数学之美：菲尔兹奖得主迈克尔·阿蒂亚访谈

来自量子杂志 (在此处查找原文)。

尽管迈克尔·阿蒂亚拥有诸多荣誉——他是数学领域的菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主；曾任世界最古老的科学学会伦敦皇家学会主席（也曾任爱丁堡皇家学会主席）；曾任剑桥大学三一学院院长；被授予爵士和功绩勋章；并且基本上是英国的数学教皇——但他最恰当的描述或许是一位媒人。他具有安排恰当的智力联系的直觉，通常包括他自己和他的想法，并且在他超过半个世纪的职业生涯中，他弥合了数学领域内看似不同的想法之间以及数学和物理学之间的差距。

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例如，在2013年春天的一个日子里，当他坐在白金汉宫的女王画廊等待与伊丽莎白二世共进一年一度的功绩勋章午餐时，迈克尔爵士为他一生的朋友和同事，伟大的数学物理学家罗杰·彭罗斯爵士牵线搭桥。

彭罗斯一直在努力发展他的“扭量”理论，这是一种通向量子引力的途径，已经进行了近 50 年。“我有一种方法可以做到这一点，这意味着要走向无穷大，”彭罗斯说，“并试图解决那里的一个问题，然后再回来。”他认为肯定有更简单的方法。就在那时，阿蒂亚指出了这一点，建议彭罗斯使用一种“非交换代数”。

“我当时想，‘我的天哪’，”彭罗斯说。“因为我知道在扭量理论中一直存在这种非交换代数。但我没有想到以这种特殊的方式使用它。有些人可能会说，‘这行不通。’ 但迈克尔可以立即看到，你可以让它工作，而且这正是应该做的。考虑到阿蒂亚提出建议的地点，彭罗斯将他改进后的想法称为“宫廷扭量理论”。

这就是阿蒂亚的力量。粗略地说，他职业生涯的前半部分都在将数学与数学联系起来，后半部分则将数学与物理学联系起来。

阿蒂亚最出名的是 1963 年与麻省理工学院的伊萨多·辛格共同提出的“指标定理”（恰当的名称是阿蒂亚-辛格指标定理），该定理连接了分析学和拓扑学——这一基本联系被证明在数学领域以及后来的物理学领域中都很重要。阿蒂亚主要因这项工作获得了1966 年的菲尔兹奖和2004 年的阿贝尔奖（与辛格共同获得）。

在 20 世纪 80 年代，从指标定理中收集的方法意外地在弦理论的发展中发挥了作用——这是一种试图调和广义相对论和引力的大尺度领域与量子力学的小尺度领域的方法——特别是与新泽西州普林斯顿高等研究院的弦理论家爱德华·威滕的工作有关。威滕和阿蒂亚开始了一项长期合作，并在 1990 年威滕获得了菲尔兹奖，他是唯一一位获得该奖项的物理学家，阿蒂亚是他的支持者。

现在，86 岁的阿蒂亚几乎没有降低标准。他仍在解决重大问题，仍在尝试协调量子力与引力之间的统一。在这一方面，各种想法层出不穷，但正如阿蒂亚自己所描述的那样，它们仍然是直观的、富有想象力的、模糊的和笨拙的商品。

尽管如此，他仍然很享受这种自由流动的创造力状态，并因他满满的日程而充满活力。为了追求这些当前的调查和思考方向，去年 12 月，他在爱丁堡大学同一天背靠背地做了两次讲座，自 1997 年以来他一直是该大学的名誉教授。他渴望分享他的新想法，并且希望吸引支持者。为此，他在 11 月在爱丁堡皇家学会举办了一场关于“美的科学”的会议。量子杂志 在皇家学会的聚会上以及之后，每当他慢下来足以接受提问时，都会与阿蒂亚坐下来。以下是这些随意进行的对话的编辑版本。

