来自量子杂志 (在此处查找原始故事)。
1978年，数学家约翰·麦凯注意到一个看似奇怪的巧合。他一直在研究表示一个被称为“魔群”的神秘实体的不同方法，这是一个庞大的代数对象，数学家认为它捕捉了一种新的对称性。数学家们不确定魔群是否真的存在，但他们知道，如果它确实存在，它会在特定维度中以特殊的方式发挥作用，其中前两个维度是1和196,883。
蒙特利尔康考迪亚大学的麦凯碰巧拿起了一篇来自完全不同领域的数学论文，其中涉及一种叫做j-函数的东西，它是数论中最基本的对象之一。奇怪的是，这个函数的第一个重要系数是196,884，麦凯立即意识到这是魔群的前两个特殊维度的总和。
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大多数数学家认为这个发现是一个偶然的巧合，因为没有理由认为魔群和j-函数之间存在任何关联。然而，这个联系引起了约翰·汤普森的注意，他是佛罗里达大学盖恩斯维尔分校的一位菲尔兹奖得主，他做出了一个额外的发现。j-函数的第二个系数 21,493,760 是魔群的前三个特殊维度的总和：1 + 196,883 + 21,296,876。似乎j-函数以某种方式控制着难以捉摸的魔群的结构。
很快，另外两位数学家证明了如此多的数值关系，以至于它们不再可能只是巧合。在1979年一篇名为“魔群月光”的论文中，这对组合——普林斯顿大学的约翰·康威和西蒙·诺顿——推测这些关系一定源于魔群和j-函数之间的某种深刻联系。“他们称之为月光，因为它看起来太牵强了，”德国波恩马克斯·普朗克数学研究所的主任唐·扎吉尔说。“这些想法太疯狂了，以至于想象有人能证明它们似乎是异想天开。”
数学家们花了几年时间才成功地构造出魔群，但他们有一个很好的理由：魔群有超过 1053 个元素，比一千个地球上的原子数量还多。1992年，密歇根大学的罗伯特·格里斯构建魔群十年后，加州大学伯克利分校的理查德·博切兹驯服了魔群月光的狂野想法，最终因此项工作获得了菲尔兹奖。博切兹证明了魔群和j-函数所在的两个遥远数学领域之间存在一座桥梁：即弦理论，这是一个违反直觉的想法，认为宇宙有微小的隐藏维度，小到无法测量，其中的弦振动产生我们在宏观尺度上体验到的物理效应。
博切兹的发现引发了纯数学的革命，导致了一个称为广义卡茨-穆迪代数的新领域。但从弦理论的角度来看，这有点像死水。将j-函数和魔群联系起来的 24 维弦理论模型与弦理论家最感兴趣的模型相去甚远。“这似乎只是理论中一个深奥的角落，没有太多物理意义，尽管数学结果令人震惊，”斯坦福大学的弦理论家沙米特·卡丘鲁说。
但现在，月光正在经历复兴，这最终可能会对弦理论产生深远的影响。在过去的五年里，从类似于麦凯的发现开始，数学家和物理学家已经意识到，魔群月光只是故事的开始。
上周，研究人员在arxiv.org上发表了一篇论文，提出了所谓暗影月光猜想（2012年提出）的数值证明，该猜想提出，除了魔群月光之外，还有23种其他的月光：一方面是关于一个对称群的维度的神秘对应关系，另一方面是关于一个特殊函数的系数的神秘对应关系。这些新月光中的函数起源于一位数学天才的预言信，这封信写于月光甚至在数学家的脑海中闪现之前半个多世纪。
23 个新的月光似乎与弦理论中一些最重要的结构交织在一起，即被称为 K3 曲面的四维物体。阿姆斯特丹大学和法国国家科学研究中心的程美兰说，与暗影月光的联系暗示了这些表面中隐藏的对称性，她与克利夫兰俄亥俄州凯斯西储大学的约翰·邓肯和芝加哥大学的杰弗里·哈维一起提出了暗影月光猜想。“这很重要，我们需要理解它，”她说。
新的证明有力地表明，在这 23 种情况中的每一种情况中，都必须有一个弦理论模型，该模型是理解这些原本令人费解的数值对应关系的关键。但是该证明并没有深入到实际构建相关的弦理论模型，这让物理学家面临一个诱人的问题。“最终，当我们理解月光是什么时，它将以物理学的形式呈现，”邓肯说。
