五十多年前，波兰裔美国数学家马克·卡茨在他 1966 年的论文“人们能听出鼓的形状吗？”中普及了一个古怪但数学上深刻的问题。换句话说，如果你听到有人敲鼓，并且你知道它发出的声音频率，你能否反向推导出产生这些声音的鼓的形状？或者，是否可以有不止一种鼓的形状产生完全相同的一组频率？
卡茨并不是第一个提出这个问题或相关问题的人，但他为这个主题赢得了相当大的关注。1968 年，他凭借 1966 年的论文获得了美国数学协会的肖维内奖，该奖项专注于数学阐述。“它写得非常好，而且非常容易理解，”瑞典查尔姆斯理工大学的数学家朱莉·罗列特说。
卡茨的工作将这些问题进一步推向了公众视野，这些问题属于一个名为等谱几何的数学领域，启发研究人员针对不同的形状和表面提出类似的问题。他们的工作点燃了一个至今仍然活跃且不断发展的研究领域。
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聆听鼓声
在卡茨的论文发表 20 多年后，三位数学家证明，你实际上无法听出鼓的形状。该团队能够产生多个例子，证明几何形状不同的鼓可以产生相同的声音频率。
当其中一位数学家——卡罗琳·戈登，现为达特茅斯学院荣誉退休教授——在欧洲进行短期访问时，研究人员的发现开始以新的方式具体化。她前往德国的奥伯沃尔法赫数学研究所，该研究所坐落在黑森林中。尽管身处“一个远离尘嚣的田园诗般的地方”有诸多好处，戈登说，她在奥伯沃尔法赫的时光“恰好是团队关于听形状的研究逐渐成型的那一周”。
多年来，她一直在研究相关问题。戈登的博士论文涉及研究如何辨别“以某种抽象方式呈现的两个形状”是否相同，她说。通过这个其他的研究问题，她“滑入”了鼓问题的研究。
但该研究所的设施不利于访客轻松与外界联系。“晚上在特定时间可以使用电话，但你必须排队，”戈登说。“连接起来很有挑战性，但那是一个激动人心的时刻。”戈登与她的丈夫大卫·韦伯（现为达特茅斯学院的数学家）以及斯科特·沃尔珀特（现为马里兰大学荣誉退休教授）一起从事该项目。韦伯也分享了对那段时光的类似回忆。“我们正试图尽快且高效地解决这个问题，因为这个问题已经开放了很长时间，我们渴望将成果写成文字发表，”韦伯说。
当研究人员意识到戈登之前认为行不通的一个例子正是他们需要用来展示两个形状不同但声音相同的鼓时，出现了转折点。“我们获得了关于其他更复杂鼓对的想法。我们正在制作这些巨大的纸质结构”来代表不同形状的鼓，然后“试图粉碎它们，”她说。在制作了那些纸质“怪物”之后，正如韦伯所称，数学家们发现它们行不通。“然后我们回到最初的那对鼓，意识到它没问题，”戈登说。
实际上，他们的工作回答了一个早期研究人员认为棘手的问题。1882 年，德裔英国物理学家阿瑟·舒斯特写道：“找出振动系统发出的不同音调是一个问题，在某些特殊情况下可能可以解决，但要解决逆问题，并通过铃铛发出的声音找出铃铛的形状，即使是最熟练的数学家也会感到困惑。”
这项发现是重要一步，但仍然留下许多未解答的问题。
规律还是例外
在过去的几十年里，研究人员解决了一系列关于“听”形状声音的问题。
事实证明，你可以听出三角形的形状，这一结果最早在凯瑟琳·杜尔索在麻省理工学院的1988 年博士论文中得到证明。根据罗列特和加州大学尔湾分校的数学家陆志勤在 2015 年发表的一篇论文，你也可以听出平行四边形和锐角梯形的形状。这两种形状都会产生独特的声音。罗列特解释说，该论文还产生了其他有趣的发现。
“假设你在制作四边形鼓，也就是有四条直边的鼓，”她说。“你将能够听出一个正方形的鼓。它的声音会很特别。三角形鼓也是如此：一个等边三角形鼓的声音会很特别，与其他任何鼓都不同。”此外，对于任何正多边形鼓——一个边长相等且内角相等的形状——“你总是能够在其他鼓中听出它。我喜欢认为它的声音会特别好听，”罗列特说。
