就像一个好的魔术一样，一个巧妙的谜题可以激发敬畏之情，揭示数学真理，并引发重要的问题。至少马丁·加德纳是这么认为的。他的名字是与他在《大众科学》杂志上撰写了四分之一个世纪的传奇专栏“数学游戏”同义的。凭借他自己的数学魔术技巧，加德纳，如果他还健在，将在十月份庆祝他的100岁生日，他每个月都以变戏法般的奇妙方式呈现引人注目的数学，并因此吸引了全世界大量的读者。许多人——默默无闻的、著名的以及介于两者之间的人——都表示，“数学游戏”专栏影响了他们追求数学或相关专业领域的决定。
加德纳是一个谦虚的人。他从未追求过奖项，也没有渴望成名。即便如此，他留下的100多本书的文字遗产——反映了他令人印象深刻的知识广度，横跨科学和人文领域——吸引了许多公众人物的关注和尊敬。普利策奖得主、认知科学家道格拉斯·霍夫施塔特形容他是“本世纪我们国家产生的最伟大的知识分子之一”。古生物学家斯蒂芬·杰伊·古尔德评论说，加德纳是“捍卫理性和优秀科学，对抗围绕着我们的神秘主义和反智主义的唯一最耀眼的光芒”。语言学家诺姆·乔姆斯基则形容他对当代知识文化的贡献是“独一无二的——在其范围、洞察力以及对重要难题的理解方面”。
尽管加德纳在20世纪80年代初停止定期撰写专栏，但他非凡的影响力至今依然存在。他一直写作书籍和评论，直到2010年去世，他的粉丝群体现在跨越了好几代人。他的读者仍然举办聚会来庆祝他和数学游戏，他们也产生了新的成果。欣赏他开创性专栏的最佳方式也许就是简单地重读它们——或者，如果从未读过，就第一次去发现它们。也许我们在此庆祝他的工作以及它播下的种子，将激励新一代人去理解为什么休闲数学在2014年仍然重要。
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从逻辑到六角形折纸
尽管加德纳在数学界享有盛名，但从任何传统意义上来说，他都不是一位数学家。在20世纪30年代中期的芝加哥大学，他主修哲学，擅长逻辑，但除此之外对数学不屑一顾（尽管他确实旁听了一门名为“初等数学分析”的课程）。然而，他精通数学谜题。他的父亲是一位地质学家，向他介绍了世纪之交伟大的谜题创新者山姆·洛伊德和亨利·恩内斯特·杜德尼。从15岁起，他就定期在魔术杂志上发表文章，文章中他经常探讨魔术和拓扑学之间的重叠，拓扑学是数学的一个分支，分析当形状被拉伸、扭曲或以其他方式变形而没有撕裂时保持不变的属性。例如，一个带把手的咖啡杯和一个甜甜圈（或百吉饼）在拓扑学上是相同的，因为两者都是带有一个孔的光滑表面。
1948年，加德纳搬到纽约市，在那里他与耶史瓦大学的数学教授、《数学手稿》（Scripta Mathematica）季刊的编辑耶库铁·金斯堡成为了朋友，该季刊旨在将数学的触角延伸到普通读者。《数学手稿》是一份旨在将数学的触角延伸到普通读者的季刊。加德纳为该杂志撰写了一系列关于数学魔术的文章，并且似乎逐渐受到金斯堡观点的影响，即“一个人不必是画家才能欣赏艺术，也不必是音乐家才能欣赏好的音乐。我们想证明，一个人不必是专业的数学家也能欣赏数学的形式和形状，甚至是一些抽象的概念。”
1952年，加德纳在《大众科学》杂志上发表了他的第一篇文章，内容是关于可以解决基本逻辑问题的机器。几年前接管该杂志的编辑丹尼斯·弗拉纳根和出版商杰拉德·皮尔渴望发表更多与数学相关的材料，并且在他们的同事詹姆斯·纽曼于1956年撰写了一本出人意料的畅销书《数学世界》之后，变得更加感兴趣。同年，加德纳给他们寄去了一篇关于六角形折纸的文章——这是一种折叠纸结构，其特性开始被魔术师和拓扑学家探索。这篇文章很快被接受了，甚至在它于12月登上报摊之前，他就被要求撰写一个同类型的月度专栏。