魔群月光
任何给定形状的对称性都有一种自然的算术。例如，将一个正方形旋转 90 度然后再水平翻转，与沿对角线翻转相同——换句话说，“旋转 90 度 + 水平翻转 = 对角线翻转”。19 世纪，数学家们意识到他们可以将这种类型的算术提炼成一种称为群的代数实体。同一个抽象群可以表示许多不同形状的对称性，这为数学家提供了一种简洁的方式来理解不同形状中的共性。
在 20 世纪的大部分时间里，数学家们致力于对所有可能的群进行分类，他们逐渐发现了一些奇怪的事情：虽然大多数简单的有限群都属于自然类别，但有 26 个不属于任何类别的怪异群。其中，最大和最后一个被发现的是魔群。
在麦凯近四十年前的意外发现之前，没有理由认为魔群与j-函数（魔群-月光故事的第二主角）有任何关系。j-函数属于一类特殊的函数，其图形具有重复的模式，类似于 M. C. 埃舍尔用天使和魔鬼对圆盘进行的镶嵌，它们在接近外部边界时会不断缩小。这些“模”函数是数论的英雄，例如，在安德鲁·怀尔斯 1994 年的费马大定理的证明中发挥了至关重要的作用。“任何时候你听到数论中令人震惊的结果，它都很有可能真的是关于模形式的陈述，”卡丘鲁说。
与声波一样，j-函数的重复模式可以分解为一系列纯音，系数表示每个音的“响度”。麦凯正是在这些系数中找到了与魔群的联系。
在 20 世纪 90 年代初，基于耶鲁大学的伊戈尔·弗伦克尔、罗格斯大学的詹姆斯·莱波夫斯基和瑞典隆德大学的阿恩·梅尔曼的研究成果，博切兹通过展示存在一个特定的弦理论模型，其中j-函数和魔群都发挥作用，从而理解了麦凯的发现。j-函数的系数计算了弦在每个能量级别可以振动的方式。而魔群则捕获了这些能量级别上的模型对称性。
该发现为数学家提供了一种使用j-函数研究令人难以置信的庞大魔群的方法，j-函数的系数很容易计算。“数学的全部意义在于建立桥梁，桥梁的一侧比另一侧看得更清楚，”邓肯说。“但是这座桥梁是如此出乎意料地强大，以至于在看到证明之前，它有点疯狂。”
新的月光
当数学家们探索魔群月光的含义时，弦理论家们专注于一个看似不同的问题：弄清楚弦被假设存在的微小维度的几何结构。不同的几何结构允许弦以不同的方式振动，就像拧紧鼓的张力会改变其音高一样。几十年来，物理学家们一直在努力寻找一种能够产生我们在现实世界中看到的物理效应的几何结构。
在一些最有希望的几何候选结构中，一个重要的组成部分是被称为 K3 曲面的一系列四维形状。卡丘鲁说，与博切兹的弦理论模型相比，K3 曲面充满了弦理论教科书。
关于 K3 曲面的几何结构，我们了解得还不够多，无法计算出弦在每个能量级别可以振动的方式，但物理学家可以写出一个更有限的函数，计算所有 K3 曲面中出现的某些物理状态。2010 年，三位弦理论家——日本京都大学的江口彻、加利福尼亚理工学院帕萨迪纳分校的大栗博司和日本东京大学的立川裕二——注意到，如果他们以特定的方式编写这个函数，就会弹出与另一个怪异群（称为 Mathieu 24 (M24) 群，该群有近 2.5 亿个元素）的一些特殊维度相同的系数。这三位物理学家发现了一种新的月光。
这一次，物理学家和数学家都参与了这一发现。“我参加了几个会议，所有的讨论都围绕着这种新的马蒂厄月光，”扎吉尔说。
扎吉尔在 2011 年 7 月参加了在苏黎世举行的一次会议，邓肯在电子邮件中写道，在那里，扎吉尔向他展示了“一张纸，上面有很多数字”——这些是扎吉尔正在研究的一些名为“仿模”形式的函数的系数，这些函数与模函数相关。“唐（扎吉尔）指着一行特定的数字，并开玩笑地问我——我想是开玩笑——是否有任何有限群与它们相关，”邓肯写道。
邓肯不确定，但他认出了另一行上的数字：它们属于一个名为 M12 的群的特殊维数。邓肯拦住了米兰达·程，两人仔细研究了扎吉尔的剩余论文。他们与杰弗里·哈维一起，逐渐意识到新的月光现象不仅仅是 M24 的例子。他们发现，完整月光图景的线索在于一位数学传奇人物近一个世纪前的著作。
