在一项推翻了数十年传统观念的突破中，两位数学家已经证明了两种不同的无穷大实际上是相同的大小。这项进展触及了数学中最著名且最棘手的问题之一：在自然数的无穷大大小和实数的更大的无穷大大小之间是否存在无穷大。
这个问题是一个多世纪前首次提出的。当时，数学家们知道“实数比自然数大，但不知道大多少。是下一个最大的大小，还是中间存在大小？”芝加哥大学的玛丽安特·马利亚里斯（Maryanthe Malliaris）说，她是这项新工作的共同作者，另一位作者是耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的萨哈隆·谢拉（Saharon Shelah）。
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在他们的新工作中，马利亚里斯和谢拉解决了有关一个无穷大（称之为 p）是否小于另一个无穷大（称之为 t）的 70 年前的相关问题。他们证明这两个实际上是相等的，这让数学家们大为惊讶。
“我当然认为，而且普遍认为，p 应该小于 t，”谢拉说。
马利亚里斯和谢拉去年在《美国数学会杂志》上发表了他们的证明，并且在今年 7 月获得了集合论领域的最高奖项之一。但是他们的工作的影响远远超出了这两个无穷大之间关系的具体问题。它开启了无限集合的大小与映射数学理论复杂性的并行工作之间意想不到的联系。
许多无穷大
无穷大的概念令人难以置信。但是，存在不同大小的无穷大的想法呢？这也许是有史以来最违反直觉的数学发现。然而，它源于一个即使是孩子们也能理解的匹配游戏。
假设你有两组对象，或者像数学家称呼的那样，两个“集合”：一组汽车和一组司机。如果每辆车都有一位司机，没有空车，也没有留下司机，那么你就知道汽车的数量等于司机的数量（即使你不知道这个数量是多少）。
在 19 世纪后期，德国数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）用数学的形式语言捕捉到了这种匹配策略的精神。他证明，当两个集合可以彼此一一对应时，它们具有相同的大小或“基数”，即每辆车都有一位司机。或许更令人惊讶的是，他表明这种方法也适用于无限大的集合。
考虑自然数：1、2、3 等等。自然数的集合是无限的。但是，仅仅是偶数集，或者仅仅是素数集呢？起初，这些集合中的每一个似乎都是自然数的一个较小的子集。事实上，在数轴上的任何有限范围内，偶数的数量大约是自然数的一半，而素数的数量更少。
然而，无限集合的表现不同。康托尔证明，这些无限集合的每个元素之间存在一一对应的关系。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …… | （自然数） |
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | …… | （偶数） |
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | …… | （素数） |
因此，康托尔得出结论，这三个集合的大小相同。数学家称这种大小的集合为“可数”的，因为你可以为每个集合中的每个元素分配一个计数数字。
在确定可以通过将无限集合彼此一一对应来比较它们的大小时，康托尔做出了更大的飞跃：他证明了一些无限集合甚至比自然数的集合更大。
考虑实数，即数轴上的所有点。实数有时被称为“连续统”，反映了它们的连续性质：一个实数和下一个实数之间没有空间。康托尔能够证明实数不能与自然数一一对应：即使在你创建了一个将自然数与实数配对的无限列表之后，总有可能想出另一个不在你的列表中的实数。因此，他得出结论，实数的集合大于自然数的集合。因此，第二种无穷大诞生了：不可数无限大。
康托尔无法弄清楚的是，是否存在中间大小的无穷大——介于可数自然数和不可数实数之间的大小。他猜测没有，这个猜想现在被称为连续统假设。
1900 年，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出了数学中 23 个最重要的问题。他把连续统假设放在首位。“这似乎是一个显而易见、亟待回答的问题，”马利亚里斯说。
在过去的一个世纪里，这个问题几乎被证明是数学家们最好的努力所无法解决的。是否存在中间无穷大？我们可能永远不会知道。
被迫退出
在 20 世纪上半叶，数学家试图通过研究出现在数学许多领域的各种无限集合来解决连续统假设。他们希望通过比较这些无穷大，他们可以开始了解自然数大小和实数大小之间可能非空的空白空间。
