在过去的几年里，我搬了好几次家。一次又一次，我不得不测量房间或家具，然后检查我是否能像计划的那样安排好一切。当我们使用卷尺、折叠尺或直尺时，我们不会质疑我们测量的物体是否可测量。只要某物不是无限延伸的，我们就应该能够为其指定长度、面积或体积。这正是数学家们所假设的——直到 19 世纪末，一切都发生了变化。
长期以来，如果你想测量几何物体，你会像我搬家时那样做：拿出卷尺就开始测量。诚然，如果你想确定复杂曲线下的面积，任务就变得更加困难。随着 17 世纪微积分的发展，数学家艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨以积分和导数的形式提供了新的测量工具，可以用来精确地确定几何图形的大小。但在 200 多年的时间里，没有人真正问过自己应该如何测量物体。
19 世纪末，当专家们试图将数学建立在稳定的基础上时，集合论成为了基石。该理论提出，一切事物——包括几何形状和复杂的微分方程——都可以追溯到基本集合。但是，如果几何形状只不过是集合，那么我们必须找到如何测量抽象集合的方法。
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让我们以数轴上 0 到 1 之间的区间为例，记为 [0, 1]。它包含无限多个实数，但是，为了我们的目的，我们假设它的长度对应于一厘米。数学家喜欢在没有单位的情况下进行计算，因此定义区间 [0, 1] 的长度为 1。类似地，区间 [0, 2] 的长度为 2，依此类推。
当然，专家们并没有简单地决定这一点，而是根据某些规则推导出来的。为了建立这些规则，他们试图总结长度、面积或体积等度量应具有的所有直观属性。即，空集的度量应为零；移动物体时，物体的度量不会改变；不重叠物体的度量等于各个物体度量的总和。从这三个简单的结论出发，可以定义各种维度，包括上述的长度维度，这符合我们的直觉。
要计算不重叠集合的度量，您可以将各个集合的度量相加。
Stephan Kulla/Wikimedia Commons（CC BY-SA 3.0）
这个过程可能看起来相当繁琐：毕竟，您凭直觉就知道结果。然而，这种方法使得更广泛地测量量成为可能，即使是那些没有几何概念的量。
抽象量的度量
当数学家最初对度量感兴趣时，他们最初研究的是函数（即，定义两个变量x和y之间关系的表达式或规则）。您可能还记得中学时，可以通过积分来确定函数下方的面积。例如，您可以使用黎曼积分，其中您形成上限和下限和来确定曲线下的面积。例如，请参见下图中的蓝色条，它们表示如何将 x 轴划分为可以加在一起以计算总面积的小区间。
但是，如果函数极其复杂，会发生什么情况呢？例如，如果你看一下不连续的狄利克雷函数，那么用通常的积分概念就走不了多远。如果 x 是有理数，则狄利克雷函数 χ(x) 的值为 1。否则，该函数的值始终为零。绘制此函数的图形，您将看到 χ(x) 由沿直线 y = 1 和 y = 0 的无数个点组成。由于函数的图形仅由单独的、不相连的点组成，因此不可能使用黎曼积分。
黎曼积分和勒贝格积分都通过分解来定义积分。黎曼积分垂直分解（蓝色），而勒贝格积分水平分解（红色）。
Svebert/Wikimedia Commons（CC0 1.0）
相反，您需要转向数学家亨利·勒贝格于 1902 年提出的勒贝格积分。在这种情况下，y 轴被划分为小区间——如上图中的红色条所示。要计算面积，您必须确定 x 轴上相应区间的宽度。
对于所有不像狄利克雷函数那样不连续的普通函数，勒贝格积分和黎曼积分提供完全相同的结果。勒贝格积分的优点在于它还可以为更复杂的情况指定面积。
因此，回到狄利克雷函数，在区间 [0, 1] 中，让我们使用勒贝格积分并将 y 轴划分为小段。函数的点仅位于 y = 0（对于无理数 x 值）或 y = 1（对于有理数 x 值），因此结果是 0 乘以范围 [0, 1] 中所有无理数的长度，加上 1 乘以 [0, 1] 中所有有理数的长度。此时，我们需要度量理论来为抽象集合指定长度：[0, 1] 之间的无理数和 [0, 1] 之间的有理数。由于只有可数个有理数（有关该陈述的证明，请参见下图和说明），因此它们的度量为零。[0, 1] 之间剩余无理数的度量因此必须为 1（因为 [0, 1] 中的所有实数加起来的度量为 1）。因此，狄利克雷函数在零和一之间的下方面积为 1 x 0 + 0 x 1 = 0。