你也可以听出截头圆锥体的形状——也就是说，一个尖端被切掉的圆锥体，研究人员在 2021 年 12 月的《物理评论 E》杂志上报道。同样在 2021 年，罗列特和她的同事表明，如果梯形不是钝角梯形，你就可以从声音中辨别出梯形的形状。
然而，在所有关于听形状的个别结果中，一个不同的研究团队指出一个明显的未解决的想法：从声音中是否普遍可以辨别出给定类型形状或表面的轮廓，仍有待观察。
关于形状及其相关频率集之间关系的问题“远未结束，无论从理论上还是实践角度来看，”研究人员在 2018 年 IEEE/CVF 计算机视觉与模式识别会议上发表的一篇论文中写道。“具体而言，目前尚不确定反例”，例如鼓的例子，“是规律还是例外。到目前为止，一切都指向后者。”
一些关于“听”形状的问题已将研究人员带到甚至难以想象的地方：更高的维度。
访问奇幻维度
罗列特最近的一篇预印本论文与数学家约翰·米尔诺（现任石溪大学教授）早在 1964 年解决的一个问题有关。它涉及超越熟悉的三维空间，进入难以想象的 16 维数学领域。
“我们正在考虑[平坦]环面，”罗列特说。在一维中，环面“只是一个圆圈”，她指出。在三维中，数学家通常将环面描述为具有甜甜圈的形状，尽管他们通常仅指甜甜圈的表面，而不是其面团状的内部。
但米尔诺考虑了当人们聆听更神秘和抽象的表面形状时会发生什么：16 维环面。他基本上发现，人们无法听出 16 维环面的形状。
跳到 16 维似乎很奇怪，但这样做有令人惊讶的实际原因。“维度越多，几何上不同的方式就越多，”罗列特说。因此，这种情况实际上是“一个简单的例子，很容易看到”这些差异，她指出。
米尔诺的论文只有一页长，“在很大程度上启发了卡茨。因此，这是推动该领域发展的根本性贡献，”罗列特说。但米尔诺的工作留下了一个悬而未决的问题，即人们是否可以听出较低维度平坦环面的形状。“15 维——或者 14 维呢？”罗列特问道。
罗列特最近的预印本论文是她与当时的两名学生合著的，其动机是她希望发现“临界点”，即何时可以以及何时不能听出平坦环面的形状。“三是神奇的数字，”这意味着人们无法听出四维或更高维度环面的形状，她说。
但要得到这个答案，罗列特的团队需要走一条迂回的道路。令人惊讶的是，她当时的两位学生埃里克·尼尔森和菲利克斯·里德尔发现，这个问题早已得到解答。但这个问题的解决方案埋藏在数学家亚历山大·希曼在 20 世纪 90 年代的工作中。
希曼的工作与罗列特正在思考的问题之间的联系被数学差异所掩盖，以至于它一直没有得到更广泛的认可。这主要是因为这个问题的答案“完全使用数论语言发表，”她说。诸如“等谱”之类的关键词没有被提及。“证明这一点的论文甚至从未提及‘环面’这个词，”她指出。
因此，在他们尚未发表的论文中，罗列特、尼尔森和里德尔从分析、几何和数论三个数学角度提供了对希曼研究问题的三种数学视角，架起了桥梁，将理解他的结果的技术方面从这三个数学观点联系起来。
“对这些类型问题感兴趣的人也可以使用来自不同领域的工具，”罗列特说。她说，也许现在，当另一个团队需要提取相关结果时，他们不必挖得那么深才能找到它。
放大数学
在 19 世纪后期，当舒斯特思考通过铃铛发出的声音来确定铃铛形状的巨大挑战时，麦克风还是一项新技术。130 多年后，一个研究团队以一种可能会让舒斯特震惊的方式使用了麦克风。他们使用麦克风来证明，在某种意义上，你可以听出房间的形状——具体来说是凸多面体房间。
研究人员的计算机算法使用几个以任意方式布置的麦克风，“从单次声音发射中重建房间的完整 3D 几何形状，”他们在 2013 年发表的一篇论文中写道。科学家指出，他们的发现可以应用于建筑声学、虚拟现实、音频取证等领域的问题。
自舒斯特时代以来，围绕听不同形状和表面的研究领域发生了巨大变化。随着来自不同领域的数学思想的不断碰撞以及技术的不断进步，谁知道在未来几十年里，数学家们会探索哪些新的声音和形状。