许多比较被证明很难得出。在 20 世纪 60 年代，数学家保罗·科恩（Paul Cohen）解释了原因。科恩开发了一种称为“力迫”的方法，证明了连续统假设独立于数学公理——也就是说，它无法在集合论的框架内证明。（科恩的工作补充了库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在 1940 年的工作，该工作表明连续统假设无法在通常的数学公理中被证伪。）
科恩在 1966 年赢得了菲尔兹奖（数学界的最高荣誉之一）。数学家随后使用力迫来解决过去半个世纪中提出的许多无穷大之间的比较，表明这些也无法在集合论的框架内得到解答。（具体而言，是策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理。）
不过，仍然存在一些问题，包括 20 世纪 40 年代关于 p 是否等于 t 的问题。p 和 t 都是无穷大的阶数，它们以精确（且看似独特）的方式量化自然数子集集合的最小大小。
这两个大小的细节并不重要。更重要的是，数学家很快就弄清楚了关于 p 和 t 大小的两件事。首先，这两个集合都大于自然数。其次，p 总是小于或等于 t。因此，如果 p 小于 t，那么 p 将是一个中间无穷大——介于自然数的大小和实数的大小之间。连续统假设将是错误的。
数学家倾向于认为 p 和 t 之间的关系无法在集合论的框架内证明，但他们也无法确定该问题的独立性。p 和 t 之间的关系在这种不确定的状态下持续了几十年。当马利亚里斯和谢拉找到解决这个问题的方法时，仅仅是因为他们在寻找其他东西。
复杂性顺序
大约在保罗·科恩将连续统假设推到数学范围之外的同时，模型论领域中正在进行着非常不同的工作。
对于模型理论家来说，“理论”是定义数学领域的公理或规则的集合。你可以将模型理论视为一种对数学理论进行分类的方法——对数学源代码的探索。“我认为人们对对理论进行分类感兴趣的原因是，他们想了解是什么真正导致了数学不同领域中某些事情的发生，”威斯康星大学麦迪逊分校的荣誉数学教授 H. 杰罗姆·凯斯勒（H. Jerome Keisler）说。
1967 年，凯斯勒引入了现在所谓的凯斯勒顺序，它试图根据数学理论的复杂性对其进行分类。他提出了一种测量复杂性的技术，并设法证明了数学理论可以分为至少两个类别：那些复杂性最小的理论和那些复杂性最大的理论。“这是一个小的起点，但我在那个时候的感觉是，会有无限多的类别，”凯斯勒说。
对于一个理论来说，复杂意味着什么并不总是显而易见的。该领域的大部分工作部分地受到了理解这个问题的愿望的驱动。凯斯勒将复杂性描述为一个理论中可能发生的事情的范围——并且可以发生更多事情的理论比可以发生更少事情的理论更复杂。
在凯斯勒引入他的顺序十多年后，谢拉出版了一本有影响力的著作，其中包括一个重要的章节，展示了复杂性中自然发生的跳跃——区分更复杂的理论和不太复杂的理论的界限。在那之后，凯斯勒的顺序在 30 年里几乎没有取得任何进展。
随后，在2009年她的博士论文和其他早期论文中，马利亚里斯重新研究了凯斯勒的序，并为它作为一种分类程序的强大性提供了新的证据。2011年，她和谢拉开始合作，以更好地理解该序的结构。他们的目标之一是根据凯斯勒的标准，确定更多使理论达到最大复杂性的属性。
马利亚里斯和谢拉特别关注了两个属性。他们已经知道第一个属性会导致最大复杂性。他们想知道第二个属性是否也会如此。随着他们工作的进展，他们意识到这个问题与p和t是否相等的问题是平行的。2016年，马利亚里斯和谢拉发表了一篇60页的论文，解决了这两个问题：他们证明了这两个属性的复杂性相同（它们都会导致最大复杂性），并且他们证明了p等于t。
“不知何故，一切都对齐了，”马利亚里斯说。“这是一系列被解决的问题的集合。”
今年7月，马利亚里斯和谢拉被授予豪斯多夫奖章，这是集合论领域的最高奖项之一。这项荣誉反映了他们证明的令人惊讶和出奇的强大性质。大多数数学家原本认为p小于t，并且在集合论框架内不可能证明这种不等式。马利亚里斯和谢拉证明了这两个无穷大相等。他们的工作还揭示了p和t之间的关系比数学家们意识到的要深刻得多。
“我认为人们认为，如果偶然发现这两个基数是可证明相等的，那么这个证明也许会令人惊讶，但这会是一些简短而巧妙的论证，不需要建立任何真正的机制，”康奈尔大学的数学家贾斯汀·摩尔说，他发表了对马利亚里斯和谢拉证明的简要概述。
相反，马利亚里斯和谢拉通过在模型论和集合论之间开辟一条道路来证明p和t相等，这条道路已经在两个领域开辟了新的研究前沿。他们的工作最终也解决了数学家们希望帮助解决连续统假设的问题。然而，专家们普遍认为这个看似无法解决的命题是错误的：虽然无穷大在许多方面都很奇怪，但如果我们发现的无穷大尺寸不多于我们已经发现的，那就太奇怪了。
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