加德纳早期的文章相当基础，但随着他的理解以及读者的理解的增长，数学变得更加深入。从某种意义上说，加德纳运营着他自己的社交媒体网络，但速度是美国邮件的速度。他在那些原本会在孤立状态下工作的人们之间分享信息，鼓励更多的研究和更多的发现。自从他的大学时代起，他就维护着广泛且有条不紊的文件档案。他的网络帮助他扩展了这些文件，并赢得了一个广泛的朋友圈，他们都渴望贡献想法。几乎所有给他写信的人都得到了详细的回复，几乎就像他们查询了一个搜索引擎一样。他的通讯员和合作者包括数学家约翰·霍顿·康威和珀西·迪亚科尼斯、艺术家M.C.埃舍尔和萨尔瓦多·达利、魔术师和怀疑论者詹姆斯·兰迪以及作家艾萨克·阿西莫夫。
加德纳多元化的联盟反映了他自己折衷的兴趣——其中包括文学、魔术、理性、物理学、科幻小说、哲学和神学。在一个专家时代，他是一位博学家。似乎在每一篇文章中，他都能找到他的主要主题与人文科学之间的联系。这样的引用帮助许多读者将自己与他们可能原本会忽略的想法联系起来。例如，在一篇关于“虚无”的文章中，加德纳远远超出了数学中零和空集（一个没有成员的集合）的概念，并探讨了历史、文学和哲学中的虚无概念。其他读者蜂拥而至加德纳的专栏，因为他是一位如此技巧娴熟的讲故事者。他很少准备一篇关于单一成果的文章，而是等到他有足够的材料来编织一个关于相关见解和未来探索路径的丰富故事。他经常花费20天的时间进行研究和写作，并且认为如果他努力学习某些东西，那么他比专家更适合向公众解释它。
加德纳对数学的翻译非常出色，以至于他的专栏经常促使读者进一步追求相关主题。以家庭主妇玛乔丽·赖斯为例，她只拥有高中学历，但她利用从加德纳专栏中学到的知识，发现了几种新的镶嵌五边形，即像瓷砖一样无缝隙地拼合在一起的五边形形状。她写信给加德纳，加德纳与数学家多丽丝·沙茨施耐德分享了这一结果以进行验证。加德纳的专栏播下了无数新发现的种子——数量太多，无法一一列举。然而，在1993年，加德纳自己确定了产生读者反响最多的五个专栏：关于所罗门·W·戈洛姆的多米诺骨牌、康威的生命游戏、牛津大学罗杰·彭罗斯发现的平面的非周期性平铺、RSA密码学和纽科姆悖论的专栏。
多米诺骨牌和生命游戏
也许其中一些主题如此受欢迎，是因为它们很容易在家中使用常见的物品（例如棋盘、火柴棍、纸牌或废纸）来玩。1957年5月，当加德纳描述戈洛姆的工作时，情况肯定如此，戈洛姆最近探索了多米诺骨牌的特性，多米诺骨牌是由多个正方形并排连接而成的图形；多米诺骨牌是由两个正方形组成的多米诺骨牌，三联骨牌有三个，四联骨牌有四个，依此类推。它们出现在各种各样的平铺、逻辑问题和流行的游戏中，包括现代视频游戏，如俄罗斯方块。谜题爱好者已经熟悉这些形状，但正如加德纳报道的那样，戈洛姆将这个主题进一步推进，证明了关于哪些排列是可能的定理。
某些多米诺骨牌也以模式的形式出现在生命游戏中，生命游戏是由康威发明的，并在1970年10月的《大众科学》杂志上进行了专题报道。该游戏涉及“细胞”，即正方形阵列中的条目，标记为“活”或“死”，它们根据某些规则生存（并因此可以繁殖）或死亡——例如，具有两个或三个邻居的细胞存活，而那些没有、一个或四个或更多邻居的细胞死亡。“游戏”从一些初始配置开始，然后这些分组根据规则演变。生命游戏是一个新兴领域的一部分，该领域使用“细胞自动机”（规则驱动的细胞）来模拟复杂的系统，通常以复杂的细节进行模拟。康威的洞察力在于，他手工设计的微不足道的两态自动机，蕴含着模拟复杂和进化行为的不可言喻的潜力。
