在 20 世纪 50 年代，贝尔实验室的物理学家菲利普·安德森发现了一种奇怪的现象。在某些情况下，波似乎应该自由传播，但它们却停止了——就像海啸在海洋中央停止一样。
安德森因发现现在被称为安德森局域化的现象而荣获 1977 年诺贝尔物理学奖，该术语指的是停留在某些“局部”区域而不是像预期那样传播的波。他研究了电子在不纯材料中运动时的这种现象（电子的行为既像粒子又像波），但在某些情况下，其他类型的波也可能发生这种情况。
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即使在安德森发现之后，关于局域化的许多方面仍然很神秘。尽管研究人员能够证明局域化确实会发生，但他们预测局域化何时何地发生的能力非常有限。这就像你站在房间的一侧，期望声波到达你的耳朵，但它从未到达。即使在安德森之后，你知道它没有到达的原因是它在其路径上的某个地方发生了局域化，你仍然想弄清楚它到底去了哪里。几十年来，这正是数学家和物理学家努力解释的问题。
这就是 斯维特拉娜·迈博罗达 的用武之地。迈博罗达现年 36 岁，是明尼苏达大学的数学家。五年前，她开始解开长期存在的局域化难题。她提出了一个称为“景观函数”的数学公式，可以准确预测波将在哪里局域化以及局域化时将采取何种形式。
“你想知道如何找到这些局域化区域，”迈博罗达说。“朴素的方法很困难。景观函数神奇地提供了一种方法。”
她的工作始于纯数学领域，但与大多数数学进展不同，大多数数学进展可能在几十年甚至更久之后才能找到实际用途，她的工作已经被物理学家应用。特别是，LED 灯——或发光二极管——依赖于局域化现象。当半导体材料中的电子从较高能量的位置开始，被捕获（或“局域化”）在较低能量的位置并以光子的形式发射能量差时，它们就会发光。LED 仍然是一项正在进行的工作：如果这些设备要成为人造照明的未来（正如许多人所期望的那样），工程师需要制造出更有效地将电子转换为光的 LED。如果物理学家能够更好地理解局域化的数学原理，工程师就可以制造出更好的 LED——在迈博罗达的数学帮助下，这项工作已经在进行中。
异常波
局域化不是一个直观的概念。想象一下，你站在房间的一侧，看着别人摇铃，但声音从未传到你的耳朵。现在想象一下，它没有到达的原因是声音掉入了一个建筑陷阱，就像海螺中瓶装的海浪声一样。
当然，在普通的房间里，这种情况永远不会发生：声波会自由传播，直到它们撞击你的耳膜，或被墙壁吸收，或在与空气中分子的碰撞中消散。但安德森意识到，当波在高度复杂或无序的空间中移动时，例如墙壁非常不规则的房间，波可以将自己困在原地。
安德森研究了电子在材料中运动时的局域化现象。他意识到，如果材料排列有序，如晶体，原子均匀分布，则电子作为波自由运动。但如果材料的原子结构更加随机——有些原子在这里，一大堆原子在那里，就像许多工业制造的合金中的情况一样——那么电子波会以高度复杂的方式散射和反射，这可能导致波完全消失。
“在这些材料的制造方式中，无序是不可避免的，无法逃避，”巴黎综合理工学院的物理学家马塞尔·菲洛切说，他是迈博罗达的密切合作者。“唯一可以希望的是你可以玩弄它，控制它。”
物理学家长期以来一直理解，局域化与波的干涉有关。如果一个波的波峰与另一个波的波谷对齐，你就会得到相消干涉，并且这两个波会相互抵消。
当波在除了少数孤立位置之外的所有地方相互抵消时，就会发生局域化。为了发生如此接近完全抵消的情况，你需要波在复杂的空间中移动，这种空间会将波分解成各种尺寸。然后，这些波以令人眼花缭乱的方式相互干涉。而且，正如你可以将每种颜色组合起来得到黑色一样，当你组合如此复杂的声波混合时，你会得到寂静。
原理很简单。计算却不然。理解局域化始终需要模拟无限多种波的尺寸，并探索这些波可能相互干涉的每一种可能方式。对于物理学家实际想要理解的三维材料，这是一项压倒性的计算，可能需要研究人员花费数月才能完成。对于某些材料，这根本不可能。
除非你有景观函数。
景观的布局
2009 年，迈博罗达前往法国，展示了她一直在研究的关于薄板数学的研究。她解释说，当板具有复杂的形状，并且你从一侧施加一些压力时，板可能会以非常不规则的方式弯曲——在意外的位置凸起，而在其他位置几乎保持平坦。
菲洛切当时在听众席中。他花了十多年时间研究振动的局域化，他的研究导致了一种 原型降噪屏障 的构建，称为“分形墙”，用于高速公路沿线。在迈博罗达的演讲之后，两人开始推测迈博罗达板中不规则的凸起模式是否可能与菲洛切的振动在某些地方局域化而在其他地方消失的方式有关。
在接下来的三年里，他们发现这两种现象确实相关。在一篇 2012 年的论文中，菲洛切和迈博罗达介绍了一种以数学方式感知地形的方法，就像波看到的那样。由此产生的“景观”函数解释了关于波正在穿过的几何形状和材料的信息，并使用它来绘制局域化的边界。先前确定局域波的努力失败是由于考虑所有可能波的复杂性，但迈博罗达和菲洛切找到了一种将问题简化为单个数学表达式的方法。
要了解景观函数是如何工作的，请考虑一个具有复杂外边界的薄板。想象一下用杆敲击它。它可能在某些地方保持沉默，而在其他地方发出响声。你怎么知道会发生什么以及在哪里发生？