考虑集合 M = {m1, m2, m3, ..., mi, ...}。由于 M 包含可数个元素，因此可以用整数索引 i 对它们进行编号。要确定维度 μ(M)，可以进行估计。为此，在每个 mi 周围形成一个小区间 Ii，其宽度 ε/(2i) 逐渐减小且任意小：Ii = [mi − ε⁄(2i+1), mi + ε⁄(2i+1)]，并从中形成一个新集合 C = {I1, I2, I3,..., Ii, ...}。因此，C 类似于原始集合，只是它不包含单个点 m，而是包含小区间。总的来说，C 的度量必须至少与 M 的度量一样大：μ(M) ≤ μ(C)。现在可以通过假设 ε 选择得足够小以至于区间 Ii 永不重叠来计算 C 的度量。然后，该度量对应于区间的加法长度：μ(C) = ∑i∞ε/(2i) = ε。这意味着 M 的度量必须小于或等于 ε：μ(M) ≤ ε。由于 ε 可以选择为任意小，因此 M 的度量必须为零。这证明对于每个可数集，μ(M) = 0 成立。
马农·比肖夫/光谱科学
测量问题出现
勒贝格积分在 1902 年引发了所谓的测量问题。专家们想知道是否有可能为每个量指定一个度量。仅仅三年后，数学家朱塞佩·维塔利给出了一个令人沮丧的答案：不，有些集合非常不规则，无法测量。
当维塔利构造了一个具体的集合，任何类型的度量都失败时，他意识到了这一点：维塔利集，以他的名字命名。他从简单的开始，考虑了 0 到 1 之间的所有数字的集合。然后，他将这个集合划分为不同的区域：如果 a – b 的结果是有理数，则两个数字 a 和 b 最终会落在同一范围内。例如，所有自然数和所有有理数都在同一区域。在另一个区域中，有 0.2 + √0.2 和 0.3 + √0.2，依此类推。因此，维塔利将区间 [0, 1] 划分为（不可数）无限多个小部分。
为了构造维塔利集，将区间 [0, 1] 分解为各个区域。如果两个数字（粉红色和紫色圆圈）的差是有理数，则它们在同一范围内。
马农·比肖夫/光谱科学
下一步，他从每个范围中精确选择一个代表 r，并将所有这些代表插入到一个新集合 V 中。因此，集合 V 包含不可数个元素，因为区间 [0, 1] 有不可数个无限个细分。然后，维塔利转向了一个技巧：他研究了如果集合 V 被有理数 p 移动会发生什么，p 的值介于 [–1, 1] 之间：Vp = V + p。结果，有理数 p 被添加到 V 中的每个元素 r 中。通过这种方式，维塔利生成了可数无限个集合 Vp，这些集合包含 [–1, 2] 之间的数字。原因是 V 包含 [0, 1] 之间的数字，而 p 添加了来自区间 [–1, 1] 的值。
这一切都非常技术性，但别担心；我们快到了！维塔利集 V* 包含所有 Vp，正如我们将看到的，它超出了度量理论的概念。我们知道 V* 的度量至少与区间 [0, 1] 的度量一样大（因为 V* 至少与 V 一样大，V 的范围为 0 到 1）。另一方面，维塔利集小于或等于区间 [–1, 2]。这意味着 μ ([0, 1]) = 1 ≤ μ(V*) ≤ μ([–1, 2]) = 3。因此，维塔利集的度量必须介于 1 和 3 之间。
集合 V 的范围从 0 到 1，而值 p 的范围从 –1 到 1。因此，维塔利集 V* 的范围从 –1 到 2。
马农·比肖夫/光谱科学
现在您也可以直接计算维塔利集的度量：μ(V*) = ∑pμ(Vp)，因为只有可数个 p。集合 Vp 包含 [p, 1 + p] 之间不可数个元素，因此 μ(Vp) 是一个大于零的有限数。事实上，所有 Vp 的大小都相同——p 的不同值仅表示平移，这与集合的大小无关。这意味着 μ(Vp) = μ(V)。因此，维塔利集的度量为 μ(V*) = ∑pμ(V)，即一个常数 μ(V) 被无限次求和。这种计算的结果始终是无穷大——无论常数 μ(V) 有多小。这意味着：μ(V*) = ∞，这与上述不等式 1 ≤ μ(V*) ≤ 3 相矛盾。
总会存在不可测量的量
令人惊讶的结果并不意味着我们的数学运算有误。相反，维塔利集非常复杂，无法为其指定度量。因此，维塔利证明并非所有量都是可测量的；也存在“不可测量”的量。
这个结果本身就令人震惊。毕竟，维塔利集是有限的，并且仅包含实数值。如果将此结果转移到二维集合，您会得到更奇怪的结果：例如，您可以通过将球体分解为不可测量的集合来使球体的表面积翻倍。
幸运的是，不可测量的量极其罕见。例如，在物理学中，它们不会出现——毕竟，物体的分解受到原子大小的限制。您必须构造不可测量的量才能遇到它们。然而，它们又无处不在：即使在简单的数值区间中，也潜伏着不可测量的部分。事实证明，摆脱此类量并非易事。人们将不得不改变数学的公理——以及基础——以防止不可测量量的出现。
本文最初发表于《光谱科学》，经许可转载。