在加德纳的专栏发表后，生命游戏迅速吸引了狂热的追随者。“世界各地的数学家都在用电脑编写生命游戏程序，”加德纳回忆道。他专注的读者群很快产生了许多令人惊讶的发现。数学家们早就知道，一小部分公理可以导致深刻的真理，但20世纪70年代初的生命游戏社区亲身体验了这一点。大约40年后，生命游戏继续激发着新的发现：一种名为“双子座”的新型自构建模式——它在创新地沿倾斜方向移动的同时，复制自身并摧毁其母模式——在2010年5月被报道，而第一个克隆自身及其指令的生命游戏复制器于2013年11月被构建出来。
非周期性和公钥
康威还向加德纳介绍了数学家兼物理学家彭罗斯发现的平铺，它们成为另一个轰动专栏的基础，该专栏以两种瓷砖形状为特色，分别称为风筝和飞镖，因为它们类似于那些玩具。给定每种瓷砖的无限供应，这些瓷砖的组合可以覆盖无限延伸的地板，而不会出现缝隙，并且表现出一种称为非周期性的非凡特性。普通的瓷砖形状——正方形、三角形、六边形——以周期性重复的模式覆盖地板。换句话说，在多个位置您都可以站立，并且您脚下的瓷砖图案将是相同的。但是，当风筝和飞镖，或其他两种或更多种彭罗斯瓷砖的组合，按照某些规则排列时，就不会出现这种重复出现的图案。这些平铺非常漂亮，以至于在1977年1月，它们登上了《大众科学》的封面，封面图案是基于康威的草图。
探索彭罗斯平铺特性的社区自那时以来取得了许多进展，包括发现这些图案显示出一种称为自相似性的特性，分形也享有这种特性，分形是在不同尺度上重复的结构。（分形也很大程度上因为加德纳在1976年12月关于分形的专栏而广受欢迎。）彭罗斯瓷砖也导致了准晶体的发现，准晶体具有有序但非周期性的结构。没有人比加德纳更乐于见到这种联系，他评论说：“它们是数学发现如何，在没有任何应用预兆的情况下，最终被证明早已为大自然母亲所熟知的绝妙例证！”
1977年8月，加德纳预见到了另一个现代发展：在“几十年内”使用电子邮件进行个人通信。这个预测开启了一个专栏，该专栏向世界介绍了RSA密码学，这是一种基于陷门函数的公钥密码系统——陷门函数是指在一个方向上容易计算，但在相反方向上不容易计算的函数。在20世纪70年代中期，这样的系统并不新鲜，但计算机科学家罗恩·李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼（RSA就是以他们命名的）引入了一种使用大素数（只能被1和自身整除的数）的不同类型的陷门。RSA加密的安全性源于对两个足够大的素数的乘积进行因式分解的明显困难。
在学术期刊上发表他们的成果之前，李维斯特、萨莫尔和阿德曼写信给加德纳，希望尽快接触到大量的读者。加德纳意识到了他们创新的重要性，并一反常态地匆忙将一份报告付诸印刷。在专栏中，他提出了一个挑战，要求读者尝试解码一条消息，这将需要他们对一个129位整数进行因式分解，这在当时是一项不可能完成的任务。加德纳明智地在挑战的前面引用了埃德加·爱伦·坡的一句话：“然而，可以断言，人类的智慧无法 concoct 一种人类的智慧无法 resolve 的密码。” 事实上，仅仅17年后，一个由大量合作者组成的团队，依靠600多名志愿者和1600台计算机，破解了密码，揭示了秘密消息的内容是：“魔法词语是 squeamish ossifrage。” RSA挑战持续了很多年，直到2007年才结束。