量子杂志：您是从哪里开始对美和科学感兴趣的？
迈克尔·阿蒂亚：我出生于 86 年前。那时我就开始对此感兴趣了。我是在佛罗伦萨构想的。我父母打算给我取名为米开朗基罗，但有人说，“这个名字对于一个小男孩来说太大了。” 这将是一场灾难。我不会画画。我没有任何天赋。

您提到在罗杰·彭罗斯关于“艺术在数学中的作用”的讲座中，某些东西“点击”了一下，而且您现在有一个合作撰写论文的想法。这种点击，这个过程或状态——您能描述一下吗？
一旦你看到它，真相或真实性就会映入你的眼帘。真相正在回望着你。你不需要寻找它。它在页面上闪耀着光芒。

您的想法通常是如何产生的？
这是一个壮观的版本。数学中最疯狂的部分是当一个想法出现在你的脑海中时。通常是在你睡觉的时候，因为那时你的抑制最少。这个想法不知道从哪里飘进来。它在天空中飘荡；你看着它，欣赏它的色彩。它就在那里。然后在某个阶段，当你试图冻结它，将它放入一个坚固的框架中，或使其面对现实时，它就会消失，它就消失了。但它已被一个结构所取代，该结构捕捉到了某些方面，但它是一个笨拙的解释。

您一直都有数学方面的梦想吗？
我想是的。梦想发生在白天，也发生在晚上。你可以称它们为愿景或直觉。但基本上它们是一种心境——没有文字、图片、公式或陈述。它“先于”这一切。它先于柏拉图。这是一种非常原始的感觉。而且，如果你试图抓住它，它总是会消亡。所以当你早上醒来时，一些模糊的残留物会徘徊，这是一个想法的幽灵。你试图记住它是什么，而你只能得到一半的正确答案，也许这是你所能做的最好的。

想象力是其中的一部分吗？
当然。想象中的时间旅行是廉价而容易的——你甚至不需要买票。人们会回到过去，想象自己是宇宙大爆炸的一部分，然后他们会问在之前发生了什么。

是什么引导着想象力——美吗？
这不是你可以指出的那种美——它是一种更加抽象意义上的美。

不久前，您与伦敦大学学院的神经生物学家塞米尔·泽基和其他合作者发表了一项关于数学之美体验及其神经相关性的研究。
那是我写过的阅读量最多的文章！长期以来，人们都知道，当你听好听的音乐、读好听的诗歌或看好看的图片时，大脑的某些部分会亮起来——所有这些反应都发生在同一个地方[“情绪大脑”，特别是内侧眶额皮层]。问题是：对数学之美的欣赏是相同的还是不同的？结论是，它是相同的。大脑中欣赏音乐、艺术和诗歌之美的同一部分也参与了对数学之美的欣赏。这是一个重大发现。

您通过在功能性核磁共振仪记录其反应的同时向数学家展示各种方程式来得出此结论。哪个方程式被认为是美丽的？
啊，最著名的那个，欧拉方程

e^iπ + 1 = 0

它涉及 π；数学常数 e [欧拉数，2.71828 …]；i，虚数单位；1；和 0 — 它在一个公式中结合了数学中最重要的一切，而这个公式确实非常深刻。所以每个人都同意这是最美的方程。我过去常说它是数学上相当于哈姆雷特的短语“生存还是毁灭”——非常短，非常简洁，但同时又非常深刻。欧拉方程只使用了五个符号，但它也精美地概括了深刻的思想，简洁是美的重要组成部分。

您尤其以两部极其精美的作品而闻名，不仅包括指标定理，还包括与德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫共同开发的K-理论。请谈谈K-理论。
指标定理和K-理论实际上是同一枚硬币的两面。它们最初是不同的，但过了一段时间，它们融合得如此紧密，以至于你无法将它们分开。它们都与物理学有关，但方式不同。

K-理论是对平坦空间以及平坦空间运动的研究。例如，让我们以一个球体，地球为例，然后拿一本大书放在地球上并移动它。这是一个在弯曲几何体上移动的平坦几何体。K-理论研究这种情况的所有方面——拓扑和几何。它的根源在于我们对地球的导航。