月光的阴影
1913 年，英国数学家 G.H.哈代收到了一封来自印度马德拉斯的一位会计职员的信，信中描述了他发现的一些数学公式。其中许多公式已经过时，有些完全是错误的，但在最后一页上，有三个公式让哈代大吃一惊。“它们一定是真的，”哈代写道，他立即邀请这位职员斯里尼瓦萨·拉马努金前往英国，“因为如果它们不是真的，没有人会有想象力去发明它们。”
拉马努金因似乎凭空提取数学关系而闻名，他将自己的许多发现归功于女神纳玛吉里，他说女神在幻象中向他显现。他的数学生涯非常短暂，1920 年，当他 32 岁在印度去世时，他给哈代写了另一封信，说他发现了所谓的“仿 theta”函数，这些函数“完美地”进入了数学领域。拉马努金列出了这些函数的 17 个例子，但没有解释它们的共同点。这个问题悬而未决了 80 多年，直到桑德·兹维格斯（当时是扎吉尔的研究生，现在是德国科隆大学的教授）在 2002 年发现它们都是后来被称为仿模形式的例子。
在苏黎世月光会议之后，程、邓肯和哈维逐渐意识到，M24 月光是 23 种不同的月光现象之一，每种月光现象都在群的特殊维度和仿模形式的系数之间建立了联系——正如巨大的月光现象在怪物群和j-函数之间建立了联系一样。研究人员推测，对于每一种月光现象，都存在一个类似于巨大月光现象中的弦理论，其中仿模形式计算弦状态，而群则捕捉模型的对称性。仿模形式总有一个相关的模函数，称为它的“阴影”，所以他们将他们的假设命名为影月光猜想——umbra在拉丁语中是“阴影”的意思。猜想中出现的许多仿模形式都是拉马努金在他富有预见性的信中列出的 17 个特殊例子之一。
奇怪的是，博切兹早期对巨大月光现象的证明也建立在拉马努金的工作之上：证明核心的代数对象是由弗兰克尔、莱波夫斯基和莫尔曼在分析拉马努金第一封信中让哈代如此震惊的三个公式时发现的。“令人惊讶的是，这两封信构成了我们所知关于月光现象的基石，”亚特兰大埃默里大学的肯·小野说。“没有这两封信中的任何一封，我们都写不出这个故事。”
寻找野兽
在 arxiv.org 上发布的新论文中，邓肯、小野和小野的研究生迈克尔·格里芬提出了影月光猜想的数值证明（其中一个案例——M24 案例——已经被加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学的特里·甘农证明了）。新的分析只提供了物理学家应该在哪里寻找将群和仿模形式统一起来的弦理论的暗示。尽管如此，哈维说，这个证明证实了猜想的方向是正确的。“我们拥有所有这些结构，它是如此复杂和引人入胜，很难不认为它有一些道理，”他说。“拥有数学证明使它成为一个可靠的工作，人们可以认真思考。”
程说，影月光现象背后的弦理论很可能“不仅仅是任何物理理论，而是一个特别重要的理论”。“这表明在 K3 曲面的物理理论上存在一个特殊的对称性。”她说，研究 K3 曲面的研究人员还看不到这种对称性，这表明“可能有一种更好的方法来看待我们尚未发现的理论。”
物理学家对月光现象和量子引力之间高度推测性的联系也感到兴奋，量子引力是尚未被发现的理论，它将统一广义相对论和量子力学。2007 年，普林斯顿高等研究院的物理学家爱德华·威滕推测，巨大月光现象中的弦理论应该提供一种构建三维量子引力模型的方法，其中怪物群中的 194 个自然元素类别对应于 194 类黑洞。影月光现象可能会引导物理学家得出类似的猜想，给出在哪里寻找量子引力理论的暗示。“这是该领域的一个巨大希望，”邓肯说。
影月光猜想的新数值证明“就像在火星上寻找动物并看到它的足迹，所以我们知道它在那里，”扎吉尔说。现在，研究人员必须找到这种动物——即阐明所有这些深刻联系的弦理论。“我们真的很想得到它，”扎吉尔说。
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