编者注：本文发表于 1957 年，摘自马丁·加德纳的传奇《大众科学》专栏“数学游戏”。在我们的特别数字刊乐趣与游戏中阅读更多内容。
萨默塞特·毛姆的短篇小说《万事通先生》包含以下对话
“你喜欢纸牌戏法吗？”
“不，我讨厌纸牌戏法。”
“好吧，我只想给你展示这一个。”
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在第三个戏法之后，受害者会找借口离开房间。他的反应是可以理解的。大多数纸牌魔术都非常枯燥，除非是由技术娴熟的专业人士表演。然而，有一些“自动完成”的纸牌戏法从数学的角度来看非常有趣。
考虑以下戏法。魔术师坐在桌子旁，正对着观众，首先将牌组中任意位置的 20 张牌反转。也就是说，他将它们在牌组中面朝上。观众彻底洗牌，使这些反转的牌随机分布。然后他将牌组放在桌子下面，所有人看不见的地方，从顶部数出 20 张牌。这包 20 张牌在桌子下面递给魔术师。
魔术师接过牌包，但继续将其放在桌子下面，因此他看不到牌。 “你和我，”他说，“都不知道你递给我的这 20 张牌中有多少张是反转的。但是，这个数字很可能少于你手中 32 张牌中的反转牌数量。在不看牌的情况下，我将再翻转几张面朝下的牌，并尝试使我的牌包中的反转牌数量与你手中的反转牌数量完全相同。”
魔术师摆弄他的牌片刻，假装他可以通过感觉来区分牌的正面和背面。然后他将牌包拿到视野中，并在桌子上摊开。面朝上的牌被数了数。它们的数量被证明与观众持有的 32 张牌中面朝上的牌的数量相同！
这个非凡的戏法最好通过参考最古老的数学脑筋急转弯之一来解释。想象一下，您面前有两个烧杯，一个装有一升水；另一个，一升酒。将一立方厘米的水转移到酒的烧杯中，并将酒和水充分混合。然后将一立方厘米的混合物转移回水中。现在酒中的水是否比水中的酒多？还是反之亦然？
答案是酒中的水和水中的酒一样多。关于这个问题有趣的是，其中涉及了大量的无关信息。没有必要知道每个烧杯中有多少液体，转移了多少，或者进行了多少次转移。混合物是否充分搅拌都无关紧要。甚至两个容器在开始时是否装有等量的液体也无关紧要！唯一重要的条件是，最终每个烧杯必须装有与其开始时完全相同的液体量。当这种情况发生时，显然，如果酒杯中缺少x量的酒，那么先前被这种酒占据的空间现在必须充满x量的水。
如果读者对这个推理感到困扰，他可以用一副纸牌快速澄清它。将 26 张牌面朝下放在桌子上，代表酒。在它们旁边放 26 张牌面朝上，代表水。现在您可以随意地从一堆的任何部分转移牌到另一堆的任何部分，只要您最终在每堆中都剩下 26 张牌。然后您会发现，任何一堆中面朝下的牌的数量将与另一堆中面朝上的牌的数量相匹配。
现在尝试一个类似的测试，从 32 张面朝下的牌和 20 张面朝上的牌开始。随意进行多次转移，最终在较小的堆中剩下 20 张牌。大堆中面朝上的牌的数量必然与 20 张牌中面朝下的牌的数量完全相等。现在翻转小堆。这会自动将其面朝下的牌翻转为面朝上，并将其面朝上的牌翻转为面朝下。因此，两组中面朝上的牌的数量将相同。
这个戏法的运作现在应该很清楚了。一开始，魔术师正好反转了 20 张牌。稍后，当他从观众那里拿到 20 张牌的牌包时，它将包含与牌组中剩余的面朝上的牌数量相同的面朝下的牌数量。然后他假装反转了一些额外的牌，但实际上他所做的只是将牌包翻过来。然后它将包含与观众持有的 32 张牌组中反转牌数量相同的反转牌数量。这个戏法对于数学家来说尤其令人困惑，他们倾向于考虑各种复杂的解释。