我们过去用来探索地球的地图，也可以用来探索大型宇宙，用火箭进入太空，以及研究原子和分子的小型宇宙。我现在正在做的是试图统一所有这些，而K-理论是实现这一点的自然方式。我们已经进行了数百年的这种映射，而且我们可能会再进行数千年。

您是否惊讶于K-理论和指标定理最终在物理学中变得如此重要？
哦，是的。我做所有这些几何研究时，并没有意识到它会与物理学联系起来。当人们说：“嗯，你正在做的事情与物理学有关”时，我感到非常惊讶。因此，我通过与优秀的物理学家交谈来了解发生了什么，从而快速学习了物理学。

您与威滕的合作是如何开始的？
1977年，我在波士顿认识了他，当时我对物理学和数学之间的联系产生了兴趣。我参加了一个会议，在那里看到了这个年轻人和一些年纪较大的人。我们开始交谈，几分钟后我意识到这个年轻人比那些年纪较大的人聪明得多。他理解我所谈论的所有数学，所以我开始关注他。那就是威滕。从那以后，我一直与他保持联系。

与他共事是什么感觉？
2001年，他邀请我到加州理工学院，当时他是那里的访问教授。我感觉自己又像个研究生了。每天早上我都会走进系里，去找威滕，我们会谈大约一个小时。他会给我布置作业。然后我会离开，花接下来的 23 个小时试图赶上。与此同时，他会去做其他六七件事。我们的合作非常深入。那是一次难以置信的经历，就像与一位杰出的导师一起工作。我的意思是，他在我得到答案之前就知道所有的答案。如果我们争论，他总是对的，而我总是错的。这太令人尴尬了！

您之前说过，数学和物理之间偶尔出现的意想不到的相互联系最吸引您——您喜欢发现自己涉足不熟悉的领域。
是的；你看，很多数学是可预测的。有人教你如何解决一个问题，然后你又做同样的事情。你每向前迈出一步，都是在追随前人的脚步。时不时地，有人会带着全新的想法出现，并让所有人震惊。刚开始，人们不相信它，然后当他们相信它时，它会导致一个全新的方向。数学的发展时断时续。它有持续发展，然后也有不连续的跳跃，当突然有人有了新的想法时。这些才是真正重要的想法。当你得到它们时，它们会产生重大影响。我们应该要迎来另一个这样的想法了。爱因斯坦在100年前有一个好主意，我们需要另一个来推动我们前进。

但是，这种方法必须更具探索性，而不是指导性。如果你试图指导科学，你只会让人们按照你告诉他们的方向前进。所有科学都来自人们注意到有趣的岔路。你必须对探索采取非常灵活的方法，并允许不同的人尝试不同的事情。这很难，因为除非你加入潮流，否则你找不到工作。

当你担心你的未来时，你必须保持一致。这是现代科学最糟糕的事情。幸运的是，当你到了我这个年纪，你就不需要为此烦恼了。我可以畅所欲言。

现在，您正在尝试一些新想法，希望能打破物理学中的僵局？
你看，有原子物理学——电子、质子和中子，所有构成原子的物质。在这些非常非常小的尺度上，物理定律基本相同，但你也会忽略一种力，那就是引力。引力无处不在，因为它来自整个宇宙的质量。它不会自行抵消，它没有正值或负值，它会全部叠加。所以无论黑洞和星系有多远，它们都会在宇宙的每个地方施加非常小的力，即使是在电子或质子中。但是物理学家说：“啊，是的，但它太小了，你可以忽略它；我们不会测量那么小的东西，没有它我们也能做得很好。”我的出发点是这是一个错误。如果你纠正这个错误，你就会得到一个更好的理论。

