文·施瓦茨说。施瓦茨说，想象一下，“莫比乌斯带实际上是一个全息图，一种幽灵般的图形投影到三维空间中”。对于浸入式莫比乌斯带，“事物的几层可能会相互重叠，有点像幽灵穿墙而过”，但对于嵌入式带，“没有这样的重叠”。
1977 年，数学家查尔斯·西德尼·韦弗和本杰明·里格勒·哈尔彭提出了关于最小尺寸的问题，并指出“如果你允许你制作的莫比乌斯带有自相交，他们的问题就变得容易了”，加州大学戴维斯分校的数学家德米特里·福克斯说。他补充说，剩下的问题是“非正式地说，确定你需要多少空间来避免自相交”。哈尔彭和韦弗提出了一个最小尺寸，但他们无法证明这个被称为哈尔彭-韦弗猜想的想法。
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施瓦茨大约在四年前首次了解到这个问题，当时宾夕法尼亚州立大学的数学家谢尔盖·塔巴奇尼科夫向他提到了这个问题，施瓦茨阅读了塔巴奇尼科夫和福克斯合著的一本书中关于该主题的一章。“我读了那一章，我就被迷住了，”他说。现在，他的兴趣终于得到了回报，找到了这个问题的解决方案。在 8 月 24 日发布在 arXiv.org 上的预印本论文中，施瓦茨证明了哈尔彭-韦弗猜想。他表明，由纸制成的嵌入式莫比乌斯带只能以大于 √3（约为 1.73）的纵横比构建。例如，如果纸条宽一厘米，则必须长于 √3 厘米。
解决这个难题需要数学创造力。福克斯说，当人们使用解决此类问题的标准方法时，“总是很难通过公式来区分自相交和非自相交表面”。“为了克服这个困难，你需要有[施瓦茨]的几何眼光。但这太罕见了！”
德国哥廷根大学的数学家马克斯·瓦德茨基说，在施瓦茨的证明中，“里奇设法将问题分解成易于管理的部分，每个部分基本上只需要基本的几何知识就可以解决”。“这种证明方法体现了最纯粹的优雅和美感之一。”
然而，在找到成功的策略之前，施瓦茨在几年里断断续续地尝试了其他策略。他最近决定重新审视这个问题，因为他一直隐隐觉得他在 2021 年的论文中使用的方法应该有效。
从某种程度上说，他的直觉是正确的。当他重新开始研究这个问题时，他注意到他之前的论文中关于“T 形图案”的一个“引理”（一个中间结果）中存在一个错误。通过纠正这个错误，施瓦茨迅速而轻松地证明了哈尔彭-韦弗猜想。施瓦茨说，如果不是这个错误，“我三年前就解决这个问题了！”
在施瓦茨对哈尔彭-韦弗猜想的解决方案中，T 形图案引理是一个关键组成部分。该引理从一个基本思想开始：“莫比乌斯带，它们上面有这些直线。它们是所谓的‘直纹曲面’，”他说。（其他纸质物体也具有此属性。“无论何时你在空间中有纸，即使它处于某种复杂的位置，但在每个点上，都有一条直线穿过它，”施瓦茨指出。）你可以想象画出这些直线，使它们横穿莫比乌斯带并击中两端的边界。
在他早期的工作中，施瓦茨识别出两条相互垂直且在同一平面上的直线，在每个莫比乌斯带上形成一个 T 形图案。“这些东西的存在根本不明显，”施瓦茨说。然而，证明它们的存在是证明引理的第一部分。
下一步是建立和解决一个优化问题，该问题需要在沿着横跨带子宽度的线段以一定角度（而不是垂直于边界）切开莫比乌斯带，并考虑由此产生的形状。对于这一步，在施瓦茨 2021 年的论文中，他错误地得出结论，认为这种形状是平行四边形。它实际上是一个梯形。
今年夏天，施瓦茨决定尝试另一种策略。他开始尝试将纸质莫比乌斯带压平。他想，“也许如果我能证明你可以将它们压平到平面上，我可以将其简化为一个更简单的问题，你只需考虑平面物体。”
在这些实验中，施瓦茨切开了一个莫比乌斯带，意识到，“哦，我的天哪，这不是平行四边形。它是一个梯形。” 发现自己的错误后，施瓦茨起初很恼火（“我讨厌犯错误，”他说），但随后又受到驱动，使用新信息重新运行其他计算。“修正后的计算给了我猜想中的数字，”他说。“我惊呆了……我花了接下来的三天，几乎没睡觉，只是在写这个东西。”
最终，这个 50 年历史的问题得到了解答。“尝试解决一个长期悬而未决的问题需要勇气，”塔巴奇尼科夫说。“这是理查德·施瓦茨的数学方法的特点：他喜欢攻击那些相对容易陈述但已知很难的问题。而且他通常会看到以前的研究人员没有注意到的这些问题的新方面。”
“我将数学视为人类的共同工作，”查斯说。“我希望我们可以告诉莫比乌斯、李斯廷和高斯，‘你们开始了，现在看看这个……’也许在某个数学的天空中，他们在那里看着我们，想着，‘哦，天哪！’”
至于相关问题，数学家们已经知道，嵌入式莫比乌斯带的长度没有限制（尽管在某些时候物理构造它们会变得很麻烦）。然而，施瓦茨指出，没有人知道如果用一条纸条制作一个有三个扭曲而不是一个扭曲的莫比乌斯带，这条纸条可以有多短。塔巴奇尼科夫说，更一般地，“人们可以询问制作奇数个扭曲的莫比乌斯带的最佳尺寸”。“我期望有人在不久的将来解决这个更普遍的问题。”
编者注（9/14/23）：本文在发布后进行了编辑，以更正当莫比乌斯带宽度大于 √3 厘米时其长度的描述，以及理查德·埃文·施瓦茨识别出的两条线如何在每个带子上形成 T 形图案的描述。