在魔术行业中被称为“拼写器”的许多纸牌效果都基于基本的数学原理。这是一个最好的例子。背对着观众，请某人从牌组中取出 1 到 12 张牌，并将它们藏在口袋里，不要告诉您数量。然后您告诉他看牌组剩余部分顶部第那个数字的牌，并记住它。
转过身来，询问任何在世或已故人士的名字。例如，有人建议玛丽莲·梦露（顺便说一句，这个名字必须超过 12 个字母）。拿起牌组，您对将牌放入口袋的人说：“我希望您将牌一次一张地发到桌子上，拼写玛丽莲·梦露的名字，就像这样。” 为了演示，从牌组顶部发牌，在桌子上形成一个面朝下的牌堆，每拼写一个字母取一张牌，直到您大声拼出名字为止。拿起小堆牌，将其放回牌组顶部。
“但是，在您执行此操作之前，”您继续说，“我希望您将口袋里的牌添加到牌组的顶部。” 强调一个事实，这是真的，您无法知道这将是多少张牌。然而，尽管添加了未知数量的牌，但在观众完成拼写玛丽莲·梦露之后，下一张牌（即牌组顶部的牌）将总是变成他选择的牌！
这个戏法的运作很容易进行分析。设x为观众口袋中牌的数量，也为所选牌在牌组顶部的位置。设y为所选名称中的字母数。您演示如何拼写名称会自动反转y张牌的顺序，将所选牌带到从顶部算起的位置，即y减x。因此，在牌组中添加x张牌会在所选牌上方放置y减x加x张牌。x相互抵消，留下正好y张牌在到达所需的牌之前被拼写出来。
在以下效果中涉及了更微妙的补偿原理。要求观众选择任意三张牌，并将它们面朝下放在桌子上，不要让魔术师看到它们。剩下的牌被洗牌并递给魔术师。
“我不会改变任何一张牌的位置，”魔术师解释说。“我所要做的就是取出一张牌，它的点数和花色将与您稍后选择的牌相匹配。” 然后他从牌组中取出一张牌，并将其面朝下放在桌子的一侧。
现在要求观众拿起剩下的牌，并将他先前放在桌子上的三张牌翻过来面朝上。假设它们是一张九、一张皇后和一张 A。魔术师要求他开始在九点上发面朝下的牌，同时大声数数，从 10 开始数，一直数到 15。换句话说，观众在九点上发了六张面朝下的牌。对其他两张牌也遵循相同的程序。皇后，其点数为 12（J 是 11，K 是 13），将需要三张牌才能将计数从 12 提高到 15。A (1) 将需要 14 张牌。
魔术师现在让观众将最初三张面朝上的牌的点数相加，并注意牌组剩余部分顶部该位置的牌。在本例中，总数是 22（9 加 12 加 1），因此他查看第 22 张牌。魔术师翻过他的“预测牌”。这两张牌的点数和花色相匹配！
它是如何完成的？当魔术师浏览牌组以找到“预测牌”时，他注意到从底部数起的第四张牌，然后取出另一张点数和花色与之匹配的牌。戏法的其余部分自动完成。我把推导出为什么这个戏法不会失败的代数证明这个简单的任务留给读者。
纸牌易于洗牌，这使得它们特别适合演示各种概率定理，其中许多定理都令人惊讶，足以被称为戏法。例如，让我们想象一下，两个人每个人都拿着一副洗过的 52 张牌。一个人从 1 数到 52；每次计数时，两人都将一张牌面朝上发到桌子上。在发牌过程中的某个时刻，同时发出两张相同的牌的概率是多少？
大多数人会认为概率很低，但实际上它比 1/2 更好！没有巧合的概率是超越数e分之一。（这并非完全正确，但误差小于 1/1069。读者可以查阅 W. Rouse Ball 的Mathematical Recreations and Essays当前版的第 47 页，了解得出此数字的方法。）由于e是 2.718...，因此巧合的概率大约是 17/27 或几乎是 2/3。如果您能找到愿意与您对赌不会发生巧合的人，您很有可能赚到一些额外的零钱。