编者注：本文发表于 1957 年，摘自马丁·加德纳的传奇《大众科学》专栏“数学游戏”。在我们的特别数字刊物《乐趣与游戏》中阅读更多内容。
悖论是一种真理，它与常识如此强烈地背道而驰，以至于即使你面对证据也难以置信。这种难以置信的特性在概率悖论中尤为突出——概率数学领域尤其富含悖论。
考虑生日悖论。你估计在任何 24 人的群体中，至少有两人出生在同一天同一个月的概率是多少？ 乍一看，你会说概率非常低。 事实上，概率是 27/50，或超过二分之一！ 换句话说，如果你对在 24 人的随机集合中至少存在一个生日巧合下平注，从长远来看，你获胜的机会将大于一半。
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这些几率是如此出乎意料，以至于你可以在 24 人或更多人的聚会上或其他聚会上进行一场有趣且有利可图的游戏。 让每个人将自己的生日写在纸条上。 通常情况下，至少有两个生日会相同——有时会让相关方感到惊讶，尽管他们可能已经认识多年了。
你不需要 24 人的聚会来玩这个游戏：你只需从《名人录》或其他传记词典中随机抽取 24 个名字即可。 我查阅了美国 33 位总统的生日，并很高兴地报告说他们遵守了平均律。 两位总统的生日相同：詹姆斯·波尔克和沃伦·哈丁都出生于 11 月 2 日。
从概率原理计算这些几率非常简单，但相当繁琐。 乔治·伽莫夫在他的著作《从一到无穷大》中给出了一种计算方法。 两个人生日不一致的概率是 364/365，因为在 365 天中，他们生日不同的可能性有 364 种。 第三个人生日与前两个人不同的概率是 363/365； 对于第四个人，生日仍然不同的概率是 362/365，依此类推，直到第 24 个人的 342/365。 要计算所有 24 个人生日都不同的概率，你需要将所有这些概率相乘，结果是一个分数，化简后为 23/50。 这意味着在 24 人一组的生日巧合中，你每下注 50 次会赢 27 次。
更令人惊讶的是第二张 A 的悖论。 假设一位桥牌玩家看了看刚发到手的牌，并宣布：“我有一张 A。” 他还有第二张 A 的概率是多少？ 这可以精确计算出来，结果略低于 1/3。 但是，假设他宣布他有一张特定的 A，例如黑桃 A，这是在发牌前预先约定的。 那么，持有黑桃 A 的玩家还有另一张 A 的概率将是 11,686/20,825，或略高于 1/2！ 为什么说出 A 的名字会影响赔率？
为了简化计算工作，我们可以用一个更基本的游戏来说明这种情况，该游戏仅使用四张牌——黑桃 A、红心 A、梅花 2 和方块 J。 如果给两位玩家每人发两张牌，则玩家可能持有的组合只有六种：(1) 黑桃 A 和红心 A，(2) 黑桃 A 和方块 J，(3) 黑桃 A 和梅花 2，(4) 红心 A 和方块 J，(5) 红心 A 和梅花 2，(6) 方块 J 和梅花 2。 现在，在这六种两张牌的手牌中，有五种允许玩家说“我有一张 A”，而在五种情况中的一种情况下，他有第二张 A。 因此，在这个游戏中，第二张 A 的概率是 1/5。 但是请注意，如果玩家能够声明他持有黑桃 A，则他手中持有第二张 A 的概率会上升到 1/3，因为只有三种包含黑桃 A 的组合，其中一种包含第二张 A。
所有概率悖论中最著名的是圣彼得堡悖论，最早由著名数学家丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院的一篇论文中提出。 假设我抛一枚便士，并同意如果正面朝上，就给你一美元。 如果反面朝上，我再次抛掷，这次如果正面朝上，我给你两美元。 如果再次反面朝上，我第三次抛掷，如果正面朝上，我给你四美元。 简而言之，我提出每次抛掷都将赔率翻倍，并且我一直持续到我必须赔付为止。 你应该为玩这个单方面游戏的特权支付多少钱给我？
