你永远无法证明每一个数学真理。对我来说，哥德尔发现的这个不完备性定理是数学中最令人难以置信的成果之一。这可能不会让所有人感到惊讶——日常生活中存在各种各样无法证明的事情——但对于数学家来说，这个想法是令人震惊的。毕竟，他们可以用一些基本的构建模块，即所谓的公理，来构建自己的世界。只有他们创造的规则才在那里适用，所有的真理都由这些基本的构建模块和相应的规则组成。专家们长期以来一直认为，如果你找到了正确的框架，那么你应该能够以某种方式证明每一个真理。
但在1931年，哥德尔证明了并非如此。总会有一些真理无法被基本的数学框架所涵盖，而且不可能被证明。这不仅仅是一个抽象的发现，对实际情况没有影响。在哥德尔的开创性工作之后不久，第一批可证明的不可证明问题就出现了。例如，永远不可能在当前使用的数学框架内弄清楚存在多少实数。而且，无法解决的问题并不局限于数学。例如，在某些纸牌和电脑游戏中（如万智牌），可能会出现无法确定哪个玩家会获胜的情况。在物理学中，也并非总是可以预测晶体系统是否会导电。
现在，包括伦敦大学学院的物理学家托比·库比特在内的专家们，已经找到了不完备性定理在物理学中得到反映的另一种方式。他们描述了一个粒子系统，该系统经历了一个相变——类似于水在零摄氏度以下冻结时发生的转变。但是，与水不同，这个粒子系统发生相变的关键参数无法计算。物理学家在 arXiv.org 服务器上个月发布的一篇预印本论文中写道：“我们的结果……说明了不可计算的数字如何在物理系统中显现。”
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一个无法确定的相变
这不是专家们第一次遇到不可预测的相变。 早在2021年，库比特和他的两位同事就描述了另一个物理系统，其转变是不可预测的。在那种情况下，可能存在无限多的相变。然而，这种情况在自然界中不会发生。因此，研究人员问自己，不可预测性是否会在现实系统中发生。
在这项新的工作中，库比特和他的同事们研究了一个相当简单的系统：一个有限的方形晶格，其中包含几个粒子的排列，每个粒子都与其最近的邻居相互作用。这种模型通常用于描述固体。这是因为它们的原子排列在一个规则的结构中，并且它们的电子可以与周围原子的电子相互作用。在库比特的模型中，电子之间相互作用的强度取决于参数 φ——φ 值越大，原子壳层中的粒子相互排斥得越厉害。
如果排斥力 φ 很小，则外层电子是可移动的：它们可以在原子核之间来回跳跃。φ 值越大，电子就越会被冻结在原位。这种不同的行为也反映在系统的能量中。你可以观察基态（最低总能量）和次高能量态。如果 φ 值非常小，系统的总能量可以持续增长。因此，该系统可以毫无问题地导电。然而，对于较大的 φ 值，情况就不同了。对于这样的值，能量只会逐渐增加。基态和第一激发态之间存在一个间隙。在这种情况下——取决于间隙的大小——系统将是半导体或绝缘体。
迄今为止，物理学家们已经创建了数千个类似的模型来描述各种固体和晶体。但是，由于库比特和他的同事们提出的系统表现出两种不同的行为，因此在导电相和绝缘相之间必须存在一个转变。换句话说，存在一个 φ 值，高于该值，系统的能谱突然出现间隙。
一个不可计算的数字
库比特和他的团队已经确定了发生这个间隙时的 φ 值。它对应于所谓的蔡廷常数 Ω——对于数学爱好者来说，这个数字可能听起来很熟悉，因为它是在少数已知的无法计算的数字之列。这些是无理数，它们的小数位永远持续下去，并且永不规则重复。然而，与可计算的无理数（如 π 或 e）相反，不可计算的数字的值无法以任意精度逼近。没有算法，如果它无限期地运行，就能输出 Ω。如果 Ω 无法计算，那么也不可能指定库比特和他的同事们研究的系统中何时会发生相变。
阿根廷裔美国数学家格雷戈里·蔡廷精确地定义了 Ω，目的是找到一个不可计算的数字。为此，他使用了计算机科学中著名的停机问题：根据停机问题，不存在一种机器可以判断，对于所有可能的算法，计算机执行它们是否会在某个时候停止。如果你给计算机任何算法，也许有可能判断该算法是否可以在有限的时间内执行。但有证据表明，没有一种方法可以对所有可想象的程序代码做到这一点。因此，停机问题也是哥德尔不完备性定理的直接应用。
蔡廷常数 Ω 对应于计算机（图灵机）的理论模型对于任何给定输入停止的概率
在这个公式中，p 表示所有在有限运行时后停止的程序，|p| 描述了程序以比特为单位的长度。为了精确计算蔡廷常数，你必须知道哪些程序停止，哪些程序不停止——根据停机问题，这是不可能的。 尽管在 2000 年，数学家克里斯蒂安·卡卢德和他的同事们成功地计算出了蔡廷常数的前几位数字 0.0157499939956247687...，但永远不可能找到所有的小数位。
因此，库比特的团队已经能够从数学上证明，他的物理模型在 φ = Ω 值时经历相变：它从导体变为绝缘体。然而，由于 Ω 无法精确计算，物理系统的相图也是不确定的。需要明确的是，这与当前计算机的性能不够强大，或者没有足够的时间来解决问题无关——这项任务是可证明的无法解决的。物理学家在他们的论文中写道：“我们的结果表明，即使所有潜在的微观数据都是完全可计算的，不可计算的数字也可能在类物理模型的相变点中涌现。”
从技术上讲，可以指定蔡廷常数的精度足以满足现实世界的应用。但是，库比特和他的同事们的工作仍然再次说明了哥德尔的洞察力是多么的深远。即使在 90 多年之后，仍然有不可证明的陈述的新例子。很可能，深远的物理问题，例如寻找万物理论，也受到哥德尔不完备性定理的影响。
本文最初发表于《科学世界》杂志，并经许可转载。