我现在正在重新审视大约100年前出现的一些想法，当时这些想法被抛弃了，因为人们不明白这些想法想表达什么。物质如何与引力相互作用？爱因斯坦的理论是，如果你放入一点物质，它就会改变空间的曲率。当空间的曲率发生变化时，它就会作用于物质。这是一个非常复杂的反馈机制。

我正在回到爱因斯坦和[保罗]·狄拉克，并以新的眼光再次审视他们，我认为我看到了人们错过的东西。我正在填补历史的漏洞，考虑到新的发现。考古学家会挖掘出东西，或者历史学家会发现一份新的手稿，这会带来全新的视角。所以我一直在做的事情就是这样。不是去图书馆，而是坐在家里的房间里思考。如果你思考的时间足够长，你就会有一个好主意。

所以您是说引力不能被忽略？
我认为物理学家遇到的所有困难都来自于忽略了这一点。你不应该忽略它。关键是，我相信如果你把它输入进去，数学就会被简化。如果你忽略它，你会给自己制造更多困难。

大多数人会说，当你观察原子物理学时，你不需要担心引力。尺度太小了，对于我们所做的计算，它可以被忽略。在某种意义上，如果你只是想要答案，那是正确的。但是如果你想要理解，那么你在这个选择中犯了一个错误。

如果我错了，好吧，我犯了一个错误。但我不这么认为。因为一旦你接受了这个想法，就会产生各种美好的结果。数学相互吻合。物理学相互吻合。哲学相互吻合。

威滕如何看待您提出的新想法？
嗯，这是一个挑战。因为过去当我与他谈论我的一些想法时，他认为它们毫无希望，他给了我10个不同的理由说明它们为何毫无希望。现在我认为我可以捍卫我的立场了。我花了很多时间思考，从不同的角度看待它，然后又回到它。我希望我能说服他，我的新方法是有价值的。

您正在冒着声誉风险，但您认为这是值得的。
我作为数学家的声誉已经确立。如果我现在把它搞砸了，人们会说：“好吧，他是一个优秀的数学家，但在他生命的尽头，他失去了理智。”

我的一个朋友，约翰·波尔金霍恩，在我进入物理学领域时离开了，他加入了教会，成为了一名神学家。在我 80 岁生日时，我们进行了一次讨论，他对我说：“你没有什么可失去的；你只要继续思考你所想的。”这就是我一直在做的事情。我已经拥有我需要的所有奖牌了。我还能失去什么？这就是为什么我准备冒一个年轻研究人员不愿冒的风险。

您是否惊讶于在您职业生涯的这个阶段，您对新想法仍然如此充满热情？
我的一个儿子对我说：“不可能，爸爸。数学家在 40 岁之前就完成了他们最好的工作。而你已经 80 多岁了。你现在不可能有什么好主意。”

如果你在 80 多岁时仍然保持清醒和警觉，你就会拥有活了很长时间并且见过很多东西的优势，并且你获得了视角。我现在 86 岁了，这些想法是我在过去几年里才产生的。新的想法会不时出现，你会在这里或那里捡起一些碎片，现在时机已经成熟，而在五到十年前可能还不成熟。

是否有一个大问题始终在指导着您？
我总是想尝试理解事物为什么会这样运作。我对获得一个不知道它意味着什么的公式不感兴趣。我总是试图挖掘幕后，所以如果我有一个公式，我就要理解它为什么在那里。理解是一个非常困难的概念。

人们认为数学始于你写下一个定理，然后是证明。那不是开始，那是结束。对我来说，数学的创造性场所是在你开始在纸上写下东西之前，在你尝试写下一个公式之前。你会想象各种各样的事情，你会在脑海中翻转它们。你试图创造，就像音乐家试图创造音乐或诗人一样。没有固定的规则。你必须按照自己的方式去做。但在最后，就像作曲家必须把它们写在纸上一样，你必须把它们写下来。但最重要的阶段是理解。证明本身并不能给你理解。你可以有一个很长的证明，但在最后也不知道它为什么会起作用。但是要理解它为什么起作用，你必须对它有一种本能的反应。你必须感觉到它。

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