加德纳之后
加德纳对游戏的喜爱与他淘气的幽默感是相辅相成的。1975年愚人节专栏以“六项以某种方式逃脱公众注意的轰动发现”为特色。所有这些发现都是貌似合理的——但却是虚假的。例如，他声称列奥纳多·达·芬奇发明了抽水马桶。暗示“Ms. Birdbrain”和通灵驱动的“Ripoff rotor”旨在提醒读者专栏的玩笑性质，但数百人未能理解这个笑话，并给加德纳寄去了生动的信件。
1980年，加德纳决定退休他的专栏，专注于其他写作项目。《大众科学》杂志很快推出了继任者：道格拉斯·霍夫施塔特。他撰写了25个专栏，题为“Metamagical Themas”——“Mathematical Games”的字谜——其中许多专栏讨论了人工智能，这是他自己的专长。A.K.杜德尼紧随其后，撰写了七年的“计算机娱乐”。伊恩·斯图尔特的“数学娱乐”专栏又持续了十年。后来丹尼斯·沙沙撰写了一系列“令人费解的冒险”，这些冒险基于计算和算法原理，巧妙地伪装起来。“马丁·加德纳是一个难以企及的目标，”斯图尔特曾经评论道。“我们所做的努力是复制专栏的精神：以一种轻松愉快的心情呈现重要的数学思想。”
在过去的二十年里，专栏的精神一直活在每两年一次的、仅限邀请的“加德纳聚会”会议上，数学家、魔术师和谜题爱好者聚集在一起，分享他们希望仍然可以通过“数学游戏”分享的内容。加德纳本人参加了前两次会议。近年来，与会者包括老朋友，如戈洛姆、康威、埃尔温·伯利坎普、理查德·盖伊和罗纳德·格雷厄姆，到冉冉升起的新星，如计算机科学家埃里克·德曼和视频大师维·哈特，以及一些非常年轻的新鲜血液，如才华横溢的青少年尼尔·比克福德、朱利安·亨茨和伊桑·布朗。在加德纳于2010年去世后，每年十月都会在世界各地举办任何人都可以参加（或主办）的“庆祝思想”派对，以纪念他[见右侧的“更多探索”]。
尽管加德纳已经离去，但我们有充分的理由从他的工作中汲取灵感，并在今天倡导休闲数学。正如本文中（尽管只是简要地）所示，钻研谜题和相关活动通常会导致重要的发现。加德纳撰写的几乎每一篇文章都催生了爱好者和专家社区。他的许多专栏现在都可以扩展成书籍——甚至整整几书架的书籍。此外，从数学的角度思考问题对于清晰性和严谨性可能非常有价值。加德纳从未将休闲数学视为仅仅是一组谜题。谜题是通往更丰富的数学奇迹世界的门户。
在他1998年最后一篇回顾性的《大众科学》文章中，加德纳反思道，“娱乐数学和严肃数学之间的界限是模糊的……40年来，我一直尽我所能说服教育工作者将休闲数学纳入标准课程。应该定期引入它，以此来激发年轻学生对数学奇迹的兴趣。然而，到目前为止，这方面的进展一直像冰川一样缓慢。”
今天，互联网上托管着大量与数学相关的应用程序、教程和博客——包括许多不同质量的生命游戏应用程序——社交媒体可以比加德纳更快地连接志同道合的爱好者。但也许这种速度也有缺点：基于网络的体验非常适合快速的“有趣！”回应，但需要仔细思考才能达到启示性的“啊哈！”时刻。我们相信，加德纳专栏成功的部分原因在于他和他的读者都费心交流详细的想法并撰写深思熟虑的答案。只有时间才能证明，在一个不太有耐心的时代，一个新的谜题爱好者社区是否会接过加德纳的衣钵，并推动后代获得新的见解和发现。