景观函数考虑了板在均匀压力下的弯曲方式。当板受到压力时，它凸起的位置是不可见的，但振动会感知到这些凸起，景观函数也会感知到：凸起是板会发出响声的地方，而凸起周围的线正是函数绘制的局域化线。
“想象一块板，让它承受一侧的气压，推动它，然后测量点凸起程度的非均匀性。这就是景观函数，就是这样，” 大卫·杰里森说，他是麻省理工学院的数学家，也是景观函数工作的合作者。
在他们 2012 年的论文之后，迈博罗达和菲洛切寻找将景观函数从机械振动扩展到电子波量子世界的方法。
电子在波状现象中是独一无二的。不要将它们想象成波，而是将它们想象成根据它们在材料原子结构中的位置而具有或多或少的能量。对于给定的材料，有一张图，称为势（如“势能”），它告诉你能量。对于具有有序原子结构的导体等材料，势相对容易绘制，但在原子结构高度不规则的材料中，势非常难以计算。这些无序材料正是电子波将发生局域化的材料。
“材料的随机性使得势图的预测非常困难，”菲洛切在一封电子邮件中解释道。“此外，这种势图还取决于运动电子的位置，而电子的运动又反过来取决于势。”
绘制无序材料势的另一个挑战是，当波在一个区域局域化时，它们实际上并没有完全局限于该区域，并且随着它们远离局域化区域，它们会逐渐消失。在机械系统中，例如振动板，这些波的遥远痕迹可以安全地忽略。但在充满高度敏感电子的量子系统中，这些痕迹很重要。
“如果你在这里有一个电子，在那里有另一个电子，并且它们局域化在不同的地方，它们相互作用的唯一方式将是通过它们指数衰减的尾部。对于相互作用的量子系统，你绝对需要[能够描述]这一点，”菲洛切说。
在接下来的五年里，菲洛切和迈博罗达引入了更多的合作者，并提高了景观函数的预测能力。他们与杰里森、明尼苏达大学的 道格拉斯·阿诺德 和巴黎第十一大学的盖伊·大卫一起，目前正在完成一篇论文，该论文描述了景观函数的新版本——简而言之，它是原始版本的倒数——它准确地预测了电子将在哪里局域化以及在什么能量水平局域化。
“景观函数的力量在于让你控制波，让你设计你可以实际控制局域化的系统，[而不是让]它由上帝决定，”迈博罗达说。
事实证明，这正是你制造更好的 LED 所需要的。
秩序与光明
LED 通常被誉为照明的未来。它们比传统灯泡更有效地将能量转化为光。但 LED 仍然有点像一种被发现的资源：我们有了这个东西，我们知道它很有用，但我们并不完全理解如何使其变得更好。
“在这种情况下，你缺乏控制。你不知道为什么你表现良好，你也不知道该怎么做才能更进一步，”菲洛切说。
我们所知道的是，LED 通过局域化工作。LED 包含由电极界定的半导体材料薄层。这些电极施加电压，使电子运动。电子通过从一个原子跳到另一个原子来移动，在这样做时，它们在“势”能图中占据新的位置。当电子移动时，它们会留下带正电的“空穴”，这些空穴以重要的方式与电子相互作用。至于电子本身，当它们从较高能量的位置移动到较低能量的位置时，在适当的情况下，它们会以光子的形式发射能量差。集中足够多的这些光子，你就可以驱散黑暗。
当然，电子并不总是按照你希望的方向移动。现代 LED 由半导体合金氮化镓晶片制成，这些晶片围绕着更薄的相关合金氮化铟镓层。这些薄的内层被形象地称为“量子阱”——当电子落入时，它们会在较低的能量水平上局域化。如果它们在空穴存在的情况下局域化，则能量差以光子的形式发射出来；如果它们在没有空穴的情况下局域化，则能量差以声子的形式发射热量，并且所有的努力都白费了。
这就是设置：你希望电子在量子阱中在空穴存在的情况下局域化以发光。由于多种原因，氮化镓是制造这种情况的良好材料，但它也有缺点——由于其制造方式，你最终得到的材料在原子水平上非常不规则。
“你会发现空间中有些区域的铟原子较多，而另一些区域的铟原子较少。这种成分的随机变化意味着不同区域电子的能量是不同的，” 克劳德·韦斯布赫说，他是加州大学圣巴巴拉分校半导体物理学领域的领军人物，也是美国能源部资助（与同样来自 UCSB 的 詹姆斯·斯佩克共同获得）使用景观函数开发更好绿色 LED 的项目的共同接受者。
景观函数绘制了用于制造 LED 的混乱材料中的势能图。它告诉你电子波将在哪里干涉以相互抵消，以及电子将在哪里局域化，以及在什么能量下局域化。对于试图制造这些设备的工程师来说，这就像在黑暗的房间里打开一盏明灯。
“多亏了景观理论，我们第一次可以对 LED 进行真正的量子模拟，”韦斯布赫说。
迈博罗达在五年前完成了景观函数的第一个版本。从那时起，它已经扩展到许多不同的研究领域：在麻省理工学院，杰里森正在探索该函数更广泛的数学意义；在法国，菲洛切正在使用扫描隧道显微镜来实验性地评估该函数的预测，而另一个研究团队（由兰格文研究所的帕特里克·塞巴领导）正在直接测量振动板中的局域化；在加利福尼亚州，韦斯布赫正在设计新的 LED。总而言之，这是一个惊人的应用速度。
“在几年内发生的事情让我感到惊讶，”迈博罗达说。“我自己都不敢相信。”
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