令人难以置信的答案是，你可以为每场比赛支付我任何金额，比如一百万美元，并且仍然会胜出。 在任何一场游戏中，你都有 1/2 的概率赢得一美元，1/4 的概率赢得两美元，1/8 的概率赢得四美元，依此类推。 因此，你可能期望赢得的总额是 (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8).... 这个无限级数的总和是无限的。 因此，无论你预先为每场比赛支付给我多少有限的总和，如果我们玩足够多的比赛，你最终都会获胜。 你会在每场比赛中获得一些报酬，并且每次比赛都有机会赢得一笔天文数字的金额，尽管机会很小。 这个悖论与每个“加倍”赌博系统有关。 对它的全面分析导致了各种错综复杂的分支。
卡尔·C·亨普尔是“逻辑实证主义”学派的领军人物，现在是普林斯顿大学的哲学教授，他发现了另一个令人震惊的概率悖论。 自从他于 1937 年在瑞典期刊《Theoria》上首次解释它以来，“亨普尔悖论”一直是科学哲学家之间愉快而博学的争论的主题，因为它触及了科学方法的核心。
亨普尔开始假设，一位科学家希望研究“所有乌鸦都是黑色的”这一假设。 他的研究包括尽可能多地检查乌鸦。 他发现的黑乌鸦越多，假设就越有可能成立。 因此，每只黑乌鸦都可以被视为该假设的“证实实例”。 亨普尔断言，一块棕色的石头的存在也是该假设的“证实实例”！ 他用铁一般的逻辑证明了他的悖论。
“所有乌鸦都是黑色的”这句话可以转化为逻辑上等价的陈述，“所有非黑色物体都不是乌鸦”。 第二个陈述与原始陈述的含义相同。 因此，任何“证实”第二个陈述的物体的发现也必须证实第一个陈述。
那么，假设这位科学家在寻找非黑色物体时，偶然发现了一块棕色的石头。 这个物体是“所有非黑色物体都不是乌鸦”的证实实例。 因此，它必须增加等价假设“所有乌鸦都是黑色的”的可能真理。 这同样适用于白象、红鲱鱼或科学家的绿色领带。 正如一位哲学家最近评论的那样，在雨天，研究黑乌鸦假设的鸟类学家可以在不弄湿脚的情况下进行研究。 他只需要探索他的房间并注意不是黑色物体且不是乌鸦的实例！
亨普尔说，我们发现很难接受这个悖论的有效性，因为存在“误导性的直觉”。 但是，当我们考虑一个更简单的问题时，它开始变得有道理。 假设我们希望检验所有在某家大公司工作的红发打字员都已婚的假设。 我们可以通过直接找出每位红发打字员并询问她是否已婚来进行调查。 但还有另一种测试，实际上可能更有效率。 我们可以从人事部门获取公司中所有未婚打字员的名单，然后调查这份名单上的女孩是否有红头发。 如果结果证明没有未婚打字员是红头发，我们就完全证实了我们关于所有红发打字员都已婚的假设。 并且每个非已婚且非红头发的打字员都有效地充当了该假设的证实实例。 如果未婚打字员少于已婚打字员，我们可以通过这种方法节省时间。
红发打字员的问题和黑乌鸦的问题之间唯一真正的区别在于类的大小相对而言。 世界上有如此多的非黑色物体，以至于检查它们将是一种极其低效的方法来检验所有乌鸦都是黑色的假设。 尽管如此，大多数逻辑学家都同意亨普尔的逻辑是无懈可击的。 尽管我们可能会想用微笑和耸耸肩来驳斥亨普尔的悖论，但我们必须记住，许多长期以来被视为纯粹智力练习的逻辑悖论被证明在符号逻辑的发展中非常有用。 对亨普尔悖论的分析已经为归纳逻辑的模糊本质提供了宝贵的见解，归纳逻辑是获得所有